初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的分類(lèi)與實(shí)施建議*
——基于南京市的實(shí)施現(xiàn)狀

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)涵蓋了整個(gè)數(shù)學(xué)課程，它穿插在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等內(nèi)容之中?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)需要利用以上三大板塊的知識(shí)，解決具有綜合性與實(shí)踐性的問(wèn)題，在此過(guò)程中可能會(huì)涉及代數(shù)、圖形、統(tǒng)計(jì)等多方面的知識(shí)，很多時(shí)候還需要利用物理、化學(xué)等其他學(xué)科的知識(shí)。通過(guò)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，學(xué)生能夠解決富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也能更深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，切身感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)以及綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

我國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革自20世紀(jì)90年代以來(lái)一直倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，倡導(dǎo)改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力。直到2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》第一次將“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”作為單獨(dú)的內(nèi)容領(lǐng)域列入其中，以“課題學(xué)習(xí)”方式呈現(xiàn)（初中階段），并且旗幟鮮明地指出：“‘實(shí)踐與綜合應(yīng)用’將幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問(wèn)題，以發(fā)展他們解決問(wèn)題的能力?！保?］當(dāng)時(shí)教材中好用實(shí)用的“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”活動(dòng)素材還非常少，在國(guó)內(nèi)比較系統(tǒng)的活動(dòng)素材當(dāng)屬2008年由楊裕前、董林偉組織編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)》（江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2008）。

2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》再一次將其作為單獨(dú)的內(nèi)容領(lǐng)域列入其中，將名稱(chēng)確定為“綜合與實(shí)踐”，并明確指出“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次，同時(shí)指出“‘綜合與實(shí)踐’是一類(lèi)以問(wèn)題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)”。在素材開(kāi)發(fā)方面，2013年董林偉再次擔(dān)任主編，組織編寫(xiě)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》（江蘇科技出版社，2013）。

縱觀初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的發(fā)展歷程，從“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”到“綜合與實(shí)踐”，從標(biāo)準(zhǔn)制定到教學(xué)實(shí)施，數(shù)學(xué)界的同仁一直在努力實(shí)踐，尤其是江蘇省的《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)》與《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》為廣大教師開(kāi)展“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)提供了很好的抓手。然而，在具體實(shí)施過(guò)程中依然存在這樣或那樣的問(wèn)題。例如：由于中考在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)方面設(shè)置試題的局限性，導(dǎo)致教師在開(kāi)展相關(guān)課題研究方面積極性不高，教學(xué)研討氛圍尚未形成；目前南京市各初中學(xué)校生源差距較大，“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)在生源較好的學(xué)?；旧夏艿玫奖Ｕ?，但生源基礎(chǔ)薄弱的學(xué)校卻幾乎不開(kāi)展此類(lèi)活動(dòng)，各學(xué)校開(kāi)展的狀況極不平衡；結(jié)合課本內(nèi)容自主開(kāi)發(fā)的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)類(lèi)素材缺乏，素材的有效性研究尚處于空白階段；初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課的設(shè)計(jì)與實(shí)施目前基本停留在“為活動(dòng)而活動(dòng)”的階段，對(duì)其有效性研究甚少等等，諸如此類(lèi)的問(wèn)題大量存在。

基于以上對(duì)目前南京市初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)現(xiàn)狀的分析，2016年以來(lái)，由何炳均和朱建明兩位特級(jí)教師領(lǐng)銜的“初中數(shù)學(xué)‘綜合與實(shí)踐’活動(dòng)的有效性研究”的課題組，先后開(kāi)設(shè)了“探尋勾股數(shù)”“溫度計(jì)上的一次函數(shù)”“探索四邊形全等的條件”等7節(jié)市級(jí)公開(kāi)示范課，開(kāi)設(shè)了初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課的設(shè)計(jì)思考、初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)評(píng)價(jià)思考、初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課素材選擇思考等7次市級(jí)專(zhuān)題講座。這些活動(dòng)展示了課題組對(duì)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)資源的分類(lèi)與開(kāi)發(fā)的有效性、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的有效性、校本推進(jìn)措施的有效性等方面的研究與探索，提高了初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)開(kāi)展的實(shí)效性，對(duì)全市初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的開(kāi)展起到了輻射和引領(lǐng)的作用。下面筆者結(jié)合課題組的研究和自身的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劇熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)的基本類(lèi)型與實(shí)施建議。

一、初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的基本類(lèi)型

初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)形式是多種多樣的，素材開(kāi)發(fā)的途徑和類(lèi)型也是豐富多彩的。這些活動(dòng)基本都具有綜合性或?qū)嵺`性的顯著特征，所關(guān)注的問(wèn)題可能來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部，也可能來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活。

根據(jù)初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的內(nèi)容，目前大致可以分為“數(shù)學(xué)問(wèn)題探究”“實(shí)際生活應(yīng)用”兩大類(lèi)型，但隨著初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)資源的深入開(kāi)發(fā)，相信還會(huì)有更多類(lèi)型的活動(dòng)出現(xiàn)。

1.數(shù)學(xué)問(wèn)題探究型。

這類(lèi)活動(dòng)一般情況下會(huì)以某個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題為主線，讓學(xué)生進(jìn)行自主探究。這一過(guò)程中要關(guān)注學(xué)生是如何探究、如何提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及如何深入分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的。我們課題組對(duì)蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)內(nèi)容進(jìn)行了梳理，其中數(shù)學(xué)問(wèn)題探究型活動(dòng)有：七年級(jí)上冊(cè)中的“算24”“月歷中的數(shù)學(xué)”，七年級(jí)下冊(cè)中的“拼圖·公式”“算年齡”“分類(lèi)·想象·找規(guī)律”，八年級(jí)上冊(cè)中的“關(guān)于三角形全等的條件”“折紙與證明”“探尋勾股數(shù)”“有關(guān)實(shí)數(shù)的課題研究”“關(guān)于勾股定理的研究”，八年級(jí)下冊(cè)中的“摸球試驗(yàn)”“分式游戲”“畫(huà)畫(huà)·算算”，九年級(jí)上冊(cè)中的“圖形的密鋪”“估測(cè)時(shí)間”。

2.實(shí)際生活應(yīng)用型。

此類(lèi)活動(dòng)主要指面對(duì)身邊的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)分析和抽象，將其提煉為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后進(jìn)行分析直至解決，最終回到實(shí)際生活。常見(jiàn)的實(shí)際生活應(yīng)用型“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)有數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)調(diào)查、數(shù)學(xué)操作等。

數(shù)學(xué)建模是指對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，抽象，建立模型，求解，解釋驗(yàn)證，從而解決實(shí)際問(wèn)題。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)學(xué)建?！毙突顒?dòng)有：七年級(jí)上冊(cè)中“一元一次方程應(yīng)用的調(diào)查”，七年級(jí)下冊(cè)中的“一元一次不等式問(wèn)題的調(diào)查”，八年級(jí)上冊(cè)中的“溫度計(jì)上的一次函數(shù)”。

數(shù)學(xué)調(diào)查是指學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)，進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)，從而解決實(shí)際問(wèn)題。教材中“數(shù)學(xué)調(diào)查”型活動(dòng)大致有：八年級(jí)下冊(cè)中的“丟棄了多少塑料袋”“心率的調(diào)查”，九年級(jí)上冊(cè)中的“收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、探索規(guī)律”，九年級(jí)下冊(cè)中的“香煙浸出液對(duì)種子發(fā)芽的影響”等等。

數(shù)學(xué)操作是指學(xué)生動(dòng)手設(shè)計(jì)或制作一些方案或作品，從而解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)操作能很好地鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力和想象能力。教材中“數(shù)學(xué)操作”型活動(dòng)大致有：七年級(jí)上冊(cè)中的“設(shè)計(jì)包裝紙箱”“測(cè)量距離”“制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方形紙盒”，七年級(jí)下冊(cè)中的“利用平移設(shè)計(jì)圖案”，八年級(jí)上冊(cè)中的“確定藏寶地”，八年級(jí)下冊(cè)中的“設(shè)計(jì)對(duì)稱(chēng)圖形”，九年級(jí)上冊(cè)中的“矩形綠地中的花圃設(shè)計(jì)”，九年級(jí)下冊(cè)中的“校園景觀設(shè)計(jì)”“測(cè)量?jī)傻亻g的距離”“測(cè)量建筑物的高度”“制作動(dòng)畫(huà)片”等等。

二、開(kāi)展初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的實(shí)施建議

1.注重“綜合性”。

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)實(shí)施的關(guān)鍵是如何讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與外部生活的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系等。因此，“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)主題大都來(lái)自實(shí)際生活，對(duì)學(xué)生綜合知識(shí)以及其他學(xué)科知識(shí)的整合能力要求較高。2015年12月課題組成員面向全南京市開(kāi)設(shè)了一節(jié)“綜合與實(shí)踐”研討課《溫度計(jì)上的一次函數(shù)》。

案例1：溫度計(jì)上的一次函數(shù)

活動(dòng)1：閱讀資料了解兩種溫度。

華氏度（Fahrenhite）和攝氏度（Celsius）都是用來(lái)計(jì)量溫度的單位。了解華氏和攝氏這兩種溫標(biāo)的具體標(biāo)準(zhǔn)。

活動(dòng)2：分組探究?jī)煞N溫度之間函數(shù)關(guān)系。

觀察溫度計(jì)上兩種刻度的關(guān)系，采集數(shù)據(jù)并填表。然后畫(huà)圖，觀察，猜測(cè)，求解，驗(yàn)證。最后形成結(jié)論：F是T的一次函數(shù)，函數(shù)關(guān)系式為F=1.8T+32。

活動(dòng)3：尋找生活中“溫度計(jì)”式的一次函數(shù)。

你還能找到生活中“溫度計(jì)”式的一次函數(shù)嗎？

思考：用一支無(wú)刻度的溫度計(jì)測(cè)冰水混合物，用刻度尺量液柱，為3厘米；用來(lái)測(cè)沸水的溫度時(shí)，液柱為28厘米；如果現(xiàn)在是8厘米，那現(xiàn)在的溫度是多少？

本節(jié)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課旨在探究?jī)煞N溫標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系。在探索過(guò)程中，讓學(xué)生嘗試建立函數(shù)模型，并且感受一次函數(shù)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，然后根據(jù)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步自主探究生活中“溫度計(jì)”式的一次函數(shù)。在本節(jié)課的教學(xué)中，既有數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的綜合，又有數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)方法的綜合。

2.落實(shí)“實(shí)踐性”。

“綜合與實(shí)踐”課的教學(xué)要注重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)形成于學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)踐活動(dòng)中。因此，“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)必須突出實(shí)踐性，讓學(xué)生在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。例如，2016年3月我們開(kāi)設(shè)了研討課《心率的調(diào)查》。

案例2：心率的調(diào)查

活動(dòng)1：自主測(cè)量收集數(shù)據(jù)。

查閱資料了解心率。分正常的成年人、新生兒、2～4歲兒童三類(lèi)。

將全班學(xué)生分成若干個(gè)小組，每組5人左右，以心率為主題自選調(diào)查內(nèi)容，確定適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)調(diào)查方法，收集數(shù)據(jù)。

活動(dòng)2：小組合作處理數(shù)據(jù)。

每一小組將收集到的數(shù)據(jù)按照小組內(nèi)部確定的方式進(jìn)行處理，用適當(dāng)?shù)姆椒枋?，并進(jìn)行多角度的分析。

活動(dòng)3：課堂展示分享交流。

（1）研究展示：小組展示（展示具體材料略）。（2）請(qǐng)各組談?wù)勛约赫n前了解到的心率的相關(guān)知識(shí)。（3）實(shí)踐嘗試：現(xiàn)場(chǎng)測(cè)脈搏。

本課要求學(xué)生先“自主測(cè)量，收集數(shù)據(jù)”，這一過(guò)程非常好地體現(xiàn)了“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課的“實(shí)踐性”的本質(zhì)要求。因此，在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)過(guò)程中一定要引導(dǎo)學(xué)生親身實(shí)踐，小組合作制作統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖來(lái)描述數(shù)據(jù)。在本節(jié)課的教學(xué)中，教師在課堂內(nèi)外為學(xué)生提供了大量自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、展示匯報(bào)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生在“用數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.凸顯“問(wèn)題”性。

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)開(kāi)展的過(guò)程中應(yīng)以問(wèn)題為中心，問(wèn)題既是活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)，也是活動(dòng)的歸宿，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串和層層追問(wèn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)。2016年5月課題組又開(kāi)設(shè)了研討課《探索四邊形全等的條件》。

案例3：探索四邊形全等的條件

活動(dòng)1：畫(huà)全等四邊形。

如左圖所示，已知四邊形ABCD，請(qǐng)你畫(huà)出四邊形DEFG，使它與四邊形ABCD全等；

問(wèn)題1：要使兩四邊形全等，至少需要幾組元素對(duì)應(yīng)相等？

活動(dòng)2：思考如何分類(lèi)。

問(wèn)題2：兩四邊形中五組元素對(duì)應(yīng)相等，可能會(huì)有哪些情況？

活動(dòng)3：歸納類(lèi)比拓展。

問(wèn)題3：上述探索四邊形全等的過(guò)程中你有哪些收獲？你覺(jué)得該如何研究五邊形全等？談?wù)勀愕乃悸贰?/p>

在本節(jié)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課的教學(xué)中教師始終以問(wèn)題為主線展開(kāi)教學(xué)，主問(wèn)題是“兩四邊形具備怎樣的條件才能全等”。類(lèi)比以前的研究經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步追問(wèn)“至少需要幾組元素相等就可以保證兩四邊形全等”。在探索過(guò)程中進(jìn)一步提出問(wèn)題“五組元素相等如何分類(lèi)研究”，再引出拓展問(wèn)題“五邊形乃至n邊形全等的條件如何探索”。本節(jié)課凸顯活動(dòng)的“問(wèn)題”性，以問(wèn)題串的形式構(gòu)成了整個(gè)活動(dòng)的邏輯暗線。

4.倡導(dǎo)“自主性”。

上好數(shù)學(xué)活動(dòng)課的關(guān)鍵是讓學(xué)生“自主”參與課堂。學(xué)生才是“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的主體，而教師只需給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和指導(dǎo)。2015年10月課題組開(kāi)設(shè)了研討課《探索勾股數(shù)》。

案例4：探索勾股數(shù)

活動(dòng)1：交流課前成果。

問(wèn)題：小組內(nèi)同學(xué)交流，比較各自收集、整理的勾股數(shù)，有什么疑問(wèn)？

活動(dòng)2：探尋勾股數(shù)。

1.觀察表格，a、b、c是一組勾股數(shù)。

思考：（1）填寫(xiě)表格中的空格；

（2）在表中，a為大于1的奇數(shù)，正整數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系是 ，b、c與a2之間的關(guān)系式 。

（3）一般地，當(dāng) a=2n+1（n為正整數(shù)）時(shí)，請(qǐng)給出計(jì)算勾股數(shù)的一組公式。

（4）你能確定你給出的公式正確嗎？證明你的結(jié)論。

活動(dòng)3：構(gòu)造勾股數(shù)。

任意寫(xiě)一個(gè)大于2的整數(shù)，你能寫(xiě)出另外兩個(gè)數(shù)，使它們構(gòu)成一組勾股數(shù)嗎？

活動(dòng)4：課外延伸。

對(duì)探尋“勾股數(shù)”有興趣的同學(xué)，可以在網(wǎng)上查閱有關(guān)資料，收集構(gòu)造勾股數(shù)的其他方法。

本節(jié)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課分三個(gè)階段進(jìn)行。第一階段為課上探究做準(zhǔn)備，也是探究前的熱身。第二階段是課中探究，釆取教師適時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生不斷思考的方式進(jìn)行。第三階段為學(xué)有余力的學(xué)生提供后續(xù)探究的空間指明方向，明確任務(wù)，激發(fā)這部分學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一數(shù)學(xué)育人理念。

［1］教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

［2］張偉俊.“綜合與實(shí)踐”課的教學(xué)探索與實(shí)施建議——以“探究最短路徑問(wèn)題”為例［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（06）.

［3］王榮寶.初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”課程實(shí)施的校本研究——以南京市六合區(qū)竹鎮(zhèn)民族中學(xué)為例［D］.昆明：云南師范大學(xué)，2016.