不確定磁懸浮軸承模型的自適應PID控制研究

李 瑩，王西偉，謝 翔，顧冬梅，董長海

(安徽理工大學電氣與信息工程學院，安徽 淮南 232001)

磁懸浮系統(tǒng)(Magnetic Levitation System，MLS)是利用電磁力對物體懸浮、旋轉或移動，是一種非接觸式操作方式，可有效地減少機械振動、摩擦和接觸操作所造成的摩擦損失。還可以延長設備的使用壽命，減少維護頻率和噪音[1]。隨著控制技術領域的發(fā)展，諸多復雜多樣的控制策略應用到磁懸浮，如早期的比列-積分-微分控制(Proportion Integral Derivative，PID)[2-3]、模糊滑?？刂芠4]、模糊神經網絡[5-6]以及線性二次型最優(yōu)控制[7]等，但磁懸浮系統(tǒng)本身就是一類典型的參數(shù)不確定性和非線性系統(tǒng)[8]，對系統(tǒng)的動態(tài)及靜態(tài)性能要求很高，為磁懸浮控制系統(tǒng)的設計帶來了挑戰(zhàn)。

常規(guī)PID控制器簡單、穩(wěn)定，參數(shù)容易調整以及無靜態(tài)誤差，但當控制對象是時變系統(tǒng)時，控制器參數(shù)難以自動調整以適應外部環(huán)境的變化，模糊滑?？刂朴捎谥饕揽炕Ｃ娑c對象參數(shù)及擾動無關，但同時也因為高頻率的切換產生嚴重的抖動現(xiàn)象。模糊控制不依賴于具體的數(shù)學模型，非線性系統(tǒng)控制的動態(tài)性能較好，但穩(wěn)態(tài)性能較差。神經網絡自學習適應復雜問題的能力和徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經網絡[9]具有更快的學習速度和良好的泛化能力，能以任意精度逼近非線性系統(tǒng)，但當數(shù)據(jù)不充分的時候，神經網絡就無法工作。

本文研究了RBF神經網絡前饋逆補償——模糊RBF神經網絡反饋控制方法。將模糊控制和RBF神經網絡融合到PID控制器參數(shù)調整中，一方面加快系統(tǒng)響應速度，另一方面由于神經網絡特有逼近特性，使參數(shù)的調整更準確，從而提高對磁懸浮系統(tǒng)的控制效果。

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)動力學模型

磁懸浮系統(tǒng)原理圖如圖1所示。其中m是鋼球質量，x是電磁鐵與鋼球之間的距離，i是線圈繞組的電流，F(xiàn)m(x，i)線圈通電時剛體的電磁力，F(xiàn)d(t)是系統(tǒng)所受干擾力。在磁懸浮系統(tǒng)中，鋼球懸浮在受電流控制的磁場中，通過控制電流將鋼球懸浮在平衡位置，可建立一個基于電磁、電力和力學的磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學模型。

圖1 磁懸浮系統(tǒng)工作原理示意圖

把鋼球看作質子，根據(jù)牛頓第二定律，磁懸浮系統(tǒng)動力學模型為

(1)

假設該系統(tǒng)具有理想的電磁特性，根據(jù)磁路理論可以得到電磁力[10-11]

(2)

式中：μ0是空氣磁導率，A0是磁極面積，N是電磁線圈的匝數(shù)，f(x)是懸浮距離x的多項式函數(shù)，可以表示為

f(x)=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4

(3)

通過實驗擬合，計算得出多項式(3)中的可用系數(shù)為：b0為-32.6，b1為4 897.3，b2為-274 970，b3為6 816 800，b4為-62 498 000。

由電磁感應定律可得到電磁電路電壓

(4)

單自由度磁懸浮非線性系統(tǒng)模型由式(1)～(4)聯(lián)立方程組成。

2 RBF前饋自適應模糊RBF反饋控制

2.1 系統(tǒng)結構

由于神經網絡具有萬能逼近能力，本文采用RBF網絡建立磁懸浮系統(tǒng)的動態(tài)逆模型，消除其耦合影響。另一方面由于系統(tǒng)的建模以及神經網絡逼近會產生一定的誤差，為提高控制精度，在設計磁懸浮系統(tǒng)控制器時加入反饋控制。結合模糊控制、RBF神經網絡各自的優(yōu)點，將其融合到PID控制參數(shù)調整。系統(tǒng)控制結構如圖2所示。

圖2 基于模糊RBF網絡的PID控制系統(tǒng)結構

總控制器u為

u=uRBF+uSML

(5)

式中：uRBF為RBF網絡逆控制器的輸出；uPID為PID控制器的輸出。

2.2 模糊RBF網絡PID控制

模糊RBF神經網絡如圖3所示，由輸入層、模糊化層、模糊推理層、和輸出層組成[12-13]。網絡的輸出是PID的參數(shù)Kp、KI、KD。

圖3 模糊RBF神經網絡結構

根據(jù)不同的功能將模糊RBF神經網絡分為四層：

第一層 輸入層，將系統(tǒng)誤差及系統(tǒng)輸出反饋結果作為輸入層的兩個節(jié)點，即x1=e，x2=yout[14-15]。對該層的每個節(jié)點i的輸入輸出表示為

f1(i)=X=[x1，x2，…，xn]

(6)

第二層 模糊化層，該層針對兩個輸入量總共設計6個模糊化集，由輸入層可知本層輸入為x1=e，x2=yout，本層輸出為

(7)

式中：cij和bij分別是第i個輸入變量第j個模糊集合的隸屬函數(shù)的均值和標準差。

第三層 模糊推理層[16]，該層為推理層，即設計6條模糊規(guī)則，由輸入量對應的模糊集兩兩結合成一條模糊規(guī)則，由此得出點火強度。每個節(jié)點j的輸出為該節(jié)點所有輸入信號的乘積，即

(8)

第四層：輸出層，將第三層的輸出和連接權矩陣以矩陣乘的方式得出結果，因此，該層的輸出為

(9)

式中：wij為輸出層節(jié)點與第三層各節(jié)點的連接權矩陣。

通過上述分析可以得到控制器

kpxc(1)+kixc(2)+kdxc(3)

(10)

(11)

(12)

采用增量PID控制算法，得出u(k)表示為

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(13)

設計中，采用Delta學習規(guī)則修改可調參數(shù)。學習目標函數(shù)定義為

(14)

式中：r(k)和y(k)分別為實際網絡輸出和期望輸出，網絡逼近誤差為

e(k)=r(k)-y(k)

(15)

利用梯度下降法對Kp、KI、KD進行參數(shù)調整。

(16)

(17)

(18)

輸出層的權值通過如下方式來調整

(19)

式中：wj是輸出層節(jié)點與第三層節(jié)點的連接權值，j=1，2，…，N，η為學習速率，η∈[0，1]。

加入動量因子，則輸出層的權值學習算法為

wj(k)=wj(k-1)+Δwj(k)+α(wj(k-1)-wj(k-2))

(20)

式中：α為動量因子，α∈[0，1]。

3 仿真與分析

根據(jù)上述思想和規(guī)則，在simulink環(huán)境下設計一種RBF神經網絡前饋逆補償——模糊RBF神經網絡反饋控制系統(tǒng)。取采樣周期T=1s，利用臨界比法選擇三個PID參數(shù)：Kp=110，Ki=60，Kd=0.8。模糊RBF神經網絡結構選擇2-8-1，學習效率η=0.3，動量因子α=0.02。磁懸浮系統(tǒng)平衡值設置為2mm。

圖4是常規(guī)PID和RBF神經網絡前饋逆補償——模糊RBF神經網絡反饋的磁懸浮控制系統(tǒng)的響應曲線對比圖，實線為模糊RBF神經網絡控制響應曲線，虛線為常規(guī)PID控制曲線，有大約4%的超調，響應時間為0.3s。

圖4 磁懸浮系統(tǒng)階躍響應曲線圖

為了驗證系統(tǒng)的抗干擾能力，加入響應周期T=1.0s，振幅0.5mm 的干擾脈沖寬度，圖5是系統(tǒng)脈沖擾動的響應曲線圖，其中實線是PID控制響應曲線，虛線為模糊RBF神經網絡PID控制整定曲線。

圖5 干擾情況下磁懸浮系統(tǒng)響應曲線圖

4 結論

仿真結果表明該網絡可以獲得比常規(guī)PID更快地響應速度，更優(yōu)良的控制性能，適應能力強，抗干擾性能好，是一種值得推廣的針對非線性系統(tǒng)的控制方案。

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