一道向量題的多種解法探究

江蘇省常州高級中學 (213003) 陳 武

題面設置簡單、解題入口寬、解法靈活多樣，能有效地考查平面向量的基礎知識，考查數(shù)形結合思想和轉(zhuǎn)化化歸的能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.下面對這道題目的解法進行探究，供讀者參考.

圖1

解法1:建立直角坐標系xOy如圖1所示，不妨設A(-1，0),B(1,0),C(cosα,sinα)，P(rcosθ,rsinθ)其中r∈[0,1],α,θ∈[0,2π].

4(cos(α-θ)=-1，r=1時等號成立);

評注:本解法通過建立直角坐標系xOy用向量數(shù)量積的坐標運算來求解，思路清晰.在求解3r2-2rcos(α-θ)-1的最值時先 “固定”r處理cos(α-θ)，然后再求解最大最小值.

文[1]給出矩形的如下性質(zhì)

設O為矩形ABCD所在平面上任意一點，則恒有OA2+OC2=OB2+OD2.

評注:(1)本解法中運用了矩形的這個看似簡單但功能強大的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求2PO2+PC2-2的取值范圍；(2)2PO2+PC2-2取值范圍的求解也可利用解法3的不等式和數(shù)形結合思想來處理.

[1]王淼生.在談矩形一個性質(zhì)得應用[J].數(shù)學通訊(上半月)，2016(7、8)：53-55.

[2]袁青.巧用極化恒等式解決兩類平面向量數(shù)量積問題[J]. 數(shù)學通訊(上半月)，2016(7、8)：24-25.