考慮顆粒變形和顆粒間變形的孔隙壓縮系數(shù)

毛小龍 ，劉月田 ，關(guān)文龍 ，劉思平 ，李駿

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

0 引言

巖石孔隙壓縮系數(shù)是油藏工程研究的基礎(chǔ)物性參數(shù)，在油藏彈性產(chǎn)能評(píng)價(jià)、動(dòng)態(tài)地質(zhì)儲(chǔ)量計(jì)算以及儲(chǔ)層應(yīng)力敏感程度評(píng)價(jià)等方面都有非常重要的作用［1-17］。然而，由于技術(shù)條件的限制，例如巖心與封套之間存在一定的微間隙，實(shí)驗(yàn)室體積法直接測(cè)試孔隙壓縮系數(shù)過程中易產(chǎn)生一定誤差。相關(guān)研究提出的理論計(jì)算方法不統(tǒng)一［1-10］，得到了一些相互矛盾的認(rèn)識(shí)：李傳亮［1-4］認(rèn)為孔隙壓縮系數(shù)小于顆粒平均壓縮系數(shù)，與孔隙度正相關(guān)，傳統(tǒng)體積法測(cè)試結(jié)果（Hall圖版［5］）偏高；王歷強(qiáng)［6］則認(rèn)為孔隙壓縮系數(shù)大于顆粒平均壓縮系數(shù)；張津?qū)帲?-10］等則認(rèn)為體積法測(cè)試不存在數(shù)量級(jí)別的偏差，孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度負(fù)相關(guān)。這給孔隙壓縮系數(shù)的測(cè)試和計(jì)算造成了困惑，對(duì)油藏工程研究和評(píng)價(jià)十分不利。因此，理清巖石孔隙體積應(yīng)力應(yīng)變機(jī)理，并建立一種全面可靠的孔隙壓縮系數(shù)理論計(jì)算方法十分必要。

關(guān)于多孔介質(zhì)的變形機(jī)理，傳統(tǒng)Terzaghi有效應(yīng)力原理考慮了土顆粒間滑動(dòng)變形，而適用于巖石的Skempton有效應(yīng)力方程則綜合考慮了顆粒變形（又稱為本體變形）和顆粒間滑動(dòng)變形（又稱為結(jié)構(gòu)變形）。本文將從Terzaghi及Skempton 2個(gè)經(jīng)典有效應(yīng)力原理分析出發(fā)，綜合考慮巖石顆粒變形和顆粒間變形機(jī)理，利用2種方法推導(dǎo)出巖石表觀體積、基質(zhì)顆粒體積、孔隙體積隨孔隙流體壓力變化的關(guān)系式，建立精確計(jì)算孔隙壓縮系數(shù)的關(guān)系式，分析其變化規(guī)律并進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。

1 經(jīng)典有效應(yīng)力理論分析

Terzaghi于1923年提出了有效應(yīng)力概念，1936年給出了Terzaghi有效應(yīng)力表達(dá)式：

式中：σeff為有效應(yīng)力，MPa；σ 為總應(yīng)力，MPa；p 為孔隙流體壓力，MPa。

Terzaghi有效應(yīng)力原理可以歸納為兩方面：土體體積變形和抗剪切強(qiáng)度完全取決于有效應(yīng)力；有效應(yīng)力等于總應(yīng)力減去孔隙流體壓力。其假設(shè)條件為土顆粒不可壓縮，土體受壓變形完全由顆粒間滑動(dòng)引起。

與松散土體不同，儲(chǔ)層巖石是固結(jié)的，這導(dǎo)致許多研究對(duì)于巖石的顆粒變形和顆粒間滑動(dòng)變形相對(duì)大小認(rèn)識(shí)不清。在計(jì)算巖石孔隙體積變化時(shí)，一些研究直接引用Terzaghi有效應(yīng)力原理，只計(jì)算了顆粒間滑動(dòng)變形的影響；而另外一些研究者則只計(jì)算了顆粒體積變形的影響，以文獻(xiàn)［1-3］的理論推導(dǎo)較為典型：

式中：σs為基質(zhì)顆粒應(yīng)力，MPa；φ 為孔隙度；Cs，Cp分別為基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)、孔隙壓縮系數(shù)，MPa-1；Vs，Vp分別為基質(zhì)顆粒體積、孔隙體積，m3。

據(jù)統(tǒng)計(jì)，巖石壓縮系數(shù)多為顆粒壓縮系數(shù)的2～25倍，表明多數(shù)巖石的顆粒變形和顆粒間滑動(dòng)變形均不可忽略。適用于巖石表觀體積變形，并綜合考慮了顆粒變形和顆粒間變形的Skempton有效應(yīng)力原理，可以較為精確地計(jì)算巖石外觀體積應(yīng)變?chǔ)舃：

式中：C為巖土凈應(yīng)力作用下表觀體積壓縮系數(shù)，MPa-1。

總表觀體積應(yīng)變?yōu)閮魬?yīng)力引起的表觀體積應(yīng)變與孔隙流體壓力引起的表觀體積應(yīng)變之和。恒總應(yīng)力Δσ=0時(shí)，儲(chǔ)層巖石表觀體積應(yīng)變?yōu)?/p>

需要說明的是，Skempton有效應(yīng)力方程只適用于計(jì)算巖石表觀體積應(yīng)變，要計(jì)算巖石孔隙體積應(yīng)力應(yīng)變及孔隙壓縮系數(shù)，需要在考慮顆粒變形和顆粒間變形基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)算。

2 孔隙壓縮系數(shù)新關(guān)系式推導(dǎo)

2.1 方法一

總應(yīng)力恒定、流壓變化時(shí)，根據(jù)Skempton有效應(yīng)力原理（式（7）），表觀體積變化量 ΔVb為

式中：Vb為巖石表觀體積，m3。

引起基質(zhì)顆粒體積變形的基質(zhì)顆粒應(yīng)力σs，以平均橫截面作受力平衡分析，由式（2）得：

恒總應(yīng)力Δσ=0時(shí)，顆粒體積變化量ΔVs為

對(duì)應(yīng)的孔隙體積變化量ΔVp為

孔隙壓縮系數(shù)為

據(jù)統(tǒng)計(jì)和巖石物理學(xué)基本理論可知，常見巖石C為Cs的2～25倍，C＞（1+φ）Cs恒成立，孔隙壓縮系數(shù)大于0。新關(guān)系式考慮了顆粒變形和顆粒間變形的綜合效果，但上述新關(guān)系式推導(dǎo)中仍未能區(qū)分顆粒變形和顆粒間變形分別對(duì)巖石孔隙壓縮系數(shù)有多大影響。

2.2 方法二

區(qū)分顆粒變形和顆粒間變形比較復(fù)雜，顆粒變形是凈應(yīng)力和孔隙流壓共同作用的結(jié)果，顆粒間變形完全由凈應(yīng)力引起，凈應(yīng)力表觀體積壓縮系數(shù)中包括了由凈應(yīng)力引起的顆粒變形和顆粒間變形兩部分。將引起顆粒變形的作用力分為凈應(yīng)力和流壓兩部分：

顆粒變形的凈應(yīng)力作用部分是（σ-p）/（1-φ），流壓作用部分為p，這樣看似簡(jiǎn)單區(qū)分其實(shí)具有物理意義。顆粒平均受力面積為（1-φ）A，凈應(yīng)力作用部分的物理意義是除去流壓作用部分的顆粒間作用力在單位基質(zhì)顆粒面積上的作用力；流壓作用部分p為孔隙流壓對(duì)顆粒的中性壓縮作用力。

恒總應(yīng)力條件下，由凈應(yīng)力引起的顆粒體積變化量 ΔVs σnet為

對(duì)應(yīng)的凈應(yīng)力顆粒變形引起的表觀體積變化量ΔVb σnet為

凈應(yīng)力顆粒間變形引起的表觀體積變化量ΔVbσij為

顆粒間變形完全由凈應(yīng)力引起，且顆粒間變形不引起顆粒體積變形，因此顆粒間變形引起的孔隙體積變化量ΔVpσij等于對(duì)應(yīng)的表觀體積變化量。

顆粒間變形孔隙壓縮系數(shù)Cpσij為

顆粒變形由凈應(yīng)力和流壓共同作用引起，由式（10），（13）可知，恒總應(yīng)力 Δσ=0，顆粒變形引起的孔隙體積變化 ΔVpσs為

顆粒變形導(dǎo)致的孔隙壓縮系數(shù)Cpσs為

這一結(jié)果與文獻(xiàn)［1-3］認(rèn)識(shí)一致。

顆粒間變形和顆粒變形引起的總孔隙體積變化為

對(duì)應(yīng)的總孔隙壓縮系數(shù)為

這與Skempton有效應(yīng)力原理直接推導(dǎo)得到的孔隙壓縮系數(shù)完全一樣，2種方法論證了綜合考慮顆粒間變形和顆粒變形得到的孔隙壓縮系數(shù)新關(guān)系式的正確性。

3 孔隙壓縮系數(shù)變化規(guī)律分析

由上述2種推導(dǎo)方法可以得出，孔隙壓縮系數(shù)新關(guān)系式為

可以看出，孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度負(fù)相關(guān)。從孔隙壓縮系數(shù)的定義也可得出：隨著孔隙度減小，孔隙體積減小，分子受dVp/dp壓縮，減小的速度越來越慢，小于孔隙體積穩(wěn)定下降的速度，整體上Cp與孔隙度負(fù)相關(guān)。這與文獻(xiàn)［1-3］中孔隙壓縮系數(shù)變化規(guī)律不同，與實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到的Hall圖版曲線（見圖1）［5］規(guī)律一致。Hall圖版的孔隙壓縮系數(shù)規(guī)律為

圖1 Hall圖版曲線

根據(jù)Hall圖版和相關(guān)文獻(xiàn)孔隙壓縮系數(shù)測(cè)試值可知［5，8-10］，常見儲(chǔ)層巖石的孔隙壓縮系數(shù)為 10-4～10-3MPa-1。而常見礦物顆粒的壓縮系數(shù)為10-6～10-5MPa-1，常見巖石的表觀體積壓縮系數(shù)10-5～10-4MPa-1。利用孔隙壓縮系數(shù)新關(guān)系式（22），孔隙度取 0.02～0.35，計(jì)算得到取值范圍也在10-4～10-3MPa-1，符合實(shí)驗(yàn)測(cè)試和Hall圖版的取值范圍。這說明理論計(jì)算和Hall實(shí)驗(yàn)測(cè)試不存在數(shù)量級(jí)別的誤差，儲(chǔ)層巖石滿足孔隙壓縮系數(shù)遠(yuǎn)大于巖石表觀壓縮系數(shù)，巖石表觀壓縮系數(shù)大于基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)。

4 應(yīng)用實(shí)例

以3塊巖石為例，巖塊1為粉砂巖，孔隙度為0.048，巖石表觀體積壓縮系數(shù)為7.41×10-5MPa-1；巖塊2為Berea砂巖，孔隙度為0.160，巖石表觀體積壓縮系數(shù)為11.96×10-5MPa-1；巖塊3為高孔高滲砂巖，孔隙度為0.250，巖石表觀體積壓縮系數(shù)為15.22×10-5MPa-1。3塊巖石礦物顆粒壓縮系數(shù)都取2.70×10-5MPa-1。巖石表觀體積壓縮系數(shù)和礦物顆粒體積壓縮系數(shù)均可通過彈性模量法測(cè)得。

1）采用孔隙壓縮系數(shù)新關(guān)系式（22），代入計(jì)算得到巖塊1、巖塊2、巖塊3的孔隙壓縮系數(shù)分別為9.54×10-4，5.52×10-4，4.74×10-4MPa-1； 與 3 塊巖石的實(shí)驗(yàn)測(cè)試孔隙壓縮系數(shù)值 9.68×10-4，5.73×10-4，4.72×10-4MPa-1相近，且與孔隙度呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相互驗(yàn)證，說明得到的孔隙壓縮系數(shù)較為可靠，誤差較小。

2）采用式（17）進(jìn)一步計(jì)算得到，3塊巖石顆粒間變形引起的孔隙壓縮體積系數(shù)分別為9.53×10-4，5.47×10-4，4.65×10-4MPa-1；采用式（19）計(jì)算得到，3 塊巖石顆粒變形引起的孔隙壓縮系數(shù)分別為1.36×10-6，5.14×10-6，9.00×10-6MPa-1。

3）計(jì)算可知：3塊巖石的顆粒間變形引起的孔隙壓縮系數(shù)均遠(yuǎn)大于顆粒變形引起的孔隙壓縮系數(shù)，忽略顆粒間變形會(huì)導(dǎo)致孔隙壓縮系數(shù)計(jì)算值遠(yuǎn)低于實(shí)際值；而忽略顆粒變形，即假設(shè)Cs=0，式（22）退化為Cp=C/φ，代入計(jì)算得到3塊巖石孔隙壓縮系數(shù)分別為15.44×10-4，7.45×10-4，6.08×10-4MPa-1， 與實(shí)測(cè)值 9.68×10-4，5.73×10-4，4.72×10-4MPa-1相比偏大。 因此顆粒變形和顆粒間變形都得考慮。

5 結(jié)論

1）傳統(tǒng)Terzaghi有效應(yīng)力原理適用于土體體積應(yīng)力應(yīng)變，不適用于巖石孔隙壓縮系數(shù)和對(duì)應(yīng)的滲透率應(yīng)力敏感研究。

2）顆粒間變形引起的孔隙壓縮系數(shù)遠(yuǎn)大于顆粒變形引起的孔隙壓縮系數(shù)，忽略顆粒間變形會(huì)使孔隙壓縮系數(shù)計(jì)算值遠(yuǎn)低于實(shí)際值，忽略顆粒變形則使得孔隙壓縮系數(shù)計(jì)算值偏大。

3）綜合考慮顆粒變形和顆粒間變形，以2種方法理論推導(dǎo)建立了孔隙壓縮系數(shù)的精確計(jì)算關(guān)系式，新關(guān)系式與巖石力學(xué)理論體系以及Hall實(shí)驗(yàn)測(cè)試圖版反映的規(guī)律一致。

4）多數(shù)巖石孔隙壓縮系數(shù)遠(yuǎn)大于表觀體積壓縮系數(shù)，表觀體積壓縮系數(shù)大于顆粒壓縮系數(shù)。“高孔高壓縮、低孔低壓縮”適用于表觀體積壓縮系數(shù)，孔隙壓縮系數(shù)則由于孔隙體積自身是分母，與孔隙度負(fù)相關(guān)。

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