仿水黽高速水上運動機器人劃水產生的半球渦特征及其推進特性分析

鄭 俊，張嘉鐘，于開平，王寶壽，陳瑋琪

（1.江蘇大學 能源與動力工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001；3.中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

0 引 言

水黽劃水并在水面上高速運動的物理與力學機理已得到實驗層面的廣泛揭示[1-10]，然而對水黽等水面昆蟲在水面上劃水推進力的計算卻還沒有得到充分的開展。雖然可以給出推進力的一般積分形式，但是由于水黽劃水時足部與水的接觸區(qū)域處于變化之中，所以積分域也就相應地變化，因此要將積分形式的推進力展開并得到具體結果是不現實的[11-12]。關于推進力的主要理論結果是基于二維的數值計算獲得的[11]，在二維計算中，只關注一個足部橫截面以指定的軌跡運動時產生的流體動力，因此依然無法給出推進力的理論表達形式?？梢?，從微尺度的流固耦合角度來對水黽推進進行考察，是較為困難的。

因此，目前關于水黽及仿水黽機器人的足部受力的分析主要還是針對準靜態(tài)的情形，也就是主要關注水黽處于漂浮狀態(tài)時的足部的靜態(tài)受力以及能夠在水面上保持漂浮狀態(tài)的臨界條件[13-19]。然而當水黽處于高速運動時，水黽足部用力劃水，在這過程中當中，靜力學的結果無法提供足夠且合理的信息。雖然這對水面仿生機器人研制產生的困難并不明顯，因為只要仿生機器人的劃水速度足夠低，那么準靜態(tài)的結果就可以適用[15，20-21]，然而對于高速水面運動的機器人而言，動力學特性的了解是至關重要的[22-23]。

考慮到水黽在水面劃行時產生宏觀的類似于半球渦的雙極渦（dipolar vortex）流動結構[4-5，12]，因此可以從其宏觀的流動結構上去考察水黽劃水推進的流體動力。關于水黽產生的雙極渦的僅有實驗測量表明，水黽高速劃水時，雙極渦內流體的動量占水黽輸送到流體中全部動量的64%[24]，非常接近于理論分析結果2/3[25]。表1中為Akira在實驗室中測量得到的2.5 mg的水黽在不同運動速度下時，流體中的動量以及雙極渦中的動量與動能數據[24]。然而關于雙極渦的大小以及在流體中的移動速度等物理量，該實驗卻并未給出測量結果。Hu對10 mg的水黽以最大速度100 cm/s在水面飛奔時，通過觀察，估測半球渦的半徑接近于4 mm而移動速度接近4 cm/s[4，12]，但是在后文，本文會指出這個估測是不夠合理的。

表1 不同運動速度下水黽的流體動力特性的實驗結果[24]Tab.1 The experimental measurements on the fluid dynamics of the water strider with different speeds[24]

已有的實驗觀測研究中，另一個對建立水黽高速運動時宏觀流體動力特性有益的信息是水黽足部劃水的最大速度與身體運動的最大速度是基本相等的。Hu發(fā)現大多數水黽足部劃水的特征速度分布在70±10 cm/s，而對應的身體特征速度為60±10 cm/s[5]，而且在其另一研究中也發(fā)現當水黽足部最大速度為100 cm/s時，身體的最大速度也可達到100 cm/s[4，12]。Akira在實驗中也觀測到身體速度為59 cm/s時，足部的最大速度約為72 cm/s[24]。這些數據對于仿水黽機器人足部的運動規(guī)劃是極為重要的信息。

本文首先對半球渦模型用于近似雙極渦流體動力的合理性進行了考察，表1的實驗數據提供了分析和比較的依據。在此基礎上，繼而給出半球渦的半徑以及半球渦在液體中移動速度等幾何與動力學特征及影響因素，并將半球渦內動量與動能的理論預測值與實驗值進行了比較，進一步地又給出了水黽劃水產生推進力的理論計算方法并與實驗結果做了對比，繼而給出仿水黽機器人劃水推進時足部的劃水力矩以及電機的推進功率的計算方法，從而為高速水面運動仿生機器人的設計與動力學預測提供了理論參考依據。

1 水黽主要幾何特征及劃水產生的半球渦流動結構

水黽的典型幾何特征如圖1（a）所示，從已有的實驗結果已知，水黽足部與水接觸的區(qū)域主要分布在其腿部的第二關節(jié)（second tarsal）上，因此第二關節(jié)的長度L2是影響水黽產生半球渦尺度的一個主要特征量。對于不同的水黽而言，雖然個體尺寸或質量有所差別，但是構成其身體材質的密度是接近的，即水黽的密度為[12]

其中：下標“s”表示為水黽。因此對于不同尺寸的水黽而言，其長度的比值與它們之間質量的比值存在以下關系

其中：ηL，ητ，ηM分別為長度、體積和質量的比值。因此Akira實驗中并未給出的水黽腿部的第二關節(jié)長度L2也可以方便地由Hu實驗中的水黽第二關節(jié)長度來計算得到：

其中：MAkira=2.5 mg，MHu=10 mg分別為Akira[24]和Hu[4]實驗中水黽的質量，而L2Hu=3 mm則為Hu實驗中水黽腿部第二關節(jié)的長度。

圖1 （a）水黽的外形特征；（b）水黽產生的雙極渦[4]；（c）雙極渦的理想化模型：半球渦結構流動結構[4]Fig.1(a)The geometric features of a water strider;(b)The dipolar vortices produced by the water strider[4];(c)Idealized model of dipolar vortex:hemispherical vortex[4]

水黽在水面上劃水時產生的雙極渦流動結構如圖1（b）所示。事實上圖1（c）中的半球渦流動結構是對圖1（b）中水黽產生的雙極渦的一種理想化的近似，然而尚未有工作對水黽產生的半球渦的尺寸以及水黽輸入到半球渦內的動量、動能進行過考察，而這正是本文的主要工作之一。值得注意的是，水黽在水面飛奔時，其后腿也在水中制造出雙極渦的結構，然而后腿產生的雙極渦極小，因此對推進力的貢獻很小[12]。

2 水黽劃水產生的半球渦的幾何特征與動力學特征

圖1（c）中的半球渦流動可以在圖2的坐標系下進行求解分析。當半球渦以速度-Vv沿x軸移動時，則相當于無窮遠來流以速度Vv繞過半球的流動。

圖2 水面下的半球渦流動結構Fig.2 The hemispherical vortex beneath the water surface

2.1 半球渦流動求解及其內部的流體動量與動能

如果將水面當做映射平面，則利用鏡像原理可知，半球渦的流動相當于Hill球渦的流動在鏡面以下的部分，因此可以利用Hill球渦的求解方法來求解水面下半球渦的流動。為簡潔考慮，Hill球渦的求解過程，在這里不再引用，而只簡單地給出Hill球渦內流體動量與動能的表達式，即：

其中：下標“H”表示的是Hill球渦對應的物理量，而R為半球渦的半徑，ρl則為液體的密度。因此半球渦內所含的動量與動能為：

由于水黽中間雙腿產生兩個半球渦而且后腿也產生兩個相對較小的半球渦，因此水黽產生的總的半球渦內所含有的動量和能量可以表述為：

其中：Φ為后腿產生的半球渦相比較于中間腿產生的半球渦的動量之比，如果半球渦的移動速度相同，則Φ可以認為是后腿與中間腿產生的半球渦的尺寸之比。由于對于同一種水黽的不同個體而言，后腿與中腿的比值是基本不變的，因此Φ對同一種水黽而言是一固定值。對于水黽而言，由于后腿的第二關節(jié)長度明顯小于中腿的第二關節(jié)長度，所以

一般對于真實的水黽而言，后腿對推進力的貢獻非常少[12]，因此

然而值得注意的是，對于仿水黽機器人，如果將后腿的第二關節(jié)長度設計為大于中腿的第二關節(jié)長度，則Φ顯然可以大于1，而具體取值的大小則要視具體的長度比例而定。

半球渦的理論模型（6）和（7）是否能夠合理預測水黽產生的雙極渦的動量與動能，有待于基于實驗數據的考察。如果（6）式和（7）式預測的理論結果與實驗結果符合，則說明半球渦模型用于預測水黽產生的流體動力是合理的。

2.2 半球渦的半徑

現在根據（6）式和（7）式以及表1中的實驗數據來對水黽產生的半球渦的半徑進行考察。根據（6）式和（7）式可以得到

于是可以得到

在這其中Φ的值并未確定，但是從（10）式可以看到R是Φ的單調函數，所以當Φ取0和1時，R具有最大和最小值。表2中給出了Φ取0，0.125，1時半球渦的預測值?？梢钥吹溅等?時，對于不同運動速度，R的預測值集中于1.6 mm左右，與（3）式給出的L2的長度1.89 mm極其接近，這也就是說半球渦的半徑與水黽中間腿的第二關節(jié)長度L2是成正比的而且及其接近，因此半球渦的體積τ則與中間腿的第二關節(jié)長度L2的立方成正比，即

現在來考察考慮后腿產生半球渦的影響下，半球渦的半徑R的預測值。根據（4）式可知，半球渦移動速度相等的情況下，后腿產生的半球渦的動量與中間腿產生的半球渦動量比值Φ等于它們半球渦體積的比值，即

對真實的水黽，從圖1（a）或圖1（c）可見，后腿的第二關節(jié)長度與中間腿第二關節(jié)長度之比約為0.5左右，因此從（12）式中可求得表2中給出了Φ=0.125時半球渦半徑R的測值，主要集中于1.6 mm附近，這與中間腿第二關節(jié)長度L2=1.89 mm也是極其接近的。特別地，考慮極不符合實際的情形，即假設水黽后腿產生的半球渦與中間腿產生的半球渦大小相等，也就是Φ=1時，則（10）式給出R的預測值也將完全不符合實際情況，如表3所示，此時R預測值分布在1.3 mm附近，這證明后腿產生的半球渦尺寸不可能接近中間腿產生的半球渦大小。綜上所述，當水黽在水面劃水推進時，中間腿產生的半球渦的半徑R與L2接近。但L2并非全部觸水長度，在實際的問題中，觸水長度或半球渦半徑R可計算為

其中：ε稱之為觸水長度因子，根據表2中的結果，在預測仿生水黽機器人劃水所產生的半球渦半徑時，將其估計為腿部觸水長度或第二關節(jié)的長度L2的0.85～0.9是合理而且簡便的。如果在獲得半球渦移動速度的條件下，將（13）式代入（6）式和（7）式中，就可以直接計算出半球渦內的動量與動能，因此下面來考察半球渦移動速度的特征。

2.3 半球渦的移動速度

首先來考察基于（6）式和（7）式預測的半球渦移動速度是否合理。根據（6）式和（7）式可得到

因此表1中的水黽在不同速度下產生的半球渦的移動速度可以被計算得到如表2中所示。從表2中可以看到半球渦在流體中的移動速度為1.81～4.72 cm/s，這與Hu在實驗中觀測到半球渦的移動速度4 cm/s的量級是接近的?？梢?，基于半球渦模型（6）式和（7）式對水黽產生的半球渦的移動速度在量級上的預測是合理的。根據（14）式以及表1中實驗數據計算得到的半球渦移動速度與水黽運動速度之比β，如表2所示。

然而在實際情況下，事先并不知道半球渦內的動量與動能，而只知道仿水黽機器人的質量Ms與仿水黽機器人期望達到的速度V，此時計算出半球渦的運動速度是設計中最為關注的問題。已有的理論和實驗研究指出[24-25]，當水黽以較高速度運動時（＞72 cm/s），半球渦內的動量可達到水黽輸入到流體中總動量的2/3，

其中：γ為2/3，V為水黽的速度，而If，Is則是流體和水黽的動量，由于流體和水黽之間的動量交換，這兩者是相等的。于是，根據（13）式給出的半球渦半徑以及（6）式就可計算出半球渦內的動量，并將（6）式代入（15）式可以得到

考慮到水黽的質量與體積成正比且水黽身體幾何形狀相似，因此水黽質量可以表達為

其中：λ為一系數，該系數對于水黽而言可以認為是一固定值，比如對Hu實驗和Akira實驗中的水黽，都可以計算得到

將（17）式代入（16）式變形后可以得到

從（18）式可知，不考慮任何偶然因素的影響下，半球渦移動速度與水黽運動速度之比β可以認為是一個常數。對于Akira實驗中的水黽，利用常數Φ=0.125，γ=2/3，ε=0.85就可以計算得到

對比表2中β的觀測數據來看，半球渦移動速度與水黽速度比值β的計算方法（18）式是合理的，基于該系數計算得到水黽不同運動速度下半球渦移動速度如表2中Vv2所示。因此對于水黽和仿水黽機器人而言，半球渦的移動速度可以直接估測為

綜上所述，給定一個水黽，根據（13）式可獲得其產生半球渦大小的信息，而根據（19）式就可以估計出水黽不同運動速度下半球渦的移動速度，相應地根據（6）式與（7）式就能較合理地計算出水黽在水面運動時傳遞到半球渦內的動量與動能。

2.4 半球渦內流體動量與動能的理論計算

根據已經獲得的半球渦尺寸以及半球渦移動速度Vv2，利用（6）式與（7）式，并取半球渦半徑為R=1.6 mm以及Φ=0.125，可以預測得到半球渦內流體的動量Iv_p與動能Ev_p，如表2所示，其中誤差定義為

從表2中可以看到動量預測的最大誤差為9.52%，而動能預測的最大誤差為23.5%。可見利用（6）～（7）式以及（13）式給出的半徑R以及（19）式給出的水黽產生的半球渦的移動速度，就可以較為準確地獲得半球渦內的動量與動能，這也進一步證明半球渦模型計算水黽產生的雙極渦內的動量與動能是合理的。

為了進一步考核半球渦模型（6）、（7）、（13）式和（19）式的合理性，圖 3 給出了 R 取 0.8～0.9L2范圍內，不同速度下半球渦內動量的計算誤差。從圖中可見，在該范圍中半球渦動量的計算誤差最大不超過25%，特別是在0.84～0.87L2的范圍內，不同速度下的動量預測誤差不超過13%。這說明半球渦模型（6）、（7）、（13）式和（19）式對于計算水黽產生的雙極渦內的動量與動能是完全合理的。對于其它研究者的實驗對象，以上結果同樣可以給出合理的預測結果。Hu實驗中水黽質量為10 mg，而最大速度為100 cm/s，中間腿的第二關節(jié)長度 L2=3 mm，利用（6）、（13）、（19）式可預測到水黽輸入到半球渦內總動量為

而水黽的總體動量為 Is=1.0×10-5kg·m·s-1，因此根據（15）式計算可以得到，Iv占 Is的比例為 0.669 1，接近于2/3。然而值得注意的是，Hu在研究中曾估測半球渦的移動速度為4 cm/s以及半球渦的半徑為4 cm，并直接認為水黽交換到流體中的動量全部為半球渦內的流體質量與半球渦移動速度的乘積，即Iv=Is，展開可得到

從以上分析可見，Hu對半球渦半徑R及半球渦內流體動量的計算是不合理的[4，12]。

圖3 不同半徑取值下半球渦內流體動量的預測誤差Fig.3 The error of predicted momentum in the hemispherical vortex

表2 基于半球渦模型的水黽的流體動力計算Tab.2 The fluid dynamics of the water strider based on the hemispherical vortex

續(xù)表2

3 仿水黽機器人劃水推進的推進力模型及推進特性分析

根據以上的理論和實驗數據分析可知，在仿生機器人的表面超疏水特性接近真實水黽表面的超疏水特性的條件下，給定機器人的質量Ms之后，那么根據（1）式確定的機器人密度ρs及（17）式確定的機器人足部第二關節(jié)長度L2來設計的仿生水黽機器人，其足部產生的半球渦幾何特征滿足（13）式而運動特征則滿足（19）式。與此同時，在實驗中還發(fā)現，對于同一只水黽，不同劃水速度下，其劃水持續(xù)的時間ts基本不變[24]。而且在引言中已經指出，足部劃水的最高速度Ul與身體運動的最高速度V，兩者接近[5，24]，即

根據這兩個信息，可以建立水黽劃水推進力與足部劃水速度之間的關系。由于機器人劃水產生的半球渦大小及半球渦移動速度都已獲得，因此可根據（6）式以及（15）式獲得全部流體內的動量。根據已獲得的動量，則可以獲得水黽在劃水持續(xù)的時間內的平均推進力。

3.1 水黽劃水推進的平均推進力

根據動量守恒，可以獲得在時間間隔內水黽劃水的平均推進力為

根據（15）、（6）、（13）、（19）式和（21）式可以立刻獲得

根據推進力的模型，就可以近似計算得到水黽的加速度a。表2中給出了不同速度下，水黽的推進力和水黽加速度的計算值，計算時取劃水時間為表1中的14 ms。實驗Case1中測得水黽速度為72 cm/s的情況下，加速度為57.4 m·s-2而對應的推進力為14.85 dynes[24]，對比表2中的計算結果，可見兩者的數值是非常接近的。因此采用（23）式計算水黽足部總推進力是合理的。

3.2 仿水黽機器人推進特性的分析

從（23）式可看到水黽劃水時產生推進力大小的幾個重要的影響因素，即L2，Ul，ts?？梢园l(fā)現，劃水速度越高、劃水時間越短則產生的推進力越大。而水黽足部的第二關節(jié)L2，其產生的推進力也越大，這是符合物理事實的。從圖1（a）中可見，當水黽劃水時，水黽的腿繞著與身體的連接點進行旋轉，在這過程中，只有第二關節(jié)與水接觸，因此半球渦的形成主要決定于第二關節(jié)在水面的運動，而第二關節(jié)越長，根據（13）式可知，形成的半球渦就越大，從而根據（6）式可知，其半球渦內動量就越大，水黽獲得反沖量也越大。

考慮到水黽在水面的推進主要由于水黽的腿部在水面上繞著與身體連接的連接處旋轉來獲得推進力，因此根據（23）式就可以獲得水黽劃水時足部需要施加的力矩。根據（23）式給出的兩根腿上的總推進力，于是可獲得每根腿部第二關節(jié)平均長度上的推進力為

根據圖1（a）可知，不考慮第二關節(jié)繞第一關節(jié)附加轉動時，那么（23）式中劃水速度與劃水的角速度關系為

其中：L，ω分別為總的腿長與角速度，而θ為腿部劃水的角位移。那么第二關節(jié)某微小距離上的力矩為

其中：r為第二關節(jié)上某點到腿部與身體連接部位的距離。于是整根腿部上的力矩為

如果設水黽腿部劃水時，劃水速度經歷勻加速與勻減速兩個階段，那么劃水時間ts則可近似估算為

考慮到劃水持續(xù)時間ts在同一個水黽或機器人中被設定為常數，于是水黽推進時，足部的力矩可以計算為

而電機需要輸出的功率則為

從（29）式可知劃水時腿的角位移θ越大，則水黽劃水獲得的力矩也越大；而且水黽輸出的功率與角位移的平方成正比，因此角位移越大，水黽獲得的動能也越大。

3.3 仿水黽機器人最大推進功率

設水黽腿部第二關節(jié)與腿長的比例為

顯然s對于同一類水黽可以認為是定值，于是（30）式成為

很顯然，其中的系數

對任何水黽或仿水黽的機器人，是基本相同或接近的。從圖1（a）可以看到水黽角位移θ的最大值約接近于180°，由（32）式可知，θ=π時仿生水黽機器人可以從電機內獲得的最大功率為

從該式可以看到，提高仿生水黽機器人獲得動能的途徑是將腿的長度L加長或將劃水的時間ts縮短。因此為了讓仿水黽機器人獲得超越真實水黽的運動速度，那么可以在保證條件（1）中密度ρs和質量Ms不變的前提下，盡可能讓L變得越長，于是根據（31）式可知L2就越大，于是根據（13）式可知半球渦的半徑就越大，繼而根據（6）式可知，半球渦內動量就越大，從而仿水黽機器人從流體中可獲得反作用力就越大，于是同樣質量下的仿水黽機器人，其加速度就越大。由于密度（1）和質量Ms都不變，因此機器人的總體積不變，所以當L變得更長時，仿水黽機器人身體上其余部位的體積就要相應縮小。可見，在保證總體積不變的情況下，適當設計仿水黽機器人的形狀，確實是可以達到水面仿生機器人超過真實水黽運動速度的目的。

4 結 論

本文基于半球渦模型分析了水黽劃水推進時產生的半球渦的半徑以及半球渦在流體中的運動速度。研究表明半球渦的半徑與水黽腿部第二關節(jié)長度是接近的，比值接近0.85，而半球渦的移動速度與水黽運動速度或劃水速度成正比，比值為0.056 9，這兩個比值對于所有水黽可認為是接近或相同的常數。根據水黽的身體幾何信息以及水黽的運動速度以及半球渦理論模型，計算了水黽產生的雙極渦中的動量與能量并與相關實驗做了對比。對比表明，動量的理論計算誤差小于10%，而動能的計算誤差小于23.5%，說明了半球渦模型用于計算水黽劃水產生的流體動力是合理的。

根據半球渦理論模型并根據動量定理給出了水黽劃水獲得推進力的理論模型并獲得了水黽劃水時腿部的力矩以及功率，并給出了仿水黽機器人劃水時最大電機功率的計算表達式，從而為仿水黽機器人電機特性的選取提供了理論依據。公式表明最大推進功率與腿的長度五次方成正比而與劃水持續(xù)時間的立方成反比，因此仿水黽機器人的推進機械機構可以通過縮短運動周期來提高每個劃水周期內的推進力。

本文研究為仿生水黽機器人的形狀設計也提供了參考依據，即在保證材料超疏水特性以及密度與真實水黽相同的條件下以及在保證腿部第二關節(jié)長度與腿的總長比例不變的前提下，同樣質量的機器人，可以通過形狀設計將腿的長度加長來獲得更大的推進力或推進功率，從而獲得比真實水黽更大的運動加速度。

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