一種考慮恢復(fù)的鹽巖流變-損傷本構(gòu)模型

王貴君，蔡晟鑫，劉熙媛，李 東，張 嶺

(河北工業(yè)大學(xué) 土木與交通學(xué)院，天津 300401)

鹽巖具有結(jié)構(gòu)致密、滲透性低、流變性強(qiáng)、可恢復(fù)等特性，適合用于建造石油、天然氣儲庫、高放射性核廢料處置庫[1]。鹽巖油氣儲庫已在歐美國家得到了廣泛應(yīng)用，我國也加大了對鹽巖儲庫的研究與建設(shè)的投入。

在鹽巖儲庫設(shè)計(jì)時(shí)，采用考慮恢復(fù)的本構(gòu)模型與不考慮恢復(fù)的模型相比，可以降低鹽穴最小存儲壓力，增大儲庫工作壓力區(qū)間，進(jìn)而提高鹽穴儲庫存儲油氣的能力，降低造價(jià)。因此，開展鹽巖流變-損傷恢復(fù)特性的研究具有重要科學(xué)意義和工程價(jià)值。

針對鹽巖的恢復(fù)特性，人們已經(jīng)做了一些機(jī)理方面的研究。HOUBEN et al[2]提出將鹽巖裂隙愈合機(jī)理分為3種類型：a.鹽巖受壓縮彈性變形或者塑性流動，使裂隙閉合；b.鹽巖晶粒表面能降低，引起介質(zhì)擴(kuò)散或化學(xué)愈合，使裂隙縮小甚至完全彌合，減小鹽巖滲透性，提高鹽巖強(qiáng)度；c.鹽巖的再結(jié)晶作用使得外部熱能驅(qū)動晶粒界面上的物質(zhì)遷移至裂隙表面，逐步增大裂隙接觸面積，使裂隙最終完全愈合。PFEIFLE et al[3]在WIPP鹽巖三軸流變試驗(yàn)中通過監(jiān)測損傷發(fā)展和巖樣滲透系數(shù)變化研究鹽巖的恢復(fù)，采用一階動力方程描述恢復(fù)規(guī)律。梁衛(wèi)國等[4]對無水芒硝鹽巖試件進(jìn)行了完全剪切試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)高溫條件對鹽巖內(nèi)摩擦角恢復(fù)效果明顯，對內(nèi)聚力恢復(fù)作用不大。陳結(jié)等[5]通過對鹽巖試樣進(jìn)行不完全剪切試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)鹽巖的損傷特征對剪切方向敏感度較高。姜德義等[6]通過對損傷鹽巖進(jìn)行自恢復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)鹽巖損傷恢復(fù)并不是簡單的力學(xué)性質(zhì)的增強(qiáng)，而是綜合性質(zhì)的改善。

在試驗(yàn)研究基礎(chǔ)上，不少學(xué)者提出了適于鹽巖的本構(gòu)模型。CHAN et al[7]在MUNSON et al[8]提出的MD模型的基礎(chǔ)上，提出了一種可以同時(shí)考慮位錯(cuò)流變、剪切損傷、張拉損傷和損傷恢復(fù)的多機(jī)制耦合模型——MDCF(multimechanism deformation coupled fracture)模型。DEVRIES et al[9-11]在有限元法中采用損傷勢理論和MDCF模型，求得不產(chǎn)生擴(kuò)容條件下的鹽巖儲庫最小運(yùn)行壓力，研究了增大運(yùn)行壓力后的損傷恢復(fù)發(fā)展過程；應(yīng)用于鹽巖儲庫后成功降低了儲庫的最小運(yùn)行壓力，提高了儲庫存儲能力。HOU et al[12]和LUX et al[13]運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，在Lubby2流變模型基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)可以考慮損傷恢復(fù)的流變模型，并將其應(yīng)用于放射性核廢料處置庫工程中。然而，由于參數(shù)過多且確定參數(shù)的過程復(fù)雜，MDCF模型和Hou/Lux模型很難得到推廣應(yīng)用。筆者在Cater模型基礎(chǔ)上提出了一種可以定量描述鹽巖損傷發(fā)展的流變-損傷模型，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的正確性[14](以下簡稱此模型為“原模型”)。

本文以流變試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，在原模型基礎(chǔ)上，考慮鹽巖的流變-損傷恢復(fù)，建立一個(gè)同時(shí)考慮流變-損傷、損傷破壞、恢復(fù)的鹽巖流變-損傷模型，分析在不同卸載狀態(tài)下鹽巖流變-損傷恢復(fù)的規(guī)律，并分析鹽巖流變-損傷和恢復(fù)的影響因素。

1 考慮恢復(fù)的流變-損傷本構(gòu)模型

由基本原件組合而成的流變模型可以很好描述巖石的過渡、穩(wěn)態(tài)流變階段，但無法描述加速流變階段。解決的辦法可以大致分為兩類：一種是按照Lemaitre的應(yīng)變等效原理，將理論流變模型中的表觀應(yīng)力(Cauchy應(yīng)力)替換為有效應(yīng)力，材料性能在有效應(yīng)力作用下隨損傷變量的增大而不斷劣化，采用適當(dāng)?shù)膿p傷演化方程，就可以描述巖石的加速流變階段；另一種是在總流變變形中添加一項(xiàng)由應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)控制、由損傷引起的流變(流變率)，從而獲得加速流變階段。

依照唯象理論的思路，在原模型中增加一項(xiàng)恢復(fù)流變，考慮恢復(fù)的流變-損傷模型擴(kuò)展為

ε=εt+εs+εd+εh.

(1)

式中：ε為總流變變形；εt為過渡流變分量；εs為穩(wěn)態(tài)流變分量；εd為由損傷引起的流變分量；εh為由恢復(fù)作用引起的流變分量。

(2)

(3)

(4)

(5)

σh=-Δσi,

(6)

(7)

參照文獻(xiàn)[14]，仍然采用“損傷增速界限”的概念?？紤]由卸載引起的損傷恢復(fù)，損傷演化方程變?yōu)?/p>

(8)

(9)

σm=(σ1+σ2+σ3)/3 .

(10)

式中：G,Gh,Gdh分別為彈性、流變和損傷恢復(fù)剪切模量；η，ηh，ηdh分別為黏滯系數(shù)、流變黏滯系數(shù)和損傷恢復(fù)黏滯系數(shù)；A1，A2，n，B，r為材料參數(shù)；Q1，Q2為材料的激活能；R為氣體熱力學(xué)常數(shù)，T為絕對溫度；D為損傷變量，0

如果鹽巖始終處于加載或恒載狀態(tài)，沒有卸載，σh為0，本模型退化為流變-損傷模型。

2 模型的比較與驗(yàn)證

2.1 MDCF模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

DEVRIES et al對取自美國海灣2號井(Bay Gas Well No.2，McIntosh Dome，Mobile,Alabama)鹽巖試樣開展了有卸載過程的三軸壓縮流變試驗(yàn)，得到了3個(gè)鹽巖試樣的應(yīng)變-時(shí)間變化曲線。采用MDCF模型對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，得到的擬合曲線如圖1所示[9]。圖1只給出了鹽巖加載階段流變變形的擬合曲線，沒有給出卸載階段流變恢復(fù)的擬合結(jié)果。

圖1 MDCF模型計(jì)算流變曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較[9]Fig.1 Comparison between MDCF calculation and the experimental results[9]

2.2 本模型的擬合結(jié)果

作為對比，按照本文模型式(1)-式(10)，采用最小二乘法對DEVRIES et al的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，得到的擬合曲線如圖2中實(shí)線所示?？梢钥闯?，我們的模型可以很好地描述鹽巖流變和恢復(fù)過程。擬合模型材料參數(shù)如表1所示。

圖2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)[9]與本模型擬合結(jié)果對比Fig.2 Comparison between model predictions and experimental results[9]

由表1可知，盡管3個(gè)試樣所受荷載、歷時(shí)與流變變形大小均不同，表征穩(wěn)態(tài)流變及損傷恢復(fù)的參數(shù)離散性并不大，而表征彈性、過渡流變和損傷演化的參數(shù)離散性較大。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是：試樣個(gè)體差異以及試驗(yàn)過程中產(chǎn)生的誤差；試件從深部地層取出后產(chǎn)生應(yīng)力卸除效應(yīng)，而在穩(wěn)態(tài)流變-損傷和恢復(fù)階段已經(jīng)消除了這種效應(yīng)。作者在鹽巖流變-損傷-破壞試驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)過這種效應(yīng)[15]。

表1 擬合參數(shù)Table 1 Regression parameters

根據(jù)本文模型及實(shí)驗(yàn)擬合參數(shù)，得到上述3個(gè)鹽巖試樣的損傷發(fā)展曲線，如圖3所示。

在試驗(yàn)的第二階段即卸載段，鹽巖產(chǎn)生了由卸載引起的流變-損傷恢復(fù)。從流變曲線(圖2)和損傷曲線(圖3)可以看出，鹽巖流變-損傷恢復(fù)也具有明顯的“過渡”(“衰減”)特點(diǎn)，流變恢復(fù)和損傷恢復(fù)速率逐漸減小，直至本級卸載效應(yīng)消失，流變變形和損傷發(fā)展速率又變?yōu)檎担髯兦€與損傷曲線均呈上凹形狀。這個(gè)階段的流變-損傷“過渡”恢復(fù)現(xiàn)象消失后，試件流變變形速率和損傷發(fā)展速率比恢復(fù)前的速率均有所降低。顯然，3個(gè)試樣的損傷均未達(dá)到損傷增速界限，因此，損傷變量和流變變形發(fā)展緩慢。

圖3 損傷變量D全程變化曲線Fig.3 Curves of damage evolution D vs. time

需要說明的是，在加載階段，3個(gè)試件承受的應(yīng)力差(相當(dāng)于流變-損傷等效應(yīng)力)Δσ依次分別為13.79，17.24，20.68 MPa；穩(wěn)態(tài)流變速率分別為4.06×10-4，1.29×10-3，5.04×10-3d-1；穩(wěn)態(tài)損傷速率分別為1.27×10-4，9.70×10-4，1.42×10-3d-1.在卸載階段，3個(gè)試件等效應(yīng)力卸載量分別為3.45，3.45，6.89 MPa；試樣3的卸載量為試樣1和試樣2的2倍，試樣3的損傷恢復(fù)程度比試樣1和試樣2的大，導(dǎo)致圖3中曲線2在第二階段位于曲線3上方。3個(gè)試樣第二階段穩(wěn)態(tài)損傷速率分別為8.93×10-5，8.47×10-4，5.19×10-4d-1.

在第二階段，試樣2和試樣3承受的等效應(yīng)力相同，均為13.79 MPa；卸載效應(yīng)消失后的穩(wěn)態(tài)損傷速率值接近，但因加載和流變歷史不同，損傷變量絕對值不同。

3 材料流變-損傷的影響因素分析

本節(jié)根據(jù)試樣3的試驗(yàn)條件，研究本模型在卸載條件下恢復(fù)等效應(yīng)力σh、參數(shù)r、B和n對鹽巖流變-損傷及其恢復(fù)的影響。

3.1 恢復(fù)等效應(yīng)力σh和恢復(fù)延遲時(shí)間ηdh/Gdh

在三軸壓縮試驗(yàn)中，軸向荷載的卸載大小對鹽巖試件的流變-損傷恢復(fù)是控制性的，即σh與Gdh的比值控制鹽巖損傷恢復(fù)大小。卸載(即恢復(fù)等效應(yīng)力大于零)后，損傷變量演化速率快速降低，其影響隨時(shí)間逐漸減弱，最終消失，恢復(fù)量呈現(xiàn)衰減的特征，恢復(fù)后的損傷演化速率較恢復(fù)前有所降低。

如圖4所示，試驗(yàn)時(shí)間t=12 d時(shí)發(fā)生軸向卸載；當(dāng)σh= 6，8，10 MPa時(shí)，損傷恢復(fù)極限值分別為0.010，0.013，0.017；損傷恢復(fù)時(shí)間等于損傷恢復(fù)延遲時(shí)間(ηdh/Gdh=1.25 d)時(shí)，損傷恢復(fù)達(dá)到最終值的63%. 這里的損傷恢復(fù)延遲時(shí)間僅影響損傷恢復(fù)的快慢程度，不影響其恢復(fù)大小。

圖4 損傷變量D與時(shí)間t及恢復(fù)等效應(yīng)力σh關(guān)系曲線Fig.4 Damage evolution D vs. time t with different equivalent recovery stresses

3.2 參數(shù)r和B

參數(shù)r對鹽巖損傷演化速率影響較大，如圖5所示。三軸壓縮試驗(yàn)中軸向卸載(t=12 d)導(dǎo)致鹽巖試樣損傷演化速率顯著降低，損傷恢復(fù)(損傷變量的減小)量隨r值的增加而增加。此外，鹽巖在穩(wěn)態(tài)流變階段的損傷演化速率隨r值的增大而減小。

需要注意的是，取r=4.2，荷載持續(xù)到第18天時(shí)，損傷變量超過損傷增速界限D(zhuǎn)a(Da=0.12)；之后損傷變量迅速增大，到第33天，損傷演化速率已接近無窮大，試件將發(fā)生破壞(圖5).

圖5 損傷變量D與時(shí)間t及參數(shù)r關(guān)系曲線Fig.5 Damage evolution D vs. time t with different values of r

參數(shù)B對損傷變量的影響與參數(shù)r的影響類似(圖6).到試驗(yàn)的第33天為止，當(dāng)B=125，135 MPa時(shí)，損傷發(fā)展極為緩慢，損傷變量值均小于0.04.然而，當(dāng)B=105 MPa時(shí)，在第33天，損傷變量已達(dá)0.19，超過損傷增速界限，試樣將發(fā)生破壞。

圖6 損傷變量D與時(shí)間t及參數(shù)B關(guān)系曲線Fig.6 Damage evolution D vs. time t with different values of B

3.3 參數(shù)n

參數(shù)n為穩(wěn)態(tài)和損傷流變速率的應(yīng)力指數(shù)，對鹽巖的流變速率影響極大。在其他模型參數(shù)恒定的條件下，過渡階段和恢復(fù)階段鹽巖流變速率隨參數(shù)n的增大而增大；n分別為6.2，5.8，5.4時(shí)對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)流變速率分別為0.030，0.009，0.003 d-1；而恢復(fù)后再達(dá)到穩(wěn)態(tài)流變階段的時(shí)間與參數(shù)n無關(guān)，本組試驗(yàn)達(dá)到穩(wěn)態(tài)流變的時(shí)間約為7 d左右，如圖7所示。

圖7 總?cè)渥兟逝c時(shí)間t及參數(shù)n關(guān)系曲線Fig.7 Curves of creep rate vs. time t with different values of n

4 結(jié)論

1) 在過渡流變和穩(wěn)態(tài)流變階段，鹽巖流變和損傷速率均較小，損傷變量值也很小。

2) 在三軸壓縮試驗(yàn)中，保持圍壓不變，減小軸向壓力，使鹽巖試件的流變和損傷產(chǎn)生恢復(fù)。

3) 鹽巖的流變-損傷恢復(fù)具有明顯的“過渡”特點(diǎn)。流變變形恢復(fù)和損傷恢復(fù)效應(yīng)是一個(gè)衰減過程，恢復(fù)速率逐漸減小，直至本級卸載效應(yīng)消失，流變變形和損傷發(fā)展速率又變?yōu)檎?。達(dá)穩(wěn)態(tài)后試件流變變形速率和損傷發(fā)展速率比恢復(fù)前的速率均有所降低。

本文提出的鹽巖流變-損傷-恢復(fù)模型不但繼承了原模型描述鹽巖流變-損傷-破壞全過程的特性，也能真實(shí)地反映卸載后鹽巖流變-損傷恢復(fù)。表征鹽巖穩(wěn)態(tài)流變-損傷和恢復(fù)的模型參數(shù)離散性不大。

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