常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

覃 游

（四川師范大學(xué)附中，四川 成都 610000）

當(dāng)前，常微分方程是很多理工科專業(yè)設(shè)置的一門基礎(chǔ)課程。與微積分相似，常微分方程也是人類認(rèn)識(shí)世界、改造世界不可或缺的一個(gè)數(shù)學(xué)工具。在長(zhǎng)年累月的生產(chǎn)實(shí)踐中，常微分方程已經(jīng)演變成了數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)碚摵蛯?shí)踐相聯(lián)系的重要分支，而利用常微分方程建立數(shù)學(xué)模型，也成為了解決很多實(shí)際問題的重要手段。因此，對(duì)常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用展開探究，有著非常重要的意義。

1 常微分方程在腐敗人數(shù)預(yù)測(cè)模型中的應(yīng)用

當(dāng)前，人們經(jīng)常在電視或網(wǎng)絡(luò)上看到很多政府官員因?yàn)楦瘮栴}而落馬的報(bào)道，而這些腐敗官員的落馬往往會(huì)牽扯出大量的涉案分子，這些被牽扯出來的涉案分子往往會(huì)采取東躲西藏的方式來逃避法律對(duì)他們的制裁。為此，可以用常微分方程來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和創(chuàng)新，利用這些被牽扯出的涉案分子的人數(shù)來對(duì)總涉案人數(shù)加以預(yù)測(cè)，建立出一個(gè)新的腐敗人數(shù)預(yù)測(cè)模型，這包括以下三個(gè)步驟。

（1）假設(shè)階段。設(shè)t表示時(shí)間，x（t）表示這個(gè)腐敗集團(tuán)所牽扯的涉案分子的總?cè)藬?shù)有關(guān)t的函數(shù)，X0表示在t=0時(shí)刻這個(gè)腐敗集團(tuán)所牽扯的涉案分子的總?cè)藬?shù)，r（x）表示牽扯涉案分子的增長(zhǎng)率，r表示在x0時(shí)刻牽扯的涉案分子人數(shù)的增長(zhǎng)率，也稱作固有增長(zhǎng)率，xm表示這個(gè)腐敗事件可能會(huì)牽扯的最多人數(shù)，μ表示在追查時(shí)產(chǎn)生的阻力系數(shù)，i（t）表示這個(gè)腐敗事件所牽扯人數(shù)在總?cè)藬?shù)中的比例，λ表示在t=0時(shí)刻這個(gè)腐敗事件所牽扯人數(shù)在所有人數(shù)中的比例，λ表示已被抓到的每個(gè)腐敗分子在每個(gè)月之內(nèi)所招供出的平均人數(shù)。

（2）分析階段。若已牽扯出的腐敗分子人數(shù)呈現(xiàn)出了遞增趨勢(shì)，就說明潛在的腐敗分子人數(shù)正在逐漸減少。x（t）表示這個(gè)腐敗事件牽扯的人數(shù)與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，x（t）是與t有關(guān)的連續(xù)函數(shù)，其中的一個(gè)上界是xm，牽連人數(shù)對(duì)應(yīng)的增長(zhǎng)率r（x）和x（t）之間也存在特定的函數(shù)關(guān)系。從前面的假設(shè)可知，r（x）是x的一條線性函數(shù)。r（x）=r-kx（k表示斜率，k＞0）。當(dāng)x=xm時(shí)，涉案人數(shù)的增長(zhǎng)率是0，r（xm）=0，這樣就能確定k=r/xm，那么所牽扯的涉案人數(shù)的增長(zhǎng)率函數(shù)就能夠用r（x）=r（1-x/xm）來加以計(jì)算。

（3）計(jì)算階段。在不考慮偵察的力度以及偵查的困難程度可能給偵查結(jié)果帶來影響的情況下，可以建立出以下的微分方程：

解得

在考慮偵查的困難程度可能給偵查結(jié)果帶來影響的情況下，可以將阻力系數(shù)設(shè)為μ，從而建立出以下的微分方程：

di/dt=λi（1-i）-μi

i（0）=i0（λ≠μ）

解得

這個(gè)數(shù)學(xué)模型可以作為我國(guó)的反腐敗部門在今后的反腐敗工作當(dāng)中對(duì)腐敗分子牽連的人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，不難發(fā)現(xiàn)，在理論上計(jì)算出的腐敗人數(shù)與實(shí)際工作當(dāng)中所查出的腐敗人數(shù)有著非常近似的誤差范圍。

2 常微分方程在生物種群數(shù)量模型中的應(yīng)用

（1）研究背景。目前，生物種群的數(shù)量問題是一個(gè)非常熱門的問題，這個(gè)問題引起了世界范圍內(nèi)眾多專家和學(xué)者的廣泛關(guān)注。想要對(duì)某個(gè)生物種群在未來的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要的影響因素就是這一生物種群在目前的總數(shù)目，以及這一生物總?cè)涸谖磥硪欢螘r(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)情況和其所處環(huán)境的影響因素。當(dāng)某一生物的種群數(shù)目增加到一個(gè)特定的程度之后，這一種群的生物就并將在狹小的生存空間中相互競(jìng)爭(zhēng)，并且種群中各個(gè)生物的增長(zhǎng)狀況會(huì)在種群數(shù)目不斷增加的狀況下出現(xiàn)削減。因此，對(duì)該生物種群在未來的數(shù)目，就可以通過建立生物種群數(shù)量模型的方式來解決。

（2）Malthus模型。如果想對(duì)未來一段時(shí)間中該生物種群的總體數(shù)目進(jìn)行推測(cè)，那么所涉及到的主要特征就是數(shù)學(xué)刻畫，即該生物的自然增長(zhǎng)率，這是確定該生物在一段時(shí)間內(nèi)種群的增量和種群的數(shù)量之間比例系數(shù)的有效手段，同時(shí)還能反映出在一段時(shí)間內(nèi)，該生物中某個(gè)單個(gè)個(gè)體的平均增加量，其自然增長(zhǎng)率既能作為常數(shù)，又能作為變數(shù)。

可以用t表示時(shí)間，用常數(shù)λ表示該生物種群所對(duì)應(yīng)的自然增長(zhǎng)率。假設(shè)在該生物種群所生存的環(huán)境下，只存在這一種生物種群，或其它的生物種群的存在不會(huì)對(duì)該生物種群的生存造成影響。在t時(shí)刻，該生物種群的數(shù)量可以表示為N（t），但是N（t）的數(shù)量是非常龐大的，所以可將其視作時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)。假設(shè)在t=0的時(shí)刻，這個(gè)生物種群的數(shù)量用N0來表示，那么在△t這一時(shí)段內(nèi)，該生物種群數(shù)量的凈增加量就可以用t垣△t時(shí)刻該生物種群的數(shù)量減去t時(shí)刻該生物種群的數(shù)量來計(jì)算出來，其常微分方程為：

N（t垣△t）N（t）=λN（t）△t

根據(jù)這個(gè)常微分方程，可以建立出Malthus模型：

dN（t）/dt=λN（t）

N（0）=N0

解得 N（t）=N0eλt

從這個(gè)結(jié)果可以看出，上面所建立的數(shù)學(xué)模型在結(jié)果上是和19世紀(jì)之前歐洲各大地區(qū)統(tǒng)計(jì)出的人口數(shù)據(jù)完全吻合的。另外，從這個(gè)方程還可以得知，在一些地廣人稀的地區(qū)，其人口的增長(zhǎng)情況更加符合這種模型，并呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，這就證明這種假設(shè)與數(shù)學(xué)建模的方式是非常合理的。

（3）蘊(yùn)ogistic模型。在使用Malthus模型的過程中，人們發(fā)現(xiàn)，Malthus模型對(duì)于19世紀(jì)之后的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際相比存在著較大的差異，這就表明Malthus模型在應(yīng)用上是有一定的局限性。隨著生物種群的數(shù)量在不斷地增加，外界的自然資源和環(huán)境等因素對(duì)各種生物種群數(shù)量所產(chǎn)生的阻滯作用也愈發(fā)突出，也就是說，Malthus模型當(dāng)中所提出自然增長(zhǎng)率的合理性并不是在任何情況中都適應(yīng)的。為此，可以對(duì)其加以創(chuàng)新，將其改進(jìn)為蘊(yùn)ogistic模型。

在蘊(yùn)ogistic模型中，可以假設(shè)某種生物種群所對(duì)應(yīng)的自然增長(zhǎng)率與其種群數(shù)量的函數(shù)關(guān)系為f（N），并用Nm表示該生物種群所在的環(huán)境能夠容納的最大數(shù)量。在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，通常要將未知函數(shù)的處理過程表示為線性函數(shù)或二次函數(shù)的形式，可以假設(shè)f（N）=ax垣b是這一線性函數(shù)，那么由f（Nm）=0可知，f（N）=λ（1-N/Nm）。將其改進(jìn)為logistic模型：

dN/dt=λ（1-N/Nm）N

N（0）=N0

解得

利用這一模型與10世紀(jì)到20世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)兩者是完全吻合的，這就證明蘊(yùn)ogistic模型能夠合理地表示出生物種群的數(shù)量在外界環(huán)境制約下出現(xiàn)的變化情況。

3 常微分方程在人口預(yù)測(cè)模型中的應(yīng)用

由于地球上的資源存在有限性的特點(diǎn)，所以世界上的各個(gè)國(guó)家都已經(jīng)開始有計(jì)劃地對(duì)人口的增長(zhǎng)情況進(jìn)行控制。想要建立準(zhǔn)確的人口預(yù)測(cè)模型，就必須先弄清楚影響人口增長(zhǎng)的因素有哪些。實(shí)際上，影響人口增長(zhǎng)的因素非常多，如自然出生率、自然死亡率、人口遷移、戰(zhàn)爭(zhēng)、自然因素等等，如果在初始階段就對(duì)所有的因素都加以考慮，那么模型的建立就會(huì)無從下手。因此，可以先對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立出一個(gè)較為粗糙的數(shù)學(xué)模型，然后再對(duì)其進(jìn)行逐步地修改，從而得到一個(gè)相對(duì)完善的數(shù)學(xué)模型。

1838年，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特將常數(shù)Nm引入到了數(shù)學(xué)建模中，并用其表示自然環(huán)境能夠容許的最大人口數(shù)。一般而言，一個(gè)國(guó)家的工業(yè)化水平越高，這個(gè)國(guó)家的生活空間就越大，Nm也就越大。韋爾侯斯特假設(shè)，增長(zhǎng)率可以表示為r（1-Nt/Nm），而凈增長(zhǎng)率則會(huì)隨著Nt的增大而逐漸減少，當(dāng)Nt逐漸趨近于Nm時(shí)，凈增長(zhǎng)率則會(huì)逐漸趨近于零，利用這一假定就能夠建立出人口預(yù)測(cè)模型。所以，可以利用韋爾侯斯特的理論進(jìn)行創(chuàng)新，建立出一個(gè)新的人口預(yù)測(cè)模型。

dN/dt=r（1-N/N0）N

N（t0）=N0

這個(gè)常微分方程建立出的數(shù)學(xué)模型是一種邏輯模型，可以對(duì)其進(jìn)行分離變量處理，其解為：

根據(jù)這個(gè)人口預(yù)測(cè)模型，并結(jié)合韋爾侯斯特的相關(guān)理論，就能夠?qū)θ丝诘脑鲩L(zhǎng)情況進(jìn)行合理的預(yù)測(cè)了。

4 結(jié)語

綜上所述，文章主要對(duì)常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并對(duì)一些以往的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了改進(jìn)，并利用常微分方程創(chuàng)新性地設(shè)計(jì)出了一些新的數(shù)學(xué)模型，并將其應(yīng)用在了不同領(lǐng)域的問題研究當(dāng)中。希望廣大的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家和學(xué)者們能夠?qū)ΤＮ⒎址匠淘跀?shù)學(xué)建模中的應(yīng)用展開更加深入的研究，創(chuàng)造出更多的數(shù)學(xué)模型，從而解決社會(huì)上的一些復(fù)雜課題。

參考文獻(xiàn)

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