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    運用分類討論思想速解函數(shù)問題

    2018-06-02 10:22:38李麗偉
    讀與寫·上旬刊 2018年2期
    關鍵詞:對稱軸原點交點

    李麗偉

    摘要:在平時的教學中,我發(fā)現(xiàn)很多學生學習函數(shù)部分比較吃力,解題的過程中總會遇到一些題目考慮不全,丟解的情況,怎樣才能避免此類情況的發(fā)生,提高他們解題的準確性、速度呢?這就需要對問題進行分類討論加以研究,為了讓大家清楚,僅就部分內容給您展示一下分類討論思想在函數(shù)學習中的運用。

    關鍵詞:分類討論思想;函數(shù)

    中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:B 文章編號:1672-1578(2018)02-0254-02

    現(xiàn)就常涉及到的分類討論知識歸納如下:

    1.題目中的函數(shù)本身是以分段形式給出的,解題時涉及到這類已知函數(shù)值或函數(shù)值取值范圍的,求變量取值或取值范圍的一定注意別忘記分類討論。

    1.1 (2011遼寧理)設函數(shù)f(x)=21-x,x≤11-log2x,x>1,則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是( )。

    A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞] D.[0,+∞]

    分析:因為f(x)=21-x1-log2x,x>1為分段函數(shù),所以f(x)≤2應用兩種情況。

    解:由題意知,21-x≤2x≤1或x>11-log2x,x≤2解得x≥0,x≤1即0≤x≤1,而1-logx2≤2可化為logx2≥-1=log122,得x≥12,因此解x>11-log2x≤2得x>1,x≥0綜上可知,故選D。

    1.2 (2011浙江理)設函數(shù) f(x)=-x,x≤0,x2,x>0.若f(α)=4,則實數(shù)α =( )

    A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2

    解:由α≤0,-α=4,或α>0,α2=4,得α=-4或α=2。故選B

    2.冪函數(shù)型題目的定義域、奇偶性、單調性等要看冪指數(shù)

    定義的給出是有條件限制的或分類給出的,就一定需要分類討論了。

    2.1 當m= ____________時,函數(shù)f(x)=(m+3)x2m+1+4x-5(x≠0)是一次函數(shù)。

    分析:考慮此函數(shù)的定義表達式,觀察f(x)=m+3x2m+1+4x-5(x≠0)的特點,未知數(shù)x的系數(shù)和指數(shù)均含字母入手,與一次函數(shù)表達式對照即可。若(m+3)x2m+1該項為常數(shù)項f(x)為一次函數(shù),若(m+3)x2m+1不為常數(shù)項且2m+1=1也可能符合。

    解:當m+3=0時,即m=-3,函數(shù)f(x)=4x-5為一次函數(shù);當2m+1=0時 ,即m=-1 2, f(x)=4x-52為一次函數(shù);

    當2m+1時,且m+3+4≠0時,即m=0時,f(x)=7x-5為一次函數(shù);綜上所述,m=0,或m=-1 2或m=-3時符合要求。

    3.題目是和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù),底數(shù)均為字母,常借助函數(shù)的單調性通過對底數(shù)加以討論,再解決

    3.1 (2015山東理)已知函數(shù)f(x)=ax+b(α>0.α≠1)的定義域和值域都是[-1.0],則a+b ___________。

    分析:借助指數(shù)函數(shù)性質考慮底數(shù)。

    解:當0>α1時,函數(shù)f(x)是增函數(shù),所以α-1+b=-1,α0+b=0

    此方程組無解。當0<α<1時,函數(shù)f(x)是減函數(shù),所以α-1+b=0,α0+b=-1α=12b=-2所以α+b=-32故填-32。

    4.函數(shù)中最高次項系數(shù)是含字母的代數(shù)式,他的取值可以有多種情況,這就需要我們進行分類討論解決此題。又函數(shù)的圖象與 軸總有交點,或是函數(shù)有限定條件的零點問題等,故可考慮函數(shù)最高次項系數(shù)可能為零,也可能不為零來分類討論研究,進而轉化成我們熟悉一次或二次函數(shù)的問題來求解。含參二次函數(shù)的最值問題一種是對稱軸是確定的常數(shù),區(qū)間端點含有參數(shù);一種是對稱軸含有參數(shù),而區(qū)間端點是常數(shù),不管是那一種,都可以理解成對稱軸在區(qū)間的左側,對稱軸在區(qū)間內,對稱軸在區(qū)間右側來討論。當對稱軸在區(qū)間內時,還需考慮區(qū)間端點離對稱軸的遠近來確定另一個最大值或最小值。當然,如果給出函數(shù)的一個最值,求其中的參數(shù)問題也可以按照上面的方法進行解決

    4.1 已知函數(shù)f(x)=2(p+1)x2+4px+2p-1 的圖象與x 軸總有交點,求p的取值范圍。

    分析:注意到該函數(shù)的最高次項的系數(shù)為字母,且與x軸總有交點。

    解:當2(p+1)=0時,即p=-1,f(x)=-4x-3 ,顯然與x軸有一個交點;

    當2(p+1)≠0時,函數(shù)為二次函數(shù),只需Δ=(4p)2-4x2(p+1)(2p-1)≥0 ,

    解得p<-1或-1

    4.2 已知函數(shù)f(x)=mx2 +(m-3)x+1的零點至少有一個在原點右側,求實數(shù)m的取值范圍。

    解:當m=0時,f(x)=-3x+1,令f(x)=0,得x=13,即函數(shù)的零點13 在原點右側,符合題意;

    當 m≠0時,因為f(0)=1 ,所以函數(shù)圖象過點(0,1),若m<0 ,函數(shù)圖象開口向下二次函數(shù)的兩個零點必然一個在原點的左側,一個在原點的右側。若m>0 ,函數(shù)圖象開口向上如圖,

    要使函數(shù)的零點在原點右側,當且僅當Δ=(m-3)2-4m≥0, 3-m2m>0,m>0即m2-10m+9≥0,00進一步整理

    解得m≤1或m≥9,00即0

    運用分類討論思想解函數(shù)題時,不管是在哪方面,如果學生的頭腦中沒有分類討論的意識,在平時的解題中就不能辨認出是需要分類討論的題目,就很容易丟解、錯解,很難保證問題得到有效解決。為此在平時的教學中,首先,教師在平時的課堂教學中應有意滲透分類討論思想,幫助學生建立分類討論的意識,其次,學生應當準確理解和記憶與分類討論相關的定義、性質、公式等知識點,它們是解決問題的強有力的工具,為分類討論指明方向。再次,解題時學生認真審題明確分類討論的對象、分類標準。最后,注意檢查努力做到不重不漏,檢查參數(shù)是否取到符合要求的所有實數(shù)。要想提升他們的解題能力,加強理論學習是非常必要的,因此在平時的學習中建議他們應該多讀一些相關的學習資料,提高自己的理論水平。另外,解題后一定要及時總結解題規(guī)律、相關知識點歸納等,對于學習中遇到的困難可以大家在一起多多研究。以上是僅就高一上學期函數(shù)部分內容加以展示,準確掌握它們就可以迅速解決函數(shù)問題,僅供參考,希望對您能夠有所幫助。

    參考文獻:

    [1] 李秀蘭.談談二次函數(shù)的最值問題[J].數(shù)理化解題研究, 2011 (9) :26-28.

    [2] 王焱坤.新課程背景下函數(shù)客觀題考查的新視角[J]中學數(shù)學, 2010 (1) :32-35.

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