費恩斯列爾——哈德維格爾不等式的推進

眾所周知，在三角形中有著名的外森比克（Weitzenbocksinequatily）不等式（以下簡稱“W不等式”）：

在△ABC中，a，b，c為其三邊長，Δ為其面積（本文下同），則

a2+b2+c2≥43Δ（1）

作為“W不等式”的出色加強當是著名的費恩斯列爾— 哈德維格爾（Finsler—Hadwiger）不等式（以下簡稱“F—H不等式”）：

在△ABC中，有

a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2（2）

這一加強在初數(shù)研究中已流芳近一個世紀。趁寒假悠閑，激發(fā)起筆者對“F—H不等式”的一點新的欲望和期許……

1“W不等式”和“F—H不等式”的等價三角形不等式

在△ABC中，由余弦定理及面積公式，有

cotA=cosAsinA=2bccosA2bcsinA=b2+c2-a24Δ

等三式，及

tanA2=1-cosAsinA=2bc-2bccosA2bcsinA

=2bc-（b2+c2-a2）4Δ=a2-（b-c）24Δ

等三式.可見，（1）與（2）式分別等價于如下三角形不等式：

在△ABC中，有

cotA+cotB+cotC≥3（1′）

與

tanA2+tanB2+tanC2≥3（2′）

2一個相關(guān)三角形不等式“鏈”

聯(lián)想起筆者曾在文[1]中所建的三角形不等式“鏈”（在△ABC中，有）：

cotA+cotB+cotC

≥13（cotA2+cotB2+cotC2）

≥12（cscA+cscB+cscC）

≥tanA2+tanB2+tanC2

≥12（secA2+secB2+secC2）≥3.

不由得茅塞頓開，領(lǐng)略到了作為“W不等式”的著名加強“F—H不等式”的真諦——三角形不等式（2′）加強了三角形不等式（1′）的緣故. 伴隨而至地，作為更精準的三角形不等式：

secA2+secB2+secC2≥23（3′）

是否蘊育著F—H不等式的加強？我們的希冀可就在這里呵！

3F—H不等式的推進

記△ABC的半周長a+b+c2=s（本文下同），則由三角形恒等式：sinA2=（s-b）（s-c）bc，

等三式及面積公式，可得

secA2=1cosA2=2bcsinA2bcsinA

=2b（s-c）·c（s-b）2Δ

=b（s-c）+c（s-b）-[b（s-c）-c（s-b）]22Δ

等三式，一并代入（3′），并注意到2s-（b+c）=a等三式，有43Δ≤b（s-c）+c（s-b）-[b（s-c）-c（s-b）]2+c（s-a）+a（s-c）-[c（s-a）-a（s-c）]2+a（s-b）+b（s-a）-[a（s-b）-b（s-a）]2=a[（s-b）+（s-c）]+b[（s-c）+（s-a）]+c[（s-a）+（s-b）]-[b（s-c）-c（s-b）]2-[c（s-a）-a（s-c）]2 -[a（s-b）-b（s-a）]2=a2+b2+c2-[b（s-c）-c（s-b）]2-[c（s-a）-a（s-c）]2-[a（s-b）-b（s-a）]2.

由此可獲得：

定理1在△ABC中，有

a2+b2+c2≥43Δ+[b（s-c）-c（s-b）]2+[c（s-a）-a（s-c）]2+[a（s-b）-b（s-a）]2 （3）

利用代數(shù)恒等式（ac-bd）2=（a2-b2）（c2-d2）+（bc-ad）2，可得

[b（s-c）-c（s-b）]2=（b-c）[（s-c）-（s-b）]+[c（s-c）-b（s-b）]2

=（b-c）2+[b（s-b）-c（s-c）]2，

等三式.所以，定理1亦可寫成以下形式：

推論在△ABC中，有

a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2+[b（s-b）-c（s-c）]2+[c（s-c）-a（s-a）]2+[a（s-a）-b（s-b）]2

由此可見，本文定理1是著名F—H不等式的推進，她與三角形不等式（3′）等價.

通過再深入地探研，筆者還得到了如下關(guān)于F—H不等式的又兩個形式的推進：

定理2設(shè)△ABC的三邊長為a，b，c，外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R和r（以下相同），則

a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2+8（2-3）r（R-2r）（4）

定理3在△ABC中，有

a2+b2+c2≥4-2rRΔ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2（5）

感興趣的讀者不妨一展身手.

參考文獻

[1]李建潮.一個優(yōu)美的幾何不等式[J].數(shù)學通報，2015（2）.