一種改進的Stewart平臺Newton-Euler動力學模型

何兆麒， 薛冬新， 張 娟， 宋希庚

(1. 大連理工大學 能源與動力學院， 遼寧 大連 116024; 2. 大連裝備職業(yè)技術學院 航海工程系， 遼寧 大連 116024)

自1965年，Stewart[1]發(fā)表了最早的將并聯(lián)機構用作飛行模擬器的文章以來，由于結(jié)構剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、動力性能好等一系列優(yōu)點，并聯(lián)機構在空間對接、并聯(lián)機床、隔振、高精密平臺等方面得到廣泛應用[2-12]。但因并聯(lián)平臺是閉環(huán)多剛體結(jié)構，使得運動學正解、動力學分析更加復雜。目前，用于Stewart平臺的動力學建模方法主要有牛頓-歐拉法、Lagrange法、虛功原理以及Kane法等。其中Newton-Euler法是由牛頓第二定律直接推導出來的，方法直觀，應用廣泛。Fichter在忽略運動支鏈的質(zhì)量和鉸鏈摩擦的情況下，給出了平臺驅(qū)動與慣性力以及外力之間的關系。Do等[3]基于Newton-Euler法建立了忽略關節(jié)摩擦和支腿軸向轉(zhuǎn)動慣量時Stewart并聯(lián)機構的逆動力學模型。Dasgupta等在充分考慮Stewart動平臺慣性、支腿慣性和關節(jié)摩擦的基礎上，提出了較為完善的Newton-Euler閉環(huán)動力模型(下文以經(jīng)典模型指代)，在此后的研究中得到廣泛的應用。但逐漸有學者指出，該經(jīng)典模型存在幾點不足，① 忽略了支腿繞其自身軸線的回轉(zhuǎn)運動；② 假設萬向鉸處的約束力矩沿著支桿方向；③ 計算各結(jié)構的轉(zhuǎn)動慣量時沒有正確考慮平行軸定理。雖然以上這些假設簡化了模型，提高了計算效率，但這些假設不符合實際，會降低模型的準確性。李長春等[13]提出一種考慮支腿轉(zhuǎn)動的逆動力學模型，通過算例比較了忽略支腿繞自身轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動對運動學逆解的影響。Fu等[14-15]從不同的方面給出了修改建議，郭洪波[16]從能量的角度分析了忽略支腿繞自身軸線的回轉(zhuǎn)運動對動力學模型的影響。Pedrammehr等[17]綜合上述三方面，建立了改進的牛頓-歐拉動力學模型，逆動力學計算結(jié)果表明改進模型與Dasgupta的經(jīng)典模型有明顯的不同。

由理論力學的相關知識可知，利用轉(zhuǎn)動慣量表示剛體的動量矩時，矩心是否為剛體固連點，將影響動量矩定理的具體表述形式。建立Stewart平臺的動力學模型時，通常將單個支腿簡化為上、下支桿，分別關于下鉸點取矩。下支桿受力關于下鉸點的力矩平衡可認為是對剛體固連點取矩，而上支桿受力對下鉸點的力矩平衡是對剛體外一點取矩，兩者應做不同處理。但以往的研究忽略了這一點，因此，筆者認為經(jīng)典模型除了以上三點不足外，還存在以下問題，即：在建立支腿和動平臺的歐拉方程時，沒有合理區(qū)分力矩簡化中心是否固連于剛體?；谶@一考慮，筆者在文獻[18]僅針對上支桿歐拉方程的建立，給出了修改建議。本文首先闡述改進工作的理論依據(jù)，其次針對6-UPS型Stewart平臺，在前人研究成果的基礎上，區(qū)分矩心是否為剛體固連點，在第2、3節(jié)分別建立利用非質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量表示的兩種改進閉環(huán)動力學模型。最后通過求解文獻[4]的算例，比較本文改進模型和經(jīng)典模型動態(tài)響應的不同，說明改進的必要性。

1 理論依據(jù)

如圖1所示，以O0為原點建立慣性坐標系O0x0y0z0，C是剛體質(zhì)心，B點相對于慣性系作任意運動，關于動點的動量矩定理可表示為

(1)

圖1 剛體上質(zhì)量微元dm的矢量表示

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

當點B靜止時，式(3)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

當B點固定時，式(5)仍然成立。

下文中為敘述方便，將式(3)稱為依據(jù)一，式(5)稱為依據(jù)二。

2 6-UPS型Stewart平臺動力學分析

本文所研究的Stewart平臺結(jié)構及第i支桿矢量表示如圖2所示。下平臺固定，連桿與上、下平臺分別采用球鉸、萬向鉸連接，支桿為直線運動副，機構具有六個運動自由度。上、下平臺六個鉸鏈點中心分別為Pi、Bi(i=1,…,6)。為便于運動學和動力學分析，在上、下平臺的幾何中心點P、B處建立連體坐標系{PX1Y1Z1}、參考坐標系{BXYZ}。

圖2 Stewart平臺及第i支桿矢量圖

以下符號被用于平臺建模中：tp為上平臺參考點P在{B}中的位置矢量；ωp,αp為上平臺角速度、角加速度；Rp為RPY角描述的上平臺的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；pi為上平臺各球鉸鉸心Pi在{P}中的位置矢量；bi為下平臺各萬向鉸鉸心Bi在{B}中的位置矢量；Si為鉸心Bi到對應Pi在{B}中的位置矢量；ei為第i根支桿單位矢量；ωli,αli為第i根支桿的角速度、角加速度；Iu0i,Id0i為上下支桿在各自質(zhì)心坐標系(坐標原點在上下支桿質(zhì)心處，方向與{D}相同)的慣量矩陣；Ip0：上平臺和質(zhì)量負載在質(zhì)心坐標系(原點在上平臺綜合質(zhì)心，方向與{P}相同)的慣量矩陣。

2.1 第i個支桿運動學分析

在Pi、Bi處建立上、下支桿局部坐標系{U}、{D}，坐標系{D}的x軸沿支桿方向，y軸沿萬向鉸軸線方向，z軸由右手定則確定，{U}各軸與{D}相應的軸線平行。此外，在Bi處還有支腿固定坐標系{BiXBiYBiZBi}，方向與{B}平行。

(1) 上平臺鉸接點速度、加速度分析

由圖2可知，第i支桿的位置矢量

Si=tp+Rppi-bi=tp+qi-bi

(6)

則支桿長度和沿支桿單位矢量可以表示為

(7)

ei=Si/Li

(8)

對式(6)兩端微分，得點Pi的速度、加速度為

(9)

(10)

(11)

(12)

(2) 支桿滑動速度、加速度分析

由式(11)、式(12)，結(jié)合式(10)整理得支桿伸縮速度、伸縮加速度分別為

(13)

(14)

(3) 支桿角速度ωli、角加速度αli分析

如圖3所示，單位向量ki、yi、hi代表第i個萬向鉸模型，ki沿著萬向鉸的固定軸，yi沿著萬向鉸的旋轉(zhuǎn)軸，hi垂直于ki、yi組成的平面。由結(jié)構特點知，yi與ki共面且相互垂直，與支桿單位向量ei也相互垂直，xi、yi、zi代表上文的坐標系{D}。因此，從{D}～{BiXBiYBiZBi}的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

Ti=[xi,yi,zi]

(15)

由運動學約束知，ωli位于ki、yi組成的平面內(nèi)

ωli=ωkiki+ωyiyi

(16)

式中：ωki、ωyi分別為支桿角速度沿著ki、yi的分量。

圖3 萬向鉸結(jié)構簡圖

文獻[4-5]假設支桿角速度ωli⊥ei，即要求支桿垂直于ki、yi組成的平面。由結(jié)構特點知，這就要求必須忽略支桿繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)自由度，顯然這不符合實際，因此假設ωli⊥ei是不合理的。

將式(16)代入式(11)，整理得

(17)

(18)

對式(16)兩端求導，支桿角加速度αli表示為

αli=αkiki+αyiyi+ωyiωkihi

(19)

此外，ωli還可以分解為垂直于支桿的分量ω和沿著支桿方向的分量ωeiei，即

ωli=ω+ωeiei

(20)

將式(20)代入式(11)，可得到

(21)

因ωli位于ki、yi組成的平面內(nèi)，而hi垂直于該平面，所以ωli·hi=0。利用這一性質(zhì)，由式(20)得

ωei=-(ω·hi)/(ei·hi)

(22)

同樣，αli可以分解為垂直于支桿的分量α和沿著支桿方向的分量αeiei，即

αli=α+αeiei

(23)

將式(23)代入式(12)，整理得

α=(ei×api)/Li+U2i

(24)

由式(23)和式(19)整理得

αki=(α+αeiei)·ki

(25)

αei=[(α·ki)ki·ei+ωyiωkihi·ei]/1-

(26)

至此，將式(24)、式(26)代入式(23)得到支桿角加速度的完整表達

u2iei

(27)

(4) 上、下支桿質(zhì)心速度、加速度分析

上、下支桿質(zhì)心(圖2中的Gu、Gd)在{BiXBiYBiZBi}的位置矢量rui、rdi可表示為

rui=Ti(vi+ru0i)

(28)

rdi=Tird0i

(29)

因此，上、下支桿質(zhì)心的加速度可分別表示為

(30)

(31)

2.2 第i個支桿動力學分析

應用平行軸定理，上下支桿對點Bi的慣量矩陣為

圖4是單個運動支鏈的受力簡圖，F(xiàn)si是球鉸處約束力，Cu和Cs是萬向鉸和球鉸處的黏性阻尼系數(shù)。Fui、Mui分別為萬向鉸處的約束力矢量和約束力矩幅值。因為萬向鉸在yi、ki兩個方向上有旋轉(zhuǎn)自由度，約束力矩只能沿著hi方向，因此約束力矩為Muihi，而不是經(jīng)典模型中的Muiei。

圖4 第i個支桿受力分析示意圖

根據(jù)第1節(jié)中依據(jù)一，結(jié)合受力分析，建立整個支桿關于Bi點的歐拉方程

-rui×muaDi+(mdrdi+murui)×g-(Idi+Iui)αli-

ωli×(Idi+Iui)ωli+Muihi+Si×Fsi-Cuωli-

fi=0

(32)

式中：fi=Cs(ωli-ωp)為球絞摩擦力矩；aDi為該瞬時，上支桿上與Bi點相重合的點的絕對加速度。

由運動學分析知

(33)

將式(14)代入式(33)整理得

aDi=(ei·api)ei+U3i

(34)

將式(32)改寫為

Muihi+Si×Fsi=Ni

(35)

其中,

Ni=rui×muaDi-(mdrdi+murui)×g+

(Idi+Iui)αli+ωli×(Idi+Iui)ωli+Cuωli+fi

(36)

式(35)兩端點乘、叉乘ei，得到Mui及Fsi為

Mui=(Ni·ei)/(hi·ei)

(37)

Fsi=ei(ei·Fsi)+(Ni×ei-Muihi×ei)/Li

(38)

為了得到(ei·Fsi)，考慮上支桿沿支桿方向的受力平衡

(39)

式中：Facti、Cp分別為滑移鉸處支桿主動力、黏性摩擦因數(shù)。

將式(37)、式(39)代入式(38)整理得

(40)

將式(36)代入式(40)，利用式(30)、式(14)、式(23)、式(33)，并結(jié)合矢量計算規(guī)則化簡Fsi的表達式

(41)

其中

U4i=u1iei+U2i×rui+ωli×(ωli×rui)；

U5i=mu(rui×U3i)+(Idi+Iui)(U2i+u2iei)-

(mdrdi+murui)×g+ωli×(Idi+Iui)ωli+Cuωli+fi；

為了推導式(41)，需要用到以下矢量代數(shù)運算規(guī)則

(a·b)c=(aTb)c=c(aTb)

2.3 上平臺運動學、動力學分析

上平臺和質(zhì)量負載的綜合質(zhì)心在{B}中的位置矢量表示為

qc=tp+RpR0=tp+R

(42)

式中：R0為上平臺和質(zhì)量負載的綜合質(zhì)心在{P}中的位置矢量。

對式(42)進行微分，得到綜合質(zhì)心的加速度

(43)

由平行軸定理，上平臺和質(zhì)量負載對點P的轉(zhuǎn)動慣量為

(44)

式中：mp為上平臺和質(zhì)量負載的質(zhì)量之和。

圖5 上平臺受力分析簡圖

上平臺的牛頓方程、相對點P的歐拉方程分別為

(45)

(46)

式中：Fext,Mext分別為外界作用于上平臺的作用力和作用力矩在局部坐標系{P}中的表示。

將式(43)、式(41)代入式(45)、式(46)進行整理

(47)

(48)

合并式(47)、式(48)，得到上平臺的完整動力學方程

(49)

其中，

H=

3 質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量表示的6-UPS Stewart平臺閉環(huán)動力學方程

文獻[4-5]建立的歐拉方程，包含了質(zhì)心加速度項，如果從這一角度推導方程，則方程中轉(zhuǎn)動慣量項的計算需要做出調(diào)整。為了評估此誤差，本節(jié)以第1節(jié)的依據(jù)二為基礎，利用質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量建立動力學模型。這種表述形式下，對支桿和上平臺的運動學分析同2.1、2.3，不同在于各結(jié)構動力學方程的建立。

第i個支桿關于Bi點的歐拉方程為

(Idci+Iuci)αli-ωli×(Idci+Iuci)ωli+

Muihi+Si×Fsi-Cuωli-fi=0

(50)

采用同式(32)類似的簡化運算，得到

(51)

其中,

(Idci+Iuci)(U2i+u2iei)

u1i,U2i,u2i的表達式同第2節(jié)。

上平臺和質(zhì)量負載關于質(zhì)心坐標系(原點在綜合質(zhì)心，方向與{B}相同)的轉(zhuǎn)動慣量為

(52)

考慮上平臺相對點P的力矩平衡

(53)

將式(43)、式(51)代入式(53)進行整理

mpR×[ωp×(ωp×R)-g]+ωp×Ipcωp+

(54)

合并式(47)、式(54)，得到上平臺的完整動力學方程

(55)

其中，

4 計算實例

為了比較改進模型與原模型的不同，筆者利用兩種改進形式的Stewart平臺完整動力學模型式(49)、式(55)求解文獻[4]的計算實例，并與原文的結(jié)果進行比較。Stewart平臺的結(jié)構參數(shù)、初始條件見附錄2。

同經(jīng)典模型一樣，采用基于任務空間運動狀態(tài)反饋的PD控制算法求解支桿主動力，PD算法描述如下

(56)

式中：Kp=[4.0×1054.0×1054.0×1065.0×1045.0×1041.0×105]T;Kd=[1.0×1041.0×1042.0×1041.0×1031.0×1032.0×103]T。

4.1 第一種改進模型式與經(jīng)典模型比較

根據(jù)式(49)求解支桿長度、伸縮速度和上平臺位移、速度的響應曲線，并與原模型計算結(jié)果一起顯示在圖6～圖9中，所有圖中實線、虛線分別為改進模型、原模型的響應結(jié)果。圖6、圖7的第一張小圖右上角展示了Leg1長度和運動速度變化的局部放大曲線。可以觀察到響應曲線的初始階段及峰值處，兩種模型下Leg1的長度和速度值略有不同，其余支桿也呈現(xiàn)類似的情況。

同樣，由圖8和圖9可見，改進模型、原模型求解得到的上平臺位移、速度、轉(zhuǎn)角、角速度都具有相似的變化趨勢，但幅值不同。由于初始狀態(tài)和期望狀態(tài)線位移tp、角位移θp的X、Y方向分量為0，因此兩模型在這兩個方向上的差值數(shù)量級很低。而速度響應在峰值處差值較為明顯。圖10描述了6根支桿所需的主動力，每個圖中的小圖描述了兩種模型的差值，峰值處最大的誤差值達到了45.94%。所以，從整體上來看，改進模型和原模型所有運動參數(shù)具有相似的變化趨勢，但在峰值處，幅值呈現(xiàn)較為明顯的不同。

4.2 第二種改進模型式與經(jīng)典模型比較

經(jīng)計算，由(55)得到的響應曲線與第一種改進形式(49)的結(jié)果完全一致，因此，第二種改進模型式(56)與經(jīng)典模型的比較同圖6～圖10。由于篇幅有限，此處不再展示。實際上，第1節(jié)中的依據(jù)一、二本質(zhì)上是一樣的，它們是動量矩定理的兩種不同表述。因此，以此為基礎得到的兩種改進形式本質(zhì)上也是一致的。

5 結(jié) 論

本文在考慮支桿繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)自由度、修正萬向鉸約束力矩、合理應用平行軸定理計算各部分轉(zhuǎn)動慣量、正確利用動量矩定理建立支桿及平臺的歐拉方程的基礎上，對原有基于Newton-Euler法建立的Stewart平臺經(jīng)典閉環(huán)動力學模型進行改進。得到質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量和非質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量表示的兩種不同形式改進模型，這兩種模型從本質(zhì)上是一致的，計算結(jié)果很好的說明了這一點。

此外，從改進模型與原模型的計算結(jié)果比較來看，所有參數(shù)變化趨勢相同，但所有時間點的響應呈現(xiàn)不同程度的誤差，尤其是曲線峰值處。由于算例中設置的初始條件和期望狀態(tài)的差值很小，而且整個Stewart平臺結(jié)構尺寸、重量也較小，因此最終的比較結(jié)果并沒有表現(xiàn)出特別顯著的不同。從理論推導的角度來看，改進模型雖然只是對方程中某些項做了的修正，但提高了模型的準確性。對大型的平臺結(jié)構這些修正帶來的影響可能會更顯著，因此改進工作是很有必要的，對后期的研究具有重要意義。

(a) Leg 1

(b) Leg 2

(c) Leg 3

(d) Leg 4

(e) Leg 5

(f) Leg 6

圖6 支桿長度隨時間變化曲線

Fig.6 Time response curve of pod length

(a) Leg 1

(b) Leg 2

(c) Leg 3

(d) Leg 4

(e) Leg 5

(f) Leg 6

圖7 支桿速度的時間響應曲線

Fig.7 Time response curve of pod velocity

(a)X

(a) Leg 1

(b) Leg 2

(c) Leg 3

(d) Leg 4

(e) Leg 5

(f) Leg 6

參 考 文 獻

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附錄

Stewart平臺機構參數(shù)(均采用國際單位制)負載平臺(包括質(zhì)量負載)的質(zhì)量：mp=40.0； 上、下支腿的質(zhì)量：mu=1.0，md=3.0；負載平臺(包括質(zhì)量負載)的綜合質(zhì)心在{P}的位置矢量：R0=[0.04 0.03 -0.06]T；上、下支腿的重心位置：ru0i=[-0.6 -0.08 0.08]T、rd0i=[0.4 0.14 -0.18]T；萬向鉸、柱鉸和球鉸的黏滯阻尼系數(shù)：Cu=0.000 1，Cp=0.001，Cs=0.000 2。

虎克鉸固定軸的單位矢量

k=

支桿上、下連接點的在各自局部坐標系的位置

上下支桿關于各自質(zhì)心坐標系(坐標原點在上下支桿質(zhì)心處，方向與{D}相同)的慣量矩陣

上平臺和質(zhì)量負載在質(zhì)心坐標系(原點在綜合質(zhì)心，方向與{P}相同)的慣量矩陣

任務空間初始狀態(tài)和期望狀態(tài)

tp0=[0.1 0.0 0.395]T，θp0=[0.0 0.0 -0.2]T；

tpd=[0.1 0.0 0.4]T，θpd=[0.0 0.0 -0.2]T；

Fext=0，Mext=0。