如何求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值

李忠先

一、課題背景

二次函數(shù)是同學(xué)們?cè)诔踔芯陀幸恍┭芯?，高一是?duì)二次函數(shù)問(wèn)題又進(jìn)一步深入研究。但通過(guò)多年教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)對(duì)這一問(wèn)題的理解是不深刻的，在解決實(shí)際問(wèn)題中難于準(zhǔn)確運(yùn)用，而這一知識(shí)和方法貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多研究函數(shù)最值問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題（化歸思想），因此，熟練掌握此問(wèn)題的解決方法在高中階段尤其重要。

二、課題研究的目的

通過(guò)學(xué)生親自實(shí)踐，培養(yǎng)思維品質(zhì)，養(yǎng)成動(dòng)手習(xí)慣，鍛煉動(dòng)腦能力；通過(guò)討論，啟迪思維、學(xué)會(huì)合作、取長(zhǎng)補(bǔ)短；通過(guò)總結(jié)，認(rèn)識(shí)區(qū)間（范圍）在函數(shù)問(wèn)題中的重要性；通過(guò)探究，掌握求二次函數(shù)最值的方法。

三、方案實(shí)施步驟

1.準(zhǔn)備階段

①學(xué)生復(fù)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)知識(shí)。② 及時(shí)公布方案，使學(xué)生有心理準(zhǔn)備，確保學(xué)生積極參與，清楚操作程序，激發(fā)熱情，體現(xiàn)人文關(guān)懷。

2.自我實(shí)踐階段

學(xué)生獨(dú)立探究以下問(wèn)題：已知函數(shù)f （x） = 。討論：① x∈R 時(shí)，f（x）的最值。② x≤-1 時(shí)，求f（x）的最值。③ 當(dāng)x ≥2時(shí)，求f（x）的最值。④ 當(dāng) -1≤x≤2 時(shí)，求f（x）的最值。⑤ 當(dāng) -1

3.共同討論階段

第一階段：將學(xué)生分成四人一組，共同討論，各抒己見，然后總結(jié)結(jié)果（10--15分鐘）。

第二階段：每四小組合并為一大組，共同討論。每一小組選一位代表將小組總結(jié)結(jié)果進(jìn)行陳述，然后討論。（10--15分鐘）。

4.形成結(jié)論階段

各大組代表將討論結(jié)果在全班交流，然后老師根據(jù)交流中得出的結(jié)論或出現(xiàn)的問(wèn)題與學(xué)生共同討論，形成共識(shí)。最后得出解決問(wèn)題的方法——“求二次函數(shù)f （x）在給定區(qū)間〔a ， b〕上的最值”主要就是研究二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系和開口方向（此處可與學(xué)生共同討論完成），一邊討論、一邊總結(jié)、一邊畫出各種位置關(guān)系的圖形，用圖形生動(dòng)、直觀、準(zhǔn)確地展現(xiàn)出來(lái)，這樣也有利于學(xué)生記憶和理解。

開口向上分三種情形：

（1）對(duì)稱軸在區(qū)間〔a ， b〕左邊，則f （x） = f （a） ， f （x） = f （b）

（2）對(duì)稱軸在區(qū)間〔a ， b〕右邊，則f （x） = f （b） ， f （x） = f （a）

（3）對(duì)稱軸在區(qū)間〔a ， b〕內(nèi)部， 則f （x） = f（- ）， f （x） = f （ ）。（距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)的那個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值）

5.推廣演練階段

例1：f （x） = （x≤a）.求f （x）的最大值。

解：∵函數(shù)f （x） 的對(duì)稱軸為 =-1，且該拋物線的開口向下

∴f （x）在區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，+∞）是減函數(shù)

∴當(dāng)a≤-1時(shí)，f （x）在區(qū)間（-∞，a]上是增函數(shù)，此時(shí)f （x）有最大值且為f （a）=

當(dāng)a>-1時(shí)，f （x）的對(duì)稱軸在區(qū)間（-∞，a]的內(nèi)部，此時(shí)f （x）有最大值且為f （-1）= 2

例2：設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f （x） = x∈[-3，2]，求f （x）的最值。

解：∵函數(shù)f （x） 的對(duì)稱軸為 = ，且該拋物線的開口向上

∴f （x）的對(duì)稱軸在區(qū)間[-3，2]的內(nèi)部，且∣ -（-3）∣>∣2- ∣

∴當(dāng)x∈[-3，2]時(shí)，函數(shù)f （x） 在 = 時(shí)有最小值f （ ）= ，函數(shù)f （x） 在 =-3時(shí)有最大值f （-3）= 。

6.課外演練提升階段

（1）已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f （x） = x∈[-3，2]，求f （x）的最值。

（2）已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f （x） = x∈[ ，1]，求f （x）的最值。

當(dāng)然，以上問(wèn)題在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)后，用導(dǎo)數(shù)方法求最值更容易解決，但作為求二次函數(shù)最值的基本方法，是學(xué)生的基本能力，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，理解分類討論的思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力都是非常重要的！