配極理論在圓錐曲線中的應(yīng)用

劉悅

配極理論是以二次曲線性質(zhì)為基礎(chǔ)，逐步形成的理論體系.其系統(tǒng)歸納總結(jié)的二次曲線各類(lèi)性質(zhì)定理，為中學(xué)幾何的相關(guān)證明，提供了重要理論基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問(wèn)題上有很好的指導(dǎo)作用，配極理論在二次曲線的學(xué)習(xí)研究中，系統(tǒng)的闡述了二次曲線一些點(diǎn)和線的關(guān)系，以定理的形式歸納得出。

眾所周知點(diǎn)共線和線共點(diǎn)問(wèn)題在中學(xué)幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題.將配極理論反作用于圓錐曲線，解決中學(xué)幾何圓錐曲線中的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)問(wèn)題。

一、橢圓中的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)A

例1 已知橢圓的內(nèi)接三角形△ABC，過(guò)，B，C三點(diǎn)分別作橢圓的切線得，取任一點(diǎn)S，連結(jié)AS，BS，CS，其與對(duì)邊交點(diǎn)分別是，，.證明 三直線，，交于一點(diǎn)

證 如圖1-1所示

∵點(diǎn)S三角形頂點(diǎn)的連線AA1，BB1，CC1交的交點(diǎn)

由題意知、、三點(diǎn)共線

又因?yàn)樵诘臉O線BC上

∴點(diǎn)與點(diǎn)共軛；

在完全四點(diǎn)形中∵R（b，c；a1u）=-1，

∴A1與共軛，從而是的極線

由共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線，共線點(diǎn)極線必共點(diǎn)可知：，，共點(diǎn)

二、拋物線中的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)

例2 證明拋物線的任何方向的平行弦的重點(diǎn)在一直線上，并由此推出這些直線是平行的。

證 設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)直線與拋物線相切于點(diǎn)，取過(guò)點(diǎn)的一組平行弦分別為ab，...弦的中點(diǎn)分別是，...

由題可知，R（a，b；m，u∞）-1，R（a，b：m；，u∞）

∴，在的極線上，根據(jù)配極原則知必過(guò)點(diǎn)

同理，過(guò)點(diǎn)V∞的一組平行弦，則V∞的極線T為它的中點(diǎn)軌跡，并有T也過(guò)點(diǎn)

∴∥T

從上述各例可以看出，把配極變換應(yīng)用于圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題是方便的，當(dāng)然配極變換的應(yīng)用并不僅僅限于上述幾個(gè)方面，有待我們繼續(xù)探討。

三、圓的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)

例3 過(guò)兩定點(diǎn)P，Q，分別作圓的兩對(duì)切線PA，PB，QC，QD，（其中P，Q為圓外兩點(diǎn)，A，B，C，D是切點(diǎn)）設(shè)AC×BD，AD×CB=R

試證：P，Q，R，G在一條直線上。

證明 如圖3-1，令A(yù)B×CD=E，并有點(diǎn)P和點(diǎn)Q的極線分別為直線

AB，CD.

∵AB，CD過(guò)點(diǎn)E在，∴根據(jù)配極原則可得，點(diǎn)E的極線是PQ

∵ABCD是圓的內(nèi)接四邊形

∴△GER是自配極三點(diǎn)形，E的極線是RG

∵任一點(diǎn)關(guān)于同一個(gè)圓的極線只有一條

∴直線PQ與RG重合， 故P，Q，R，G四點(diǎn)在一條直線上

在配極理論的學(xué)習(xí)中我們引入了極點(diǎn)與極線等相關(guān)的定義，我們將運(yùn)用高等幾何中這些理論，通過(guò)實(shí)例來(lái)講述在中學(xué)幾何中常見(jiàn)的平分線段和角平分的問(wèn)題。利用配極理論中所學(xué)知識(shí)，通過(guò)實(shí)際例題來(lái)解決中學(xué)幾何中常見(jiàn)的角平分和平分線段問(wèn)題。

四、雙曲線中的角平分線和平分線段

例4 若雙曲線的任一條切線與兩條漸近線交于兩點(diǎn)，證明切點(diǎn)為這兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)。

證 令直線為雙曲線的任一切線，為切點(diǎn).如圖4-1所示

與的兩條漸近線的兩交點(diǎn)為，

由已知，的極點(diǎn)是

∵上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，他的極線過(guò)直線和中心

∴直線是的極線

過(guò)作∥，通過(guò)，即，是的一對(duì)共軛直徑

因?yàn)榈臐u近線調(diào)合分離任一對(duì)共軛直徑

∴R（u，v，m，m∞）-1，也就是（uvm）=-1

因此，線段的中點(diǎn)是

例5 試證明：雙曲線的切線被雙曲線的漸近線所截線段的中點(diǎn)為切點(diǎn)

證明 如圖4-2所示，是按解析幾何的觀點(diǎn)所作，如圖4-3所示，是按射形幾何的觀點(diǎn)所作。

設(shè)兩條漸近線分別直線，，點(diǎn)為雙曲線的任意一有限點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為

直線與切線交于點(diǎn)，，與切線的交點(diǎn)分別為，

聯(lián)結(jié)，，得，因?yàn)橹行年P(guān)于曲線的極線，且過(guò)點(diǎn)，故的極線必過(guò)點(diǎn)，又由點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為，又由于點(diǎn)在上。

故的極線必過(guò)，而點(diǎn)關(guān)于曲線的極線正好是曲線的直徑（可看成一組平行弦，，...等均過(guò)）。

由此可得，關(guān)于曲線的自配極三角形是△OC∞D(zhuǎn)∞，（A∞B∞，C∞D(zhuǎn)∞）=-1.也就是 （ab，dc）=-1.∴（AC，PC∞）-1

即（ABP）=-1，即AP/PB=-1.∴AP=PB

由圖4-3，也可得到AR=SB

∵AP=PB，曲線的自配極三角形為△OC∞D(zhuǎn)∞，

∴（AB，PC∞）.所以有能得，（AB，MC∞）=-1

∴AM=MB.又因?yàn)镈為C∞的極線

∴（RS，MC∞）=-1，RM=MS，故AR=SB

五、涉及圓的角平分線和平分線段

例6 過(guò)點(diǎn)，圓的兩條切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)），且過(guò)P作一直線平行于圓上點(diǎn)Q的切線，分別交QA于點(diǎn)E、F，證明 EP=FP（圖5-1）。

證明 AB為點(diǎn)P關(guān)于圓的極線，設(shè)點(diǎn)X為AB與過(guò)點(diǎn)Q切線的交點(diǎn)

∵點(diǎn)X在點(diǎn)P的極線AB上

∴點(diǎn)P在X的極線上.又點(diǎn)X在Q的切線上

∴在的極線上，因此由極線的定義得（AB，YX）=-1

又∵EF//QX，直線截調(diào)和線束得（EF，PX∞）=-1

∴點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)，故EP=FP

例7 從⊙直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)引一直線切圓于D，過(guò)點(diǎn)A做圓的切線交ED于P，作DC⊥AB垂足為點(diǎn)C，連結(jié)PB與DC的交點(diǎn)為，求證DM=MC（圖5-2）。

證明 因?yàn)闉椤训那芯€.為切點(diǎn)，則為點(diǎn)關(guān)于⊙的極線

又點(diǎn)在點(diǎn)關(guān)于圓的極線上，DC⊥AB

為點(diǎn)關(guān)于圓的極線

所以（AB，CE）=-1.即

而DC//PA，則AC/AE=-BC/BE AC/AE=PD/PE

故由題意DCE和截線PMB得

（DM/MC）·（CB/BE）·（EP/PD）=-1

即，故DM=MC

幾何在數(shù)學(xué)專業(yè)中扮演了很重要的角色，高等幾何作為其中一門(mén)必修課程也體現(xiàn)其重要性，我們現(xiàn)階段學(xué)習(xí)高等幾何主要是以放射幾何為主。主要目的是提高學(xué)生的邏輯辯證和空間構(gòu)造能力。配極理論是其中探索空間最具潛力的一個(gè)理論體系。注重理論結(jié)合實(shí)際是學(xué)習(xí)高等幾何的一大技巧。理論是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，實(shí)踐是理論的升華，而應(yīng)用則是最終目的。