走出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的教學(xué)困境

福建省閩清教師進(jìn)修學(xué)校 (350800) 黃如炎

1 教學(xué)現(xiàn)狀

直線與圓錐曲線位置關(guān)系向來(lái)是解析幾何的教學(xué)難點(diǎn)，高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)與難點(diǎn)．對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題，教師們?cè)黾恿私虒W(xué)課時(shí)，設(shè)計(jì)了復(fù)習(xí)專(zhuān)題，強(qiáng)化了練習(xí)考試．學(xué)生們投入了成倍學(xué)時(shí)，經(jīng)歷了艱難思路，進(jìn)行了大量運(yùn)算，但教學(xué)卻毫無(wú)成效．2017年高考理科全國(guó)I卷直線與圓錐曲線位置關(guān)系的解答題是道尋常題，第二步滿(mǎn)分7分，絕大多數(shù)考生不能得分，只有極少數(shù)考生能得1至2分[1]．勞而無(wú)功的教學(xué)使教師對(duì)解幾失去信心，學(xué)生對(duì)解幾產(chǎn)生恐懼．當(dāng)教學(xué)投入與產(chǎn)出總不成正比時(shí)，不少教師認(rèn)為直線與圓錐曲線位置關(guān)系是不可教，許多學(xué)生(包括優(yōu)等生)認(rèn)為直線與圓錐曲線關(guān)系是不可學(xué)．有些教師在考試策略上指導(dǎo)學(xué)生對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系要舍得放棄，實(shí)施“第一步確保，第二步列式”的戰(zhàn)術(shù)，錯(cuò)失了解析幾何承載的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的教育價(jià)值．本文從解析幾何本質(zhì)、圓錐曲線屬性、平面幾何性質(zhì)和直線方程選擇的視角，旨在讓教師走出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的教學(xué)困境，使直線與圓錐曲線位置關(guān)系變得教師可教，學(xué)生可學(xué)，考試可得．

2 基本思路

解析幾何是把幾何問(wèn)題代數(shù)化，即解析法的本質(zhì)是坐標(biāo)法．研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的基本思路為：引入相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)→把幾何問(wèn)題用坐標(biāo)表示→由點(diǎn)所在的直線、曲線方程求出坐標(biāo)或坐標(biāo)關(guān)系式→通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題．

3 研究經(jīng)驗(yàn)

研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系，除了遵循解析法的基本思路外，還要從圓錐曲線屬性、平面幾何性質(zhì)和直線方程選擇的視覺(jué)，優(yōu)化研究過(guò)程．圓錐曲線定義是圓錐曲線的本源，涉及焦半徑的問(wèn)題利用定義直截了當(dāng)．在坐標(biāo)化前要考慮能否利用平幾、三角、向量、定義等知識(shí)簡(jiǎn)化幾何關(guān)系，坐標(biāo)化過(guò)程要注意每個(gè)式子的幾何意義．?dāng)?shù)與形密不可分，數(shù)形結(jié)合是優(yōu)化思維性，減少運(yùn)算量的利器．直線和圓錐曲線方程問(wèn)題中，圓錐曲線方程相對(duì)單一，但直線方程形式多樣，選擇哪條直線，選擇哪種形式，對(duì)計(jì)算量有很大關(guān)系，因此要根據(jù)題情判斷如何優(yōu)選直線方程．此外，坐標(biāo)化后代數(shù)運(yùn)算要遵循數(shù)式運(yùn)算法則，先細(xì)致觀察數(shù)式表征后實(shí)施相應(yīng)運(yùn)算．對(duì)同類(lèi)項(xiàng)要展開(kāi)合并，多項(xiàng)式要因式分解，公因式要提取，分式要通分(或去分母)，多元要消元，同一個(gè)式子要視為一個(gè)整體，去括號(hào)要注意是否變號(hào)．教師對(duì)運(yùn)算要言傳身教，全程示范，不能用“化簡(jiǎn)為”、“整理得”省略學(xué)生可能犯錯(cuò)的步驟，在板演中強(qiáng)調(diào)思維點(diǎn)、切入點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、得分點(diǎn)．

“回歸定義不可忘，數(shù)形結(jié)合成習(xí)慣，選擇直線要判斷，數(shù)式先看后運(yùn)算”應(yīng)成為研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的基本經(jīng)驗(yàn)．

(1)求C的方程;

(2)直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，若直線PA與直線QA斜率的倒數(shù)的和為-1，求證：l過(guò)定點(diǎn)．(2017年高考全國(guó)I卷理科第20題改編)

研究方法分析如下．

(1)方法1：與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題自然想到定義，設(shè)另一焦點(diǎn)為F′，四邊形MFNF′對(duì)角線互相平分，故MFNF′為平行四邊形，由橢圓定義知|MF′|+|MF|=|NF|+|MF|=2a，所以△MNF周長(zhǎng)為|MN|+2a，當(dāng)MN為短軸時(shí)|MN|最小，所以

2.2.2 食品防腐劑 目前，大多食品防腐劑也可用于楊梅采后病害的防治。王益光等[21]采用蔗糖酯、尼泊金乙酯、山梨酸鉀和苯甲酸鈉對(duì)楊梅果實(shí)進(jìn)行處理，發(fā)現(xiàn)蔗糖酯防腐效果最好，其次是尼泊金乙酯，而苯甲酸鈉和山梨酸鉀的防腐效果不明顯。柴春燕等[22]比較了CAP-10、山梨酸鉀、尼泊金乙酯處理?xiàng)蠲饭麑?shí)的效果，發(fā)現(xiàn)這些防腐劑都對(duì)楊梅采后病原菌都有不同程度的抑制作用，其中CAP-10的抑菌效果最佳，并且相比山梨酸鉀和尼泊金乙酯，藥液味較淡。

圖1

方法2：三角形MNF周長(zhǎng)由M、N、F三點(diǎn)坐標(biāo)決定，可得研究思路：

引入點(diǎn)M，N，F(xiàn)坐標(biāo)→把幾何問(wèn)題“△MNF周長(zhǎng)”用坐標(biāo)表示→由點(diǎn)M所在的橢圓方程求出坐標(biāo)關(guān)系→通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題．

設(shè)M(x0,y0)，N(-x0,-y0)，F(xiàn)(c，0),則

圖2

(2)直線PA與直線QA斜率由點(diǎn)P，Q，A決定，可得研究思路：引入點(diǎn)P，Q坐標(biāo)→把幾何問(wèn)題“直線PA與直線QA斜率的倒數(shù)的和”用坐標(biāo)表示→由點(diǎn)P，Q所在的直線l(或直線PA、QA)和橢圓C方程求出坐標(biāo)或坐標(biāo)關(guān)系式→通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題．

方法2：選取直線l：y=kx+t．當(dāng)l斜率不存在即l垂直x軸時(shí)，kPA+kQA=0，不合題意．

圖3

4 方法評(píng)價(jià)

第(1)步的方法1注意回歸定義和數(shù)形結(jié)合，無(wú)需運(yùn)算．第(2)步從直線方程不同的選取視角展開(kāi)思維．方法1至方法4把P、Q看成直線l和橢圓的交點(diǎn)，故選擇直線l，但在直線l的形式選取上決定了計(jì)算量．方法2選取l:y=kx+t，是學(xué)生的普遍做法，但消元時(shí)分母變?yōu)槎囗?xiàng)式，增加了計(jì)算量．方法3選取l:x=m(1-y0)+x0，此方程比x=my+n復(fù)雜(多一個(gè)字母和項(xiàng)數(shù))，計(jì)算量明顯大于方法1．方法4通過(guò)平移，轉(zhuǎn)化為齊次方程，選取直線l:mx′+ny′=1，計(jì)算量雖小，但技巧性太強(qiáng)．方法5把P看成直線PA和橢圓交點(diǎn)，選取直線PA方程為x=my+2(比選取y=k(x-2)簡(jiǎn)單)，聯(lián)合直線PA和橢圓C方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱(chēng)性得出Q點(diǎn)坐標(biāo)．由于P，Q坐標(biāo)是含有字母的形式，用兩點(diǎn)式求直線l方程時(shí)，產(chǎn)生了極大的計(jì)算量．方法6把P看成直線PA和直線l的交點(diǎn)，聯(lián)合直線PA、l方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再把P坐標(biāo)代入橢圓方程整理成關(guān)于m1的一元二次方程，由對(duì)稱(chēng)性和韋達(dá)定理得出m，n關(guān)系式，此法運(yùn)算量適中但也頗具技巧性．

綜上可見(jiàn)，方法1最適合學(xué)生，思路樸實(shí)，運(yùn)算順暢，計(jì)算量小，能限時(shí)完成．教師要善于尋找適合學(xué)生的方法，創(chuàng)造適合學(xué)生的教育，落實(shí)以學(xué)生發(fā)展為本的新課程理念．

[1]匡大章，呂小東．由2017年安徽省高考數(shù)學(xué)閱卷引發(fā)的教學(xué)思考[j]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2017(11)：44-46．

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.