由一題多解到優(yōu)化解法

張輝

[摘要]在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多解能訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維.在眾多解法中確定最好的解法，能提高解題效率.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);一題多解;優(yōu)化;解法

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002501

題目：在△ABC中，sinA+cosA=15，求tanA的值.

解法1：sinA+cosA=15①，兩邊平方得1+2sinAcosA=125，

即sinAcosA=-1225②，

聯(lián)立①②得

sinA=45，

cosA=-35

或sinA=-35，

cosA=45

因為0

所以sinA>0，

故sinA=45，

cosA=-35，

可得tanA=

sinAcosA

=-43

.

解法2：

sinA+cosA=15

①，兩邊平方得

1+2sinAcosA=125，

即sinAcosA=-1225，可得π2

（sinA-cosA）2=1-2sinAcosA=4925

，

sinA-cosA=75②，

解①②得

sinA=45，

cosA=-35，

可得

tanA=sinAcosA=-43

.

解法3：sinA+cosA=15，

兩邊平方得1+2sinAcosA=125

，即sinAcosA=-1225，

∵sinAcosA=

sinAcosAsin2A+cos2A

=tanAtan2A+1

，

∴tanAtan2A+1

=-1225

，

解得tanA=-43或tanA=-34

.

由

sinA+cosA>0，

sinAcosA<0，

0

得

|sinA|>|cosA|，有|tanA|>1，

∵tanA=-43.

解法4（參數(shù)法）：設(shè)

x=cosA，y=sinA>0，

則x，y滿足x2+y2=1，x+y=15，

tanA=yx，易知點B（x，y）是直線x+y=15與圓

x2+y2=1在第二象限的交點，

令yx=k，則k為直線OB的斜率，在△AOB中，求∠AOB的正切值即可.

易知

∠AOB=45°，OA=15，OB=1，由正弦定理得

OBsin∠OAB=

OAsin∠OBA，

即

1sin45°=15

sin∠OBA

，可得，

sin∠OBA=210，

tan∠OBA=17，

所以

tan∠AOB=-tan（∠ABO+∠OAB）

=-

17+1

1-17

=-43.

變式：點B（x，y）滿足x2+y2=1和x+y=15，且點B（x，y）在第二象限，則yx=.

易知此題至少有4種解法，可歸為兩類：幾何法和三角代換法.上述解法中優(yōu)選解法2.解法3是學(xué)生比較容易想到的方法，但運用此法要注意合理取舍，并且該交代的理由要交代清楚.例如，計算出tanA=-43或tanA=-34，如果只交代0

（責(zé)任編輯黃桂堅）