從代數(shù)角度研究函數(shù)圖像變換問(wèn)題

陜西省西安市高新第一中學(xué) (710065) 汪仁林陜西省咸陽(yáng)市乾縣第一中學(xué) (713300) 姚利娟

最近筆者在上這節(jié)課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖像變換，有了新的收獲，現(xiàn)展現(xiàn)出來(lái)，與讀者交流.

一、教學(xué)策略

因?yàn)楹瘮?shù)圖像是由點(diǎn)構(gòu)成的，在研究圖像變換過(guò)程中，緊扣“研究圖像的變換規(guī)律實(shí)際上就是研究圖像上每個(gè)點(diǎn)的變化規(guī)律”這一本質(zhì)來(lái)進(jìn)行教學(xué)，先重點(diǎn)研究了參數(shù)φ對(duì)y=sin(x+φ)圖像的影響，初步感悟欲研究函數(shù)圖像的變換規(guī)律，只需研究圖像上每個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律，進(jìn)而讓學(xué)生類比已有的研究方法，自主探究另兩個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響，再研究含三個(gè)參數(shù)的圖像變換綜合問(wèn)題，最后將方法和規(guī)律推廣到一般函數(shù)中去.

二、教學(xué)實(shí)錄

1.研究y=sin(x+φ)與y=sinx圖像的關(guān)系

研究函數(shù)圖像的關(guān)系，其實(shí)就是研究圖像上點(diǎn)的關(guān)系，如果我們?cè)O(shè)函數(shù)y=sinx圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0,y0)，這就說(shuō)明sinx0=y0，由x+φ=x0得x=x0-φ.所以函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像必定過(guò)M′(x0-φ,y0).容易知，點(diǎn)y=sinx可看成是由點(diǎn)M(x0,y0)向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個(gè)單位得到.所以函數(shù)y=sin(x+φ)圖像是由函數(shù)y=sinx圖像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個(gè)單位得到.

由上述規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，左右平移變換可以利用對(duì)比零點(diǎn)位置來(lái)輕松解決，例如，函數(shù)y=sinx的一個(gè)零點(diǎn)為x=0，由x+φ=0可得到函數(shù)y=sin(x+φ)與其對(duì)應(yīng)的一個(gè)零點(diǎn)為x=-φ，比較0和-φ在數(shù)軸上的位置，就可輕松得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像是由函數(shù)y=sinx圖像向左還是向右平移|φ|個(gè)單位得到.

2.研究y=Asinx與y=sinx圖像的關(guān)系

學(xué)生分組合作，運(yùn)用剛學(xué)的研究方法，來(lái)研究y=Asinx與y=sinx圖像的關(guān)系，概括總結(jié)一般規(guī)律.類比上述方法，設(shè)函數(shù)y=sinx圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0,y0)，則函數(shù)y=Asinx的圖像必定過(guò)M′(x0,Ay0)，對(duì)比M(x0,y0)和M′(x0,Ay0)兩點(diǎn)坐標(biāo)可知，函數(shù)y=Asinx的圖像是由函數(shù)y=sinx圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)A倍得到.

3.研究y=sinωx(ω>0)與y=sinx圖像的關(guān)系

4.研究y=sinωx(ω>0)與y=sin(ωx+φ)圖像的關(guān)系

5.研究y=sinx與y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖像的關(guān)系

6.研究y=f(x)與y=Af(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖像的關(guān)系

由以上推導(dǎo)規(guī)律可知，從代數(shù)角度(坐標(biāo))研究函數(shù)圖像變換對(duì)任意函數(shù)都適合，所以函數(shù)y=Af(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖像可由函數(shù)y=f(x)圖像按上述方案①或方案②變換得到.

三、教后反思

從學(xué)生的課堂練習(xí)與課后作業(yè)效果來(lái)看，學(xué)生能夠抓住圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的變化關(guān)系正確解答圖像變換問(wèn)題，且對(duì)圖像的變換本質(zhì)能夠深刻理解，起到了事半功倍的效果！

本節(jié)課從代數(shù)角度(坐標(biāo)變化關(guān)系)研究圖像變換，抓住了圖像變換的本質(zhì)，使學(xué)生能夠知其然且知其所以然，真正做到“變教教材為用教材”.如果從代數(shù)角度研究完圖像變換規(guī)律后再能借助幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示驗(yàn)證，教學(xué)效果會(huì)更好！

[1]劉聰勝、汪仁林.重視思想生成體驗(yàn),打造高效課堂——“正弦函數(shù)的性質(zhì)”(第一課時(shí))教學(xué)案例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014(1-2)：74-78.