淺談分類討論思想在中考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
——以江西省中考數(shù)學(xué)為例

（江西省贛州市章貢區(qū)濱江第一小學(xué) 江西贛州 341000）

全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基本思想”。分類討論作為最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，在中考解題中占有重要的地位。本文主要是以江西省近年的中考試題為例對(duì)分類討論思想進(jìn)行分析，為教師的有效教學(xué)和學(xué)生的發(fā)散思維提供參考。

一、分類討論思想

分類討論是指當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后逐類討論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的答案。像這種先分類再討論，把問題“分而治之，各個(gè)擊破”的解決問題的思想就是分類討論思想。分類討論思想能有效地幫助學(xué)生整理解題思路，提高解題能力。

應(yīng)用分類討論＂化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整＂的數(shù)學(xué)策略時(shí)必須得明確分類原則。

（1）完備性原則 在解題要明確所討論的問題的全域。

（2）不漏原則 分類必須完整，不能遺漏。

（3）不重復(fù)原則 所有的分類之間必須是互斥的。

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.與函數(shù)有關(guān)問題的應(yīng)用

函數(shù)是數(shù)學(xué)中非常重要的模塊，其中二次函數(shù)是中考重點(diǎn)考察的內(nèi)容，通過對(duì)近年中考題的分析發(fā)現(xiàn)，有關(guān)二次函數(shù)的考題多涉及參數(shù)，學(xué)生用分類討論思想能很好地解決這一類問題。

例：（2016·江西）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，過點(diǎn)B1（1，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A1（1，2）；過點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A2；…；過點(diǎn)（n為正整數(shù)）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)An，連接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1。

2.在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列問題：

①當(dāng)n為何值時(shí)，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？

② 設(shè)1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)），問： 是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，說明理由.

【分析】因?yàn)镽t△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分兩種情況討論：根據(jù)結(jié)論代入所得的對(duì)應(yīng)邊的比列式，計(jì)算求出k與m的關(guān)系，并與1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)）相結(jié)合，得出兩種符合條件的值，分別代入兩相似直角三角形計(jì)算相似比.

【解答】由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，

∴當(dāng)n=3時(shí)，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，

②依題意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有兩種情況：i）當(dāng)Rt△AkBkBk+1∽R(shí)t△AmBmBm+1時(shí)，

所以，k=m（舍去），

ii）當(dāng)Rt△AkBkBk+1∽R(shí)t△Bm+1BmAm時(shí)，

∴k+m=6，

∵1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)），

∴取或

當(dāng)時(shí)，Rt△A1B1B2∽R(shí)t△B6B5A5，

相似比為：

當(dāng)時(shí)，Rt△A2B2B3∽R(shí)t△B5B4A4，

相似比為：

所以：存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似，其相似比為64：1或8：1.