牛頓流體圓管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)特性

陳 雷， 湯苑楠， 劉 剛， 盧興國(guó)

(1. 中國(guó)石油大學(xué)(華東)儲(chǔ)運(yùn)與建筑工程學(xué)院,山東青島 266580；2.山東省油氣儲(chǔ)運(yùn)安全省級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東青島 266580; 3.中國(guó)石化銷售有限公司華南分公司，廣東廣州 510000)

為保證原油管道的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，須全面把握原油管道停輸再啟動(dòng)過(guò)程，許多學(xué)者[1-3]開展了膠凝原油管道測(cè)試研究。室內(nèi)環(huán)道是常見(jiàn)測(cè)試手段之一，其測(cè)量原理是Hagen-Poiseuille流動(dòng)。在Hagen-Poiseuille流動(dòng)的初始階段，必然存在管內(nèi)流速分布不斷變化的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程，造成測(cè)量黏度值與真實(shí)黏度值的差異。為明晰相關(guān)測(cè)試影響因素，減小測(cè)試誤差，有必要掌握非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)階段流體表觀的測(cè)試結(jié)果與真實(shí)流變性的差異以及不同邊界條件對(duì)于非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)過(guò)程的影響。最經(jīng)典的非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)為“置有牛頓流體的無(wú)限長(zhǎng)水平圓管，初始靜止，然后突然施加恒定壓力，流體開始運(yùn)動(dòng)”。Papanastasiou等[4]采用分離變量法給出了恒壓力邊界條件下圓管內(nèi)不可壓縮非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)的解析解，但并未討論恒流量條件下的非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)。Bar[5]對(duì)兩種不可壓縮牛頓流體混合物展開研究，得出非定常平板和軸對(duì)稱Poiseuille流動(dòng)下的速度分布解析解。Erdogan[6-7]控制恒壓力邊界條件，對(duì)兩個(gè)無(wú)限大平板間以及圓管內(nèi)牛頓流體的非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)展開研究。Erdogan等[8]，研究了牛頓流體和二階流體的剪切應(yīng)力隨時(shí)間變化規(guī)律的差異。Siddique等[9]控制與時(shí)間有關(guān)的剪切應(yīng)力邊界，對(duì)不可壓縮的廣義Oldroyd-B流體進(jìn)行研究，得到級(jí)數(shù)形式的速度分布和剪切應(yīng)力的通用解。Fetecau[10]對(duì)幾何形狀為軸對(duì)稱的圓管的無(wú)邊界區(qū)域內(nèi)的Oldroyd-B 流體進(jìn)行研究。Muzychka等[11]通過(guò)尋求非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)和斯托克斯第一問(wèn)題的關(guān)聯(lián)，建立了描述內(nèi)表面剪切應(yīng)力以及速度分布隨時(shí)間變化的簡(jiǎn)易模型，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了漸近分析。Hayat等[12-13]控制周期性壓力邊界和恒壓力邊界，對(duì)兩平板間不可壓縮二階流體進(jìn)行研究。此外，還有一些學(xué)者采用數(shù)值計(jì)算的思想展開了相關(guān)探究。Vinay等[14]建立了非牛頓流體圓管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算模型，對(duì)方程組進(jìn)行離散求解。Negr?o等[15]考慮了管道徑向速度的變化開展研究。但上述學(xué)者僅討論了恒壓力邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)過(guò)程。目前，關(guān)于Poiseuille流動(dòng)的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程研究，主要關(guān)注流體非穩(wěn)態(tài)速度分布函數(shù)的求解，邊界條件集中在恒壓力邊界條件，并未關(guān)注不同邊界條件下流動(dòng)過(guò)程的差異以及非穩(wěn)態(tài)過(guò)程對(duì)細(xì)管法測(cè)試黏度準(zhǔn)確性的影響。筆者對(duì)不同邊界條件下的圓管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，對(duì)比邊界條件對(duì)于非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響。暫不考慮流體本身流變性的變化，選取牛頓流體為研究對(duì)象，考慮徑向速度分布，采用數(shù)值計(jì)算方式，以無(wú)量綱黏度和無(wú)量綱時(shí)間為非穩(wěn)態(tài)過(guò)程表征量，討論不同邊界條件對(duì)非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)過(guò)程的影響。

1 問(wèn)題描述

1.1 細(xì)管法黏度測(cè)試基礎(chǔ)原理

細(xì)管法測(cè)定液體的流動(dòng)性廣泛應(yīng)用于各種流體流變性的測(cè)量[16]。對(duì)于穩(wěn)定的管道層流，兩端壓差P恰好提供流體圓柱體在管道內(nèi)壁上的黏滯力，管壁剪切應(yīng)力τ與壓差Δp之間滿足

(1)

式中，L為細(xì)管長(zhǎng)度，m；R為細(xì)管半徑，m。

對(duì)于牛頓流體與冪律流體的穩(wěn)定圓管層流，其管壁處剪切速率可表示為

(2)

根據(jù)式(1)與(2)可獲得流體剪切速率與剪切應(yīng)力的關(guān)系，進(jìn)而確定流體黏度或本構(gòu)方程。測(cè)量黏度的表達(dá)式為

(3)

式中，μM為測(cè)量黏度，Pa·s。

細(xì)管法開展流體測(cè)試，必須滿足的核心條件是流體應(yīng)為與時(shí)間無(wú)關(guān)的不可壓縮流體，流動(dòng)狀態(tài)為充分發(fā)展的穩(wěn)定層流[16]。然而在實(shí)際流動(dòng)過(guò)程中，在非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)階段，管內(nèi)流體速度不斷變化，基于細(xì)管法黏度測(cè)試原理計(jì)算的黏度數(shù)值不再是流體真實(shí)黏度。有必要明確非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)階段測(cè)試的流體表觀流變性與理想均勻剪切條件下流體的真實(shí)流變性間的差異，從而探究初始非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)階段速度分布的發(fā)展對(duì)細(xì)管法測(cè)試的初始流變數(shù)據(jù)的影響。

1.2 表征非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的無(wú)量綱參數(shù)定義

1.2.1 無(wú)量綱黏度

(4)

1.2.2 無(wú)量綱時(shí)間

在利用解析方法進(jìn)行非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的相關(guān)研究中通常利用無(wú)量綱時(shí)間描述非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)過(guò)程[7]，無(wú)量綱時(shí)間的定義為

(5)

1.3 不同邊界條件選取說(shuō)明

在實(shí)際管道非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)測(cè)試中恒流量[19]和恒壓力[20-21]是最為常用的加載條件。除此之外，在控制流量邊界下初期可能存在流量從0線性增加的情況[22]。選取的邊界條件分別為恒流量邊界、流量從0線性增加邊界和恒壓力邊界。

定義截面上平均速度概念為

(6)

為計(jì)算方便所有的恒流量條件轉(zhuǎn)換為恒平均速度邊界條件，從0線性增加的流量條件轉(zhuǎn)換為從0線性增加的平均速度邊界。三大邊界條件為:①恒平均速度邊界條件；②從0線性增加的平均速度邊界條件；③恒壓力邊界條件。

2 非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)模型建立

對(duì)于不同邊界條件下的圓管內(nèi)Poiseuille流動(dòng)，如圖1所示，取一段管長(zhǎng)為L(zhǎng)，管徑為R的圓管，管道保持水平，管內(nèi)充滿不可壓縮牛頓流體。初始狀態(tài)全線壓力、速度均為0。在管道始端突然施加一定的加載條件，流體開始運(yùn)動(dòng)。

如圖2所示，圓管內(nèi)空間被劃分為n個(gè)圓筒微元，i表示微元界面位置，I表示微元中心位置。設(shè)i=1等價(jià)于I=1，i=n等價(jià)于I=n。

圖1 圓管Poiseuille流動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic of Poiseuille flow in circular pipe

圖2 圓管Poiseuille流動(dòng)系統(tǒng)空間微元?jiǎng)澐质疽鈭DFig.2 Spatial grid distribution of Poiseuille flow in circular pipe

2.1 動(dòng)量守恒方程

對(duì)于徑向第I(1

(7)

式中，上標(biāo)t+Δt表示下一時(shí)刻，s；t表示當(dāng)前時(shí)刻，s；ρ為流體密度，kg·m-3；Δr為微元寬度，m；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，s。

2.2 剪切應(yīng)力

對(duì)于牛頓流體，其流變特性遵從牛頓內(nèi)摩擦定律，即認(rèn)為當(dāng)流體受到外力作用時(shí)，其剪切速率與剪切應(yīng)力的響應(yīng)成正比。用流變方程描述為

(8)

2.3 剪切速率

(1)I=0。界面處剪切速率可近似描述為

(9)

(2)0

(10)

(3)I=n。界面處剪切速率可描述為

(11)

2.4 邊界條件

(1)恒平均速度邊界。

(12)

式中，v0為施加的恒定平均速度，m·s-1。

(2)從0線性增加的平均速度邊界。

(13)

式中，a為加速度，m·s-2。

(3)恒壓力邊界。

恒壓力邊界條件下圓管進(jìn)出口壓力均為恒定值，分別表示為

p(x=0)=p0,

(14)

p(x=L)=0 .

(15)

式中，x為圓管軸向坐標(biāo)，m；p(x=0)表示圓管入口位置處的壓力，Pa；p(x=L)為管道出口壓力，Pa；p0為施加的恒定壓力，Pa。

2.5 初始條件

初始時(shí)刻，流體靜止，則有

(16)

剪切速率初始值為

(17)

剪切應(yīng)力初始值為

τt=0i=0, 1≤i≤n.

(18)

3 牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)

3.1 數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)參數(shù)定義

采用數(shù)值計(jì)算方法，通過(guò)編譯程序?qū)εｎD流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)特性進(jìn)行研究，采用控制單一變量法研究不同因素對(duì)于非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響規(guī)律。在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中所需基礎(chǔ)參數(shù)的默認(rèn)值設(shè)置：μ=1 Pa·s，L=1 m，R=0.025 m，ρ=800 g·m-3，Δt=10-7s，n=20。研究某一參數(shù)影響時(shí)，僅改變?cè)搮?shù)數(shù)值，其他參數(shù)保持默認(rèn)值不變，對(duì)比計(jì)算結(jié)果，分析該參數(shù)對(duì)于非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響規(guī)律。

3.2 數(shù)值計(jì)算模型驗(yàn)證

文獻(xiàn)[4]中給出了恒壓力邊界條件下的牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)速度分布函數(shù)的解析解。Erdogan[7]根據(jù)速度分布函數(shù)解析解，推導(dǎo)出流量隨無(wú)量綱時(shí)間變化的解析解，表示為

(19)

式中，Q為非穩(wěn)態(tài)過(guò)程測(cè)量流量；-π(ΔP/Δr)R4/8μ為流動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后的流量；λn為貝塞爾函數(shù)。

圓管流動(dòng)中，在恒壓力邊界條件下，黏度與流量成反比[16]。即無(wú)量綱黏度應(yīng)與無(wú)量綱流量互為倒數(shù)，則有

(20)

通過(guò)編譯程序，對(duì)牛頓流體進(jìn)行數(shù)值求解，與解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算模型的可靠性。無(wú)量綱黏度隨無(wú)量綱時(shí)間的變化如圖3所示。

圖3 恒壓力邊界條件下無(wú)量綱黏度數(shù)值解與解析解對(duì)比Fig.3 Comparison between numerical and analytical solutions of dimensionless viscosity under constant pressure condition

由圖3可知，由數(shù)值模型計(jì)算求解的無(wú)量綱黏度變化規(guī)律與文獻(xiàn)[7]一致，說(shuō)明所建立的模型具有一定的可靠性。

3.3 牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)特點(diǎn)

根據(jù)上述牛頓流體非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)的數(shù)值模型，編譯程序，計(jì)算不同邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)過(guò)程相關(guān)參數(shù)。

在Poiseuille流動(dòng)的初始非穩(wěn)態(tài)階段，牛頓流體的速度分布隨時(shí)間發(fā)生變化。以恒平均速度邊界條件為例，取平均速度v0為0.05 m·s-1，其他參數(shù)根據(jù)默認(rèn)值進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，記錄不同時(shí)刻牛頓流體在圓管內(nèi)的速度分布，如圖4所示。

從圖4可以看出，在流動(dòng)發(fā)展的初始階段，同一截面各位置處的流速相差較小，隨著時(shí)間增加流速逐漸發(fā)展至穩(wěn)定狀態(tài)，管中心處流速最大，管壁處流速最小，整個(gè)截面中流速呈拋物線型分布，且不再隨時(shí)間變化，僅與截面上所處位置有關(guān)，即流動(dòng)得到充分發(fā)展。

由分析可知，Poiseuille流動(dòng)的初始非穩(wěn)態(tài)階段主要是由徑向速度分布發(fā)展的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程導(dǎo)致。

圖4 恒平均速度邊界下管內(nèi)速度分布隨時(shí)間變化Fig.4 Velocity distribution under constant average velocity conditions

4 各因素對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響規(guī)律

4.1 流體性質(zhì)與管徑參數(shù)影響

4.1.1 不同流體黏度下非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)差異

圖5 不同黏度條件下無(wú)量綱黏度對(duì)比Fig.5 Dimensionless viscosity under different viscosity conditions

從圖5可以看出，隨著時(shí)間增加無(wú)量綱黏度逐漸降至1，即測(cè)試黏度逐漸接近真實(shí)黏度。根據(jù)無(wú)量綱黏度曲線的變化規(guī)律可知，同一時(shí)刻的真實(shí)黏度越大，其對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱黏度越小，即測(cè)量偏差越小，無(wú)量綱黏度趨近1所需的時(shí)間也越短，即流動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定所需的時(shí)間也越短。

4.1.2 不同管徑下的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)差異

圖6 不同管徑條件下無(wú)量綱黏度對(duì)比Fig.6 Dimensionless viscosity under different pipe diameter conditions

從圖6可以看出，隨著時(shí)間增加無(wú)量綱黏度逐漸降至1，即測(cè)試黏度逐漸接近真實(shí)黏度。同一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的管徑越大，其對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱黏度越大，即測(cè)量偏差越大，無(wú)量綱黏度趨近1所需的時(shí)間也越長(zhǎng)，達(dá)到穩(wěn)定流動(dòng)所需的時(shí)間也越長(zhǎng)。

4.1.3 非穩(wěn)態(tài)階段無(wú)量綱化描述

圖7為不同黏度和管徑條件下無(wú)量綱黏度隨無(wú)量綱時(shí)間變化。由圖7可知，不同黏度和管徑條件下，牛頓流體在非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中的無(wú)量綱黏度隨無(wú)量綱時(shí)間的變化規(guī)律完全一致，即無(wú)量綱黏度可視為僅與無(wú)量綱時(shí)間相關(guān)的函數(shù)。

圖7 不同黏度和管徑條件下無(wú)量綱黏度隨無(wú)量綱時(shí)間變化Fig.7 Change of dimensionless viscosity with dimensionless time under different viscosity and pipe diameter conditions

4.2 不同邊界條件下非穩(wěn)態(tài)Poiseuille流動(dòng)

4.2.1 邊界條件參數(shù)取值的影響

分別在各邊界條件下取不同數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。具體取值情況為：①恒平均速度邊界條件下，取平均速度分別為0.01、0.05、0.10 m·s-1；②從0線性增加的平均速度邊界條件下，取加速度分別為0.01、0.1、1 m·s-2；③恒壓力邊界條件下，取邊界壓力分別為600、1 000、2 000 Pa。

4.2.2 邊界條件類型影響

3種邊界條件下的無(wú)量綱黏度對(duì)比如圖9所示。

圖8 各邊界下不同參數(shù)下的無(wú)量綱黏度對(duì)比Fig.8 Comparison of dimensionless viscosities under different parameter in each boundary condition

(21 )

圖9 不同類型邊界條件下無(wú)量綱黏度對(duì)比Fig.9 Comparison of dimensionless viscosity under different kinds of boundary conditions

相比恒壓力邊界，恒平均速度邊界條件下Poiseuille流動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定所需的時(shí)間更短。而相比恒平均速度邊界，非定常的平均速度邊界會(huì)造成Poiseuille流動(dòng)的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程顯著延長(zhǎng)。

5 結(jié) 論

(1)3種邊界條件下非穩(wěn)態(tài)過(guò)程使得黏度測(cè)量結(jié)果較流體真實(shí)黏度偏大。隨著非穩(wěn)態(tài)階段時(shí)間增大測(cè)量黏度逐漸趨近于真實(shí)黏度。

(2)以無(wú)量綱黏度表征非穩(wěn)態(tài)階段特征，隨著時(shí)間延長(zhǎng)無(wú)量綱黏度逐漸降至1，且不同邊界條件下達(dá)到1所對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱時(shí)間為定值。

(3)在同一類型邊界條件下無(wú)量綱黏度僅與無(wú)量綱時(shí)間有關(guān)，與邊界條件中的平均速度、壓力及加速度均無(wú)關(guān)。

(4)對(duì)比不同類型邊界條件，從0線性增加的平均速度邊界會(huì)造成Poiseuille流動(dòng)的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程顯著延長(zhǎng)，恒壓力邊界條件所需的流動(dòng)發(fā)展時(shí)間次之，恒平均速度邊界條件對(duì)應(yīng)的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程最短。

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