多元表征理論指引下的解題教學——淺談對高三復習中審題的認知分析

崔佳方

（江蘇省蘇州實驗中學）

崔佳方

（江蘇省蘇州實驗中學）

數(shù)學教學很大程度上就是問題解決的教學，尤其是高三復習階段的教學。在現(xiàn)今的高考模式下，很多學校都安排一整個學年（甚至更長時間）進行復習，都很注重夯實基礎知識，通過大量訓練促進思想方法的領悟，但是效果總有不盡如人意的地方。常常出現(xiàn)反復練、反復講的題目隔了一段時間又不會的現(xiàn)象，碰到稍微新一點的題目又往往手足無措。究其原因，一方面是基礎知識思想方法掌握的欠缺，另一方面是學生對數(shù)學問題的理解認識不到位，也就是審題方面出了問題。這兩方面都是與學生對數(shù)學對象的認知程度的深淺有密切關聯(lián)的，前者依賴于對概念的合理表征從而形成深刻系統(tǒng)的知識結構及方法體系，后者側重于根據(jù)已有的知識經(jīng)驗對數(shù)學命題進行意象的多元建構及靈活選擇，從而發(fā)現(xiàn)解題思路。本文就這兩個方面結合筆者在教學實踐中的體會作一些探討，希望能夠拋磚引玉。

一、概念的多元表征促進思想方法的滲透

數(shù)學中的問題都是圍繞概念構成的，要想深入理解問題，必須先對題中的關鍵概念進行合理表征。而實際上，在大多數(shù)情況下數(shù)學概念的內(nèi)在表征又并非相應的嚴格定義，而是一種由多種成分組成的復合物，包括相應的心智圖象，對其性質(zhì)及相關過程的記憶以及具體的例子等。因此，教師應最大限度地喚醒學生頭腦中的這些意象，并根據(jù)題目的要求引導學生對不同的心理表征進行聯(lián)系轉換，幫助學生形成科學嚴謹?shù)乃伎挤绞?，滲透數(shù)學思想方法。

案例1：已知函數(shù)y=ax2－x－1 只有一個零點，求實數(shù)a 的取值范圍。

高中數(shù)學中函數(shù)零點的嚴格定義是這樣的：一般地，對于函數(shù)y=（fx），我們把方程（fx）=0 的實數(shù)根x 叫作函數(shù)y=（fx）的零點。即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為0 的自變量的值。學生在剛學這個內(nèi)容時，已經(jīng)形成了一些感性的認識，容易引起誤解的是很多人把零點看成函數(shù)圖象與x 軸的交點，這是定勢思維所帶來的不良影響，但通過后續(xù)的學習和老師的強調(diào)，會糾正這個錯誤，在他們的頭腦中會形成一個穩(wěn)定的印象，零點不是點，而是函數(shù)圖象與x 軸交點的橫坐標，這是圖形的觀念，另一方面，要求出這個坐標，必須解相應的方程，即（fx）=0 的根，這是數(shù)的觀念。從圖形角度來研究，討論該函數(shù)的圖象形狀（直線或拋物線）、開口方向，結合圖象過定點（0，-1），可知有三種情形：a＞0 時，不合題意；a=0 時成立；a＜0 時，Δ=0，得a=-。從方程角度來研究，a=0 時一次方程只有一根符合題意，a≠0 時，二次方程有兩重根，即Δ=0。這也充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的密切聯(lián)系，滲透了數(shù)形結合的思想。此外，從代數(shù)角度而言，方程可以作很多同解變形，可以等價轉化為其他的等式形式，如ax2=x+1，a=，前者的幾何意義是動曲線和定直線交點的橫坐標，后者的幾何意義是動直線與定曲線的交點橫坐標，通過代數(shù)形式的轉化，使得函數(shù)零點的身份從函數(shù)曲線與x 軸的交點橫坐標推廣到一般意義下兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標，極大地豐富了零點概念的內(nèi)涵和外延，同時也滲透了數(shù)形結合、化歸、轉化等數(shù)學思想方法。

由此可見，通過對概念間的不同表征成分的分析聯(lián)系轉換，幫助學生用發(fā)展的觀點看待靜止的概念，使得枯燥單調(diào)的數(shù)學概念變得“鮮活”起來；用聯(lián)系的眼光去整合學生已有的知識經(jīng)驗和新學的概念，形成更高水平的知識建構，這樣的學習才是生動活潑的，才是意義長遠的。

二、數(shù)學命題的合理表征培養(yǎng)思維的深刻性

在高三教學中，經(jīng)常會出現(xiàn)一講就懂、一考就懵的情形，這就說明很多學生對知識技能基本掌握，但遇到問題時，不太會分析題意，往往審題不清，陷入迷茫境地。那么如何審題，也就是如何對數(shù)學命題進行表征是至關重要的。學生必須先細致全面地掌握問題的條件和結論，分析題目的結構特征，才能通過聯(lián)想激活已有的知識和經(jīng)驗，探索解題的思路。

案例2：設不等式mx2-2x-m+1＜0 對于滿足-2≤m≤2 的m 值都成立，求x 的取值范圍。這是一個常見的主元轉換的問題，解法也很簡單，但學生往往不易掌握，可能會記住解法，短時間內(nèi)進行模仿操作，時間一長就容易遺忘。從表征理論來看，教師應引導學生對題目形成一些初步的認識。

（1）這是一個不等式恒成立問題。

（2）m 在區(qū)間［-2，2］上變化，即m 可以是區(qū)間［-2，2］上的任意一個值。

接下來關鍵是對m 與x 的關系進行研究，當x 取某個值時，命題成立等價于m 取遍［-2，2］上的任意一個實數(shù)時，不等式恒成立，從而有了更深的認識。

（3）相對m 變化時，x 是不變的。（即參量為x，變量為m）

（4）mx2-2x-m+1 是m 的函數(shù)。令f（m）=mx2-2x-m+1，即f（m）＜0 在-2≤m≤2 時恒成立，求參數(shù)x 的取值范圍。

至此，本題的難點得到突破，問題的本質(zhì)得以揭示，但從幫助學生達到更高思維活動水平這個角度來看，我們還可以從已有的知識經(jīng)驗中激發(fā)聯(lián)想出更豐富的表征形式。

（5）問題符號化表征為?m∈［-2，2］，f（m）＜0 是一個全稱命題，如何將無數(shù)個f（m）與0 進行比較，這使得我們很容易聯(lián)想到圖象這個表征方式，由此得到f（m）的圖象是一條線段這個事實，從而形成最簡的解法

（6）與已有的活動經(jīng)驗相聯(lián)系，這樣的題目是很常見的，如?x∈［-2，2］，mx2-2x-m+1＜0 恒成立，求m 的取值范圍。

通過比較對照，可以發(fā)現(xiàn)變量與常量的確立不是由字母形式確定的，而是由給出范圍的字母確定的，從而突出了這類題的本質(zhì)，強化了主元思想。

通過這些有序展開的認識活動，我們可以發(fā)現(xiàn)在審題時對問題作出的表征會直接影響問題解決的方式和難易程度。因此，從問題的特點出發(fā)，合理地對問題作出表征，通過各種形式的表述，逼近問題的本質(zhì)，才能真正高效地解決問題。而我們遇到的數(shù)學問題，大部分都是用符號語言來表述的，這也是由數(shù)學學科的高度抽象性所決定的，所以我們要做的就是對數(shù)學符號進行準確的翻譯和理解，化抽象為具體直觀，可能剛開始這樣的翻譯是模糊的、不嚴格的、不精確的，甚至有所偏差，但是通過一次次嘗試自覺反思可以找到解題的正軌，如上面案例中“mx2-2x-m+1＜0 對于滿足-2≤m≤2 的m 值都成立”，我們可以嘗試對這個問題的一般性進行具體化，可以對m 在-2≤m≤2 時取幾個值，得到具體的幾個關于x的不等式，發(fā)現(xiàn)最終的某個x 值要符合要求必須滿足無數(shù)個不等式，也就是m 在-2≤m≤2 時任取一值時對應的這些不等式，從而發(fā)現(xiàn)相對m 變化時，x 是不變的，也就確立了m 為主元的思想。很多時候我們都可以對復雜抽象的問題進行具體化、特殊化，雖然有時不太嚴謹，但對我們發(fā)現(xiàn)問題本來的面貌，進而得到解題的突破口是大有幫助的。另一方面，學生對同一問題的表征是很個性化的，他們往往會根據(jù)自身的知識經(jīng)驗對問題進行重組和整理，教師要引導他們對問題信息和已有經(jīng)驗進行合理的聯(lián)系、科學的整合，幫助他們超越原有的知識經(jīng)驗，建構更高水平的知識結構。這些過程同時也極大地豐富了學生在學習中的思維活動，有效地提高了學生的思維能力。

高中數(shù)學課堂教學本質(zhì)就是基于問題解決的教學，高三階段的復習尤其如此，要讓學生掌握知識，更要幫助學生靈活運用知識解決問題，形成科學的思維方法，這對學生實現(xiàn)短期目標以及長遠發(fā)展都是很重要的。而達成這一目標的教學載體就是對數(shù)學對象的合理表征，這也是學習活動的起點，不管是概念的表征還是命題表征，我們要旨在多元化的表述問題，在聯(lián)系中研究，在比較中感悟，全方位、多角度地思考問題，有效培養(yǎng)學生的求異創(chuàng)新思維，提升學生的數(shù)學能力和素養(yǎng)。

鄭毓信.多元表征理論與概念教學［J］.中學數(shù)學教學參考，2011.