解決向量問(wèn)題的三重境界

浙江省寧波市北侖中學(xué) (315800) 劉曉華 吳文堯

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一，著名數(shù)學(xué)大師華羅庚教授曾這樣贊美數(shù)形結(jié)合的重要性：數(shù)形本是相依偎，焉能紛作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.平面向量既有數(shù)的性質(zhì)又有形的意義,是架設(shè)在數(shù)與形之間天然的橋梁；由于平面向量問(wèn)題又是數(shù)學(xué)高考的必考內(nèi)容,也是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)之一；因此也成了我們復(fù)習(xí)應(yīng)試中關(guān)注的焦點(diǎn)之一.晚清學(xué)者王國(guó)維在他所著的《人間詞話》中曾總結(jié)為人的三重境界；筆者研究發(fā)現(xiàn)要很好地解決高考數(shù)學(xué)中的平面向量問(wèn)題也須經(jīng)歷與之相對(duì)應(yīng)的三重境界,現(xiàn)介紹如下：

境界之一：識(shí)向量,脫去作為包裝使用的平面向量問(wèn)題

——昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù),獨(dú)上高樓,望盡天涯路．

由于解析幾何中一些幾何關(guān)系運(yùn)用平面向量來(lái)表述顯得更加簡(jiǎn)捷,所以在高考數(shù)學(xué)試題中,平面向量作為重要的數(shù)學(xué)工具,顯性地出現(xiàn)在解答題中,往往是在圓錐曲線大題中作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的形式出現(xiàn)，即在試題中僅僅起到包裝的作用；對(duì)于這類問(wèn)題，在應(yīng)試時(shí)只須把用平面向量表述的關(guān)系式等價(jià)轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的解析幾何問(wèn)題即可，即脫去其包裝，暴露問(wèn)題的本質(zhì)即可.

(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;

分析：(Ⅰ)由于點(diǎn)P隨點(diǎn)M的變化而變化，且點(diǎn)M在已知橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以可選擇用轉(zhuǎn)移法求其軌跡方程.在操作過(guò)程中只須把題設(shè)給出的向量關(guān)系式“翻譯”成關(guān)于這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式即可.

分析：(Ⅱ)易見(jiàn)這是解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)直線PE隨點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)的變化而變化，又注意到這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在已知曲線和已知直線上，所以其坐標(biāo)可分別用一個(gè)參數(shù)來(lái)表示，而已知條件給出的向量關(guān)系可以“翻譯”成關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)的方程，從而可把雙變量問(wèn)題化歸為單變量問(wèn)題來(lái)解決.

圖1

境界之二：破向量,掌握破解平面向量小題常用對(duì)策

——衣帶漸寬終不悔,為伊消得人憔悴．

平面向量作為高中數(shù)學(xué)必修部分的重要內(nèi)容，在高考數(shù)學(xué)試卷中通常在選擇題和填空題中出現(xiàn)，且往往是中檔題或稍難題；只有掌握破解平面向量問(wèn)題的常用解題對(duì)策并能靈活運(yùn)用，才能在應(yīng)試中做到游刃有余，立于不敗之地.

破解平面向量問(wèn)題的解題對(duì)策五花八門(mén)，但常用的不外乎以下幾種：

1.幾何意義法：先畫(huà)一個(gè)與問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的圖形，利用向量的幾何意義，借助圖形解決問(wèn)題，做到有圖有真相.

2.直角坐標(biāo)法:在直角坐標(biāo)系中研究問(wèn)題,把向量運(yùn)算化歸為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

3.利用基底法:運(yùn)用平面向量基本定理,選擇不共線的兩個(gè)向量作為基底,把問(wèn)題涉及向量用基底表示之.

4.兩邊平方法:當(dāng)問(wèn)題涉及向量的模有關(guān)等式(或不等式)時(shí),可兩邊平方把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算.

5.兩邊點(diǎn)積法:當(dāng)已知條件中的向量關(guān)系式涉及向量的模確定時(shí),可對(duì)向量關(guān)系式兩邊點(diǎn)乘某一已知向量,從而把向量關(guān)系式化歸為數(shù)量積的關(guān)系式.

6.引入?yún)?shù)法:當(dāng)涉及的向量問(wèn)題是動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí),可選擇合適的參變量,建立與之相對(duì)的目標(biāo)函數(shù)，從而把原問(wèn)題化歸為研究這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì).

分析之一:注意到題目條件和結(jié)論均涉及向量的模，且是向量有關(guān)的最值問(wèn)題，所以可以考慮選擇兩邊平方法,結(jié)合引入?yún)?shù)法解決之.

解法之一:兩邊平方法

當(dāng)x=1,y=3或x=3,y=1時(shí),x+y取最小值4.

解法之二:幾何意義法.

圖2

當(dāng)x=1,y=3或x=3,y=1時(shí),x+y取最小值4.

解法之三:直角坐標(biāo)法.

圖3

解答之一：利用基底法

圖4

分析之二：要求m+n的值,只須分別求出m,n的值,即須得到關(guān)于m,n的兩個(gè)方程;注意到問(wèn)題涉及向量的模均已確定,且它們的夾角也確定,因此可選“兩邊點(diǎn)積法”解之.

解答之二：兩邊點(diǎn)積法.

境界之三：用向量,自覺(jué)運(yùn)用平面向量簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程

——眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處．

圓錐曲線之所以成為難點(diǎn)的一個(gè)重要原因是運(yùn)算復(fù)雜，有許多考生在解題前能設(shè)計(jì)好解題方案，但在具體操作時(shí)，陷入繁雜的運(yùn)算之中而不能自拔，最終結(jié)果還是“千呼萬(wàn)喚不出來(lái)”；出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因，不外乎以下兩個(gè)：其一是自身運(yùn)算能力比較差，特別是涉及有關(guān)字母運(yùn)算時(shí)更顯得力不從心；其二是不注意運(yùn)算工具的選擇，采用“高點(diǎn)強(qiáng)攻”的戰(zhàn)術(shù)比較多，以至把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化，從而造成“夜長(zhǎng)夢(mèng)多”，出錯(cuò)的概率也隨之提高.其中合理地使用平面向量這個(gè)數(shù)學(xué)工具是簡(jiǎn)化運(yùn)算的重要途徑之一，即讓運(yùn)用向量變?yōu)槲覀冏杂X(jué)的行動(dòng)，也許這就是學(xué)習(xí)向量的最高境界了.

圖5

(Ⅰ)求直線AP的斜率k的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.

分析：對(duì)于第(Ⅱ)問(wèn)，通常的方法是把P,Q兩

點(diǎn)的坐標(biāo)都用k表示之，從而把|PA||PQ|表示成關(guān)于k的函數(shù)，然后求出這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最大值，而求點(diǎn)Q的坐標(biāo)可不是一件輕松的事,這里也成了許多考生的“滑鐵盧”;其實(shí)命題組提供的解答也是如此.若注意到PQ是PB在直線AP上的投影，則可運(yùn)用向量方法，不必求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而極大地縮短解題的長(zhǎng)度.

搞清平面向量的有關(guān)概念及其運(yùn)算是解決有關(guān)向量問(wèn)題的基礎(chǔ)，也能容易達(dá)到第一境界；掌握解決平面向量小題的常用解題對(duì)策是成功解決向量問(wèn)題的關(guān)鍵;只有對(duì)平面向量的有關(guān)內(nèi)容有深刻的理解,有扎實(shí)的功底,較高的數(shù)學(xué)思想觀點(diǎn),才能在應(yīng)試中信手拈來(lái),有一覽眾山小的感覺(jué).