☉湖北武漢市鋼城第二中學(xué) 龍金鳳
初中階段“圖形變換”主要涉及圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及位似.不同變換下的圖形都有各自的性質(zhì),這些性質(zhì)不僅能為合理推理提供依據(jù),同時(shí)也是解決許多實(shí)際問題的重要工具.圖形變換考查學(xué)生對基本圖形本質(zhì)的理解,又能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐與操作能力,形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化的意識(shí)[1],也是中考的熱點(diǎn)與難點(diǎn).在中考復(fù)習(xí)中,怎樣讓學(xué)生能夠?qū)⑷陮W(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行梳理并提升知識(shí)板塊間的深層次認(rèn)識(shí),提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率呢?筆者在近期進(jìn)行了一次第一輪復(fù)習(xí)的研討課,談?wù)勛约旱南敕白龇?,以供大家一起研?
(1)思考:平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)A、B,如何讓點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處?
按一定的方法把一個(gè)圖形變成另一個(gè)圖形,叫作幾何變換.
問題1:初中階段我們學(xué)過哪幾類幾何變換?
問題2:教材是如何定義的?
問題3:它們有哪些性質(zhì)?
請同學(xué)們完成下表1:
表1
課中追問:
(1)平移的性質(zhì)梳理時(shí),追問:為什么平移中對應(yīng)點(diǎn)的連線平行(或共線)且相等呢?
(2)在三種變換共同點(diǎn)的梳理時(shí),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們都是全等變換.追問:有沒有不全等的變換?將相似變換補(bǔ)充到知識(shí)體系中.
設(shè)計(jì)意圖:(1)通過提出圖形變換中最本質(zhì)的問題——點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),讓學(xué)生回顧復(fù)習(xí)初中階段學(xué)習(xí)的變換.學(xué)生能夠想到按照平移、軸對稱、中心對稱及普通的旋轉(zhuǎn)達(dá)到運(yùn)動(dòng)的效果.為學(xué)生梳理這幾類變換都是按照一定的方法把一個(gè)圖形變成另一個(gè)圖形,也就是幾何變換,切入本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容.
(2)回歸課本,梳理三類變換的概念及性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生梳理性質(zhì)時(shí)從點(diǎn)、線、面的層面關(guān)注變換前后兩個(gè)圖形間的關(guān)系.同時(shí)在課中追問:為什么平移中對應(yīng)點(diǎn)的連線平行(或共線)且相等呢?讓學(xué)生體會(huì)對應(yīng)點(diǎn)的連線平行(或共線)是由于平移的方向一樣,對應(yīng)點(diǎn)的連線相等是由于平移的距離一樣.也讓學(xué)生能夠體會(huì)幾何圖形間的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.
表2
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生能夠明確知道中考要求學(xué)生會(huì)利用圖形的變換作圖及利用圖形變換的性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用.
復(fù)習(xí)平面圖形中最基本的元素——點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的變化規(guī)律:
(1)點(diǎn)P(x,y)向右平移a個(gè)單位,再向上平移b個(gè)單位長度,得到的對應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為_____.
(2)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為____.
點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)為____.
(3)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P4的坐標(biāo)為____.
設(shè)計(jì)意圖:先從點(diǎn)的變化規(guī)律復(fù)習(xí),再逐步發(fā)展到線(直線、曲線)、面(平面圖形)的運(yùn)動(dòng)變換.
例1如圖1,在直角坐標(biāo)系中,A(0,4)、C(3,0).
①畫出線段AC關(guān)于y軸的對稱線段AB.
②將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角,得到對應(yīng)線段CD,使得AD∥x軸,請畫出線段CD.
③寫出從線段AB到線段DC的變換過程.
④寫出從線段AB到線段CD的變換過程.
課中追問:(1)在第①問完成后,追問學(xué)生:AC還可以怎樣變換到AB?
(2)在第②問中,追問學(xué)生:需要什么作圖工具?
(3)從線段AB到線段DC與到線段CD有何不同?
設(shè)計(jì)意圖:(1)本題為武漢市2014年與2015年中考題目的融合,考查學(xué)生的作圖能力.其中第一問考查學(xué)生的軸對稱變換,在追問①中讓學(xué)生用不同的變換視角看待問題,將靜態(tài)的平面圖形“動(dòng)態(tài)”化,發(fā)展學(xué)生的空間想象能力.
(2)從線段AB到線段DC的過程可以是平移、也可以是先沿y軸軸對稱(或旋轉(zhuǎn))再沿直線x=3軸對稱(或旋轉(zhuǎn))得到,讓學(xué)生能夠體會(huì)到幾種運(yùn)動(dòng)變換之間的關(guān)聯(lián).
(3)通過第③和④問的對比,讓學(xué)生能夠再次體會(huì)變換前后圖形的對應(yīng)關(guān)系.
圖1
為曲線C1,將其向左平移2個(gè)單位長度,得到曲線C2,請?jiān)趫D中畫出C2,并直接寫出C1平移至C2處所掃過的面積并思考:能求出C2的解析式嗎?
課中追問:除了將C1平移,我們還可能將C1進(jìn)行什么樣的變換呢?請獨(dú)立思考,設(shè)計(jì)一種與變換相關(guān)的題目,課后與同學(xué)交流.
設(shè)計(jì)意圖:(1)本題選自2016年武漢市中考,讓學(xué)生通過中考來感受對圖形變換的考查.
(2)由例1直線型的變換過渡到曲線型的變換,讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)動(dòng)變換的本質(zhì)是點(diǎn)的變換.
(3)讓學(xué)生自己想象C1的運(yùn)動(dòng)變換,激發(fā)學(xué)生的空間想象能力,思考C2的解析式的求法,發(fā)展學(xué)生的推理能力.
圖2
圖3
解法1:解法2:
圖4
圖5
課中追問:
(1)線段AB和AC有什么關(guān)系?
(2)∠BAD與∠CAE有什么關(guān)系?
(3)我們?nèi)绾螌D、CE以及相關(guān)信息合理利用呢?
設(shè)計(jì)意圖:(1)本題選自2017年武漢市中考,為學(xué)生提供最直接的中考考題方式.
(2)利用有公共端點(diǎn)的相等線段的信息,以及∠BAD+∠CAE=60°這兩方面把關(guān)于線段和角的信息整合,引導(dǎo)學(xué)生用變換的角度思考問題.
(3)利用“合”的想法產(chǎn)生解法1,利用“分”的想法產(chǎn)生解法2,與證線段和與差中的“截長補(bǔ)短”的思想方法的內(nèi)核相通.讓學(xué)生能夠體會(huì)運(yùn)動(dòng)變換后可以將圖形中的線段及角這些分散的信息集中.
練習(xí)2:如圖6,在矩形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,且∠EAF=∠CEF=45°,若DF=3,EF=,則AD的長為________.
解法1:
圖7
圖6
解法2:(化歸為例2)
圖8
解法3:(相似)
圖9
課中追問:(1)目前可以挖掘一些什么信息?和例2比起來有什么區(qū)別呢?是否還是可以借助例2的想法呢?
(2)此題和例2的區(qū)別在于載體變成了四邊形,45°的角在∠DAB中,但∠DAB所在的不是三角形,你能夠化歸成與例2類似的情況嗎?
設(shè)計(jì)意圖:(1)發(fā)展學(xué)生的思維能力,讓學(xué)生活學(xué)活用,不拘泥于之前老師總結(jié)的解題規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生遇到新題目如何思考問題.
(2)引導(dǎo)學(xué)生抓住核心要素,思考需要集中的信息有哪些?我們?nèi)绾芜M(jìn)行集中?遇到新題目的呈現(xiàn),我們?nèi)绾位瘹w為已學(xué)過的知識(shí).
第一輪復(fù)習(xí)起到了知識(shí)梳理與整合的作用,應(yīng)以學(xué)生為知識(shí)梳理的主體,讓他們自主經(jīng)歷題組解答和互動(dòng)交流的過程,推動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)的有效入網(wǎng)[2].本節(jié)課著手于圖形的運(yùn)動(dòng)變化,以點(diǎn)、線、面的方式鋪開,用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)思考問題,讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)變換的作用,為學(xué)生的中考復(fù)習(xí)備考提供有力支撐.
在平時(shí)的教學(xué)中,教師常給學(xué)生總結(jié)各種幾何基本圖形的方法,學(xué)生機(jī)械化記憶或者訓(xùn)練能夠讓學(xué)生形成條件反射,可是為什么我們要這樣作輔助線呢?學(xué)生可能并沒有理解.基于對知識(shí)本身的追溯,引導(dǎo)學(xué)生如何思考應(yīng)成為教師教學(xué)中的著力點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、聯(lián)想,形成自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).
如果教師能夠幫助學(xué)生在中考備考中梳理好知識(shí)脈絡(luò),形成知識(shí)體系,打通各個(gè)知識(shí)板塊中的關(guān)聯(lián),做到心中有教材,心中有學(xué)生,多引導(dǎo)學(xué)生思考問題的本源,可以提高學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的成就感,實(shí)現(xiàn)有效中考復(fù)習(xí)備考,為考生助一臂之力.
參考文獻(xiàn):
1.黃云興.圖形變換問題在中考中的應(yīng)用探究[J].新課程學(xué)習(xí)(上),2014(7).
2.孫來扣.中考復(fù)習(xí),從“起點(diǎn)”再出發(fā)——以“一次方程(組)”復(fù)習(xí)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(6).