一類非線性耦合拋物型方程組解的整體不存在性

裴金仙

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 理學(xué)系， 山西 太原 030031)

本文研究如下非線性耦合拋物型方程的初邊值問題

(1)

式中：Ω是Rn中具有光滑邊界Γ=?Ω的有界區(qū)域,d1>0,d2>0,p≥2,q≥2是常數(shù),f1,f2,g1,g2為已知函數(shù).

許多物理、力學(xué)、生物學(xué)和化學(xué)等問題可以用拋物型方程和方程組來表示, 關(guān)于相關(guān)系統(tǒng)解的整體存在性和解的爆破問題的研究具有非常重要的理論和實際意義, 也得到了很多結(jié)果[1-9].

ut-div(|u|p-2u)=uq，

(2)

方程(2)的初邊值問題的研究已經(jīng)有很多結(jié)果. 主要的結(jié)果是 (i)若qp-1, 且初值足夠大, 則解在有限時刻爆破. 帶有Dirichlet邊界條件的方程系統(tǒng)

ut-div((d+|u|p-2)u)+g(u,v)=f(u)，

(3)

有許多關(guān)于解的爆破的結(jié)果. Erdem[10]研究了當d>0,p≥2以及f和g滿足一定的條件時, 系統(tǒng)解的整體不存在性.

對于耦合的半線性拋物型方程組解的爆破也有一些結(jié)果. Wang M[11]研究了帶有Dirichlet邊界條件的方程組

ut=△u+uαvp,vt=△v+uqvβ,

(4)

式中：α,β,p,q是非負常數(shù),α+p>0,β+q>0, 分別得到了解的整體存在性和解在有限時刻爆破的結(jié)果. Escobedo和Herrero[12]研究了式(4)的Cauchy問題, 找到了解整體存在和爆破的臨界指數(shù). Rossi和Souplet[13]研究了方程

ut=△u+um+vp,vt=△v+uq+vn

(5)

的初邊值問題,m,n,p,q>1, 證明了當m>q+1,n>p+1時, 解(u,v)在有限時刻爆破. Li[14]研究了

ut-div(|u|p-2)u)=avα,

vt-div(|v|q-2)v)=buβ,

(6)

的初邊值問題, 分別得到了解的整體存在性和解的爆破. Wang J[15]研究了

ut-div(|um|p-2)

vt-div(|vn|q-2)

(7)

分別得到了解的整體存在性和解的爆破. Ding[9]研究了

ut=div(D(u)u)-S(u)φ(v)),

vt=Δv-v+u,

(8)

式中：D,S,φ是滿足一定條件的已知函數(shù), 得到了系統(tǒng)的解的整體有界性.

本文研究耦合拋物型方程的初邊值問題(1), 構(gòu)造合適的泛函, 得到解的有限時刻爆破的結(jié)果, 并且給出了解爆破時刻的估計.

假設(shè)存在函數(shù)F(ξ,η), 使得

(ξ,η)∈R2.

記‖·‖表示通常的L2(Ω)范數(shù)‖·‖L2(Ω), 記‖·‖p表示通常的Lp(Ω)范數(shù)‖·‖Lp(Ω). 定義系統(tǒng)(1)的能量

(9)

通過計算有

(10)

1 爆破結(jié)果

ξf1(ξ,η)+ηf2(ξ,η)≥2(γ+1)F(ξ,η),

(ξ,η)∈R2.

(11)

假設(shè)存在正常數(shù)τ1和τ2, 使得函數(shù)g1和g2滿足

|gi(ξ,η,ζ,σ)|≤τi(|ξ|+|η|+|ζ|+|σ|),

(ξ,η,ζ,σ)∈R×R×Rn×Rn.

(12)

下面給出本文的主要結(jié)果.

則系統(tǒng)(1)的解(u,v)在有限時刻t1爆破,

‖u‖2+‖v‖2→+∞,t→t1-0,

且爆破時刻的上界估計為

式中:β*和β為與初值無關(guān)的正常數(shù).

證明構(gòu)造合適的泛函H(t)滿足微分不等式

H″(t)H(t)-(1+β)[H′(t)]2≥0,=

(13)

以及

H(0)>0,H′(0)>0.

(14)

利用文獻[16]中引理1, 可以得到H(t)的有限時刻爆破, 進而得到定理1的結(jié)果.

首先作變換

φ(x,t)∶=e-λ tu(x,t),ψ(x,t)∶=e-λ tv(x,t),

其中， 常數(shù)λ>0待定. 經(jīng)過計算式(1)變形為關(guān)于(φ,ψ) 的系統(tǒng),

(15)

用φt乘以式(15)的第一個方程, 用ψt乘以式(15)的第二個方程, 將兩式相加并在區(qū)域Ω上積分， 利用分部積分法得到

(16)

定義

(17)

由

(18)

和假設(shè)(11), 可得

(18)

結(jié)合式(18)和(19)可得

(20)

將式(20)代入式(16)得到如下估計

在全年下滑的態(tài)勢中，新能源車成為僅有的亮點。據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，11月新能源汽車銷量同比增長37.6%，1～11月同比增長68%。

(21)

令

則由式(21)和假設(shè)(12)得到估計

(22)

利用Young’s不等式和G(t)的定義, 可知存在正常數(shù)ε0<1/4使得

(1-4ε0)(‖φt‖2+‖ψt‖2)+2λγG(t),

(23)

(24)

用e-2λγt乘以式(23)的兩邊, 再在[0,t]上積分得到

‖ψs(x,s)‖2)ds.(25)

(25)

用φ乘以式(15)的第一個方程, 用ψ乘以式(15)的第二個方程, 將兩式相加再在區(qū)域Ω上積分， 有

(d1‖φ‖2+d2‖ψ‖2)+eλt(p-2)‖

eλt(q-2)‖

(26)

由假設(shè)(12),G(t)的定義以及Young’s不等式可得

eλt(p-2)‖

ε1(‖φ‖2+‖

(γd1-ε1)‖φ‖2+(γd2-ε1)‖ψ‖2,

(27)

式中：ε1

結(jié)合式(25)和(27), 有如下估計

(28)

其中

(29)

從λ和ε0的選取可知

定義泛函

其中,β*是待定正常數(shù). 通過計算有

H′(t)=‖φ‖2+‖ψ‖2.

(30)

利用H?lder不等式可得

(31)

另一方面結(jié)合式(28)和(30), 有下面的估計

H″(t)≥4(γ+1)G(0)+4(γ+1)(1-4ε0)·

進一步對于合適的待定的β>0, 有

H″(t)H(t)-(1+β)[H′(t)]2≥4(γ+1)G(0)β*+

(32)

選取

則有

H″(t)H(t)-(1+β)[H′(t)]2≥0.

由于初值(u0,v0)滿足

H′(0)=‖u0‖2+‖v0‖2>0,

和H(0)=β>0, 因此有H(t)的爆破,

H(t)→+∞,t→t1-0,

(33)

且

(34)

定理1得證.

參考文獻：

[1] Friedman A. Partial differential equations[M]. New York： Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1969.

[2] J?ger W, Luckhaus, S. On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1992(329)： 819-824.

[3] Nagai T, Senba T. Global existence and blow-up of radial solutions to a parabolic-elliptic system of chemotaxis[J]. Adv. Math. Sci. Appl., 1998(8)： 145-156.

[4] Winkler M, Djie K. Boundedness and finite-time collapse in a chemotaxis system with volume-filling effect[J]. Nonlinear Anal., 2010(72)： 1044-1064.

[5] Winkler, M. Global solutions in a fully parabolic chemotaxis system with singular sensitivity[J]. Math. Methods Appl. Sci., 2011(34)： 176-190.

[6] Fujie K, Yokota T. Boundedness in a fully parabolic chemotaxis system with strongly singular sensitivity[J]. Appl. Math. Lett., 2014(38)： 140-143.

[7] Mi Y, Mu C. Global existence and blow-up of solutions to a class of doubly degenerate parabolic equations coupled via nonlinear boundary flux[J]. Adv. Math., 2014(43)： 398-410.

[8] Li G, Yu J, Liu W. Global existence, exponential decay and finite time blow-up of solutions for a class of semilinear pseudo-parabolic equations with conical degeneration[J]. J. Pseudo-Differ. Oper. Appl., 2017, 8(4)： 629-660.

[9] Ding M. Global boundedness in a fully parabolic quasilinear chemotaxis system with singular sensitivity[J]. J. Math. Anal. Appl., 2018(461)： 1260-1270.

[10] Erdem D. Blow-up of solutions to quasilinear parabolic equations (English summary)[J]. Appl. Math. Lett., 1999, 12(3)： 65-69.

[11] Wang M. Global existence and finite time blow up for a reaction-diffusion system[J]. Z. Angew. Math. Phys., 2000(51)： 160-167.

[12] Escobedo M, Herrero M. Boundedness and blow up for a semilinear reaction-diffusion system[J]. J. Diff. Equns. 1991, 89(1)： 176-202.

[13] Rossi J, Souplet P. Coexistence of simultaneous and nonsimultaneous blow-up in a semilinear parabolic system[J]. Diff. Integ. Equns., 2005(18)： 405-418.

[14] Li F. Global existence and blow-up solutions to a quasi-linear degenerate parabolic system[J]. Math. Acta Sci., 2008(28A)： 1187-1193.

[15] Wang J. Global existence and blow-up solutions for doubly degenerate parabolic system with nonlocal source[J]. J. Math. Anal. Appl., 2011(374)： 1187-1193.

[16] Kalantarov V, Ladyzenskaja O. The occurence of collapse for quasilinear equation of parabolic and hyperbolic types[J]. J. Sov. Math., V. 1978(10)： 53-70.