有界噪聲激勵下粘彈性碰撞系統(tǒng)的穩(wěn)定性

謝秀峰，李俊林

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024)

由于粘彈性材料［1］既可以儲存能量，又可以耗散能量，因而被廣泛用于航空航天、造船、汽車、鐵路、建筑、紡織等行業(yè)。使得粘彈性系統(tǒng)的動力學(xué)行為的研究具有重要的理論意義和工程意義，引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注。關(guān)于確定性激勵下粘彈性系統(tǒng)的動力學(xué)和控制問題已有大量研究。Adhikari［2］研究了粘彈阻尼的線性振子的特征值和定性動力學(xué)特征。Potapov［3］研究了非高斯激勵下彈性和粘彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。在實際工程中存在很多隨機干擾，其對系統(tǒng)的影響不容忽視，所以研究隨機激勵下粘彈性系統(tǒng)的動力學(xué)行為受到很多學(xué)者的關(guān)注［4－5］。應(yīng)用隨機平均方法［6］，Ariaratnam［7］研究了單自由度線性粘彈性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。Xie［8］研究了有界噪聲激勵下二維粘彈性系統(tǒng)的矩Lyapunov穩(wěn)定性。

碰撞是航空航天、機械制造、土木工程等領(lǐng)域廣泛存在的一種現(xiàn)象，會影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，使材料的力學(xué)性質(zhì)發(fā)生本質(zhì)改變，為減少碰撞引起的破壞，碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)行為被廣大學(xué)者深入研究.由于碰撞問題中含有非光滑因素，增加了動力系統(tǒng)的復(fù)雜性［9］，光滑系統(tǒng)的很多理論與成果不能直接應(yīng)用到非光滑系統(tǒng)的分析當(dāng)中。Dimentberg［10］等利用Dirac delta函數(shù)和符號函數(shù)對非光滑系統(tǒng)進行光滑化處理，將碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為不含碰撞的動力系統(tǒng)，然后用能量平均法，分析了碰撞振動系統(tǒng)的隨機響應(yīng)問題。應(yīng)用隨機平均法，Xie［11］等研究了高斯白噪聲激勵下碰撞振動系統(tǒng)的瞬態(tài)隨機響應(yīng)。Zhu［12］研究了隨機變阻尼的非線性碰撞振動系統(tǒng)的響應(yīng)問題。Zhao［13］等研究了隨機激勵下粘彈性碰撞系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

綜上所述，關(guān)于粘彈性碰撞問題的相關(guān)研究較少，因此有必要研究隨機激勵下粘彈性碰撞系統(tǒng)動力學(xué)行為。本文研究了有界噪聲激勵下粘彈性碰撞系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性，用恢復(fù)系數(shù)來描述粘彈性碰撞前后的能量損失，結(jié)合Zhuravlev變換和隨機平均法給出了系統(tǒng)p階矩 Lyapunov指數(shù)的近似解析解。并討論了恢復(fù)系數(shù)、粘彈性系數(shù)及隨機激勵振幅對系統(tǒng)矩穩(wěn)定性的影響。

1 模型分析

考慮受有界噪聲激勵的粘彈性碰撞系統(tǒng)可表述為:

式中:表示y關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù);0＜r≤1代表碰撞恢復(fù)因子;“+”和“－”分別表示碰撞前和碰撞后時刻。β代表系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，ε≤1為常數(shù)。

H表示粘彈性效應(yīng)，可表示為:

其中，h(t)為粘彈性核函數(shù).

有界噪聲ξ(t)可以表示為

其中，ζ是噪聲幅值，σ是噪聲強度，W(t)表示標準Wiener過程，θ為［0，2π］上均勻分布的隨機變量。ξ(t)的功率譜密度為:

引入非平滑 Zhuravlev變換 y==gn(x)，應(yīng)用Dirac δ函數(shù) δ(x)，得到外加項為:(－)δ(t－t*)=(1－r)δ(x).變換后的系統(tǒng)為:

因此，原來的粘彈性碰撞系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為新的非連續(xù)無碰撞系統(tǒng)(5)，其右邊的(1－r)δ(x)表示系統(tǒng)的碰撞損失，可以看作外加的阻尼項.ε和1－r都是小參數(shù)，記ε^r=1－r.

2 隨機平均法

系統(tǒng)(5)的響應(yīng)可近似表示為:

由文獻［14］可知，對于一個隨機系統(tǒng)的狀態(tài)變量X(t)，其矩穩(wěn)定性可以用矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)表示

式中:E［·］表示數(shù)學(xué)期望，‖·‖2表示二階范數(shù)，系統(tǒng)解p階矩漸進穩(wěn)定的充分必要條件是Λ(p)＜0，并且Λ'(0)等于系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)

而系統(tǒng)的幾乎必然穩(wěn)定的充分必要條件是λ＜0.

為了求出系統(tǒng)的p階矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)，作變換P(t)=Ap(t)，并解式(8)和(9)，得P與φ的微分關(guān)系:

引入小參數(shù)，有界噪聲可表示為:

將ξ(t)代入式(13)，式(14)中，得:

應(yīng)用隨機平均法，得到關(guān)于P和φ的平均方程為

選取Maxwell型粘彈性核函數(shù)

得:

應(yīng)用變換χ=2φ－ψ，根據(jù)Itǒ規(guī)則，應(yīng)用隨機平均法，得到關(guān)于P和φ的平均Itǒ微分方程為:

方程組(20)是耦合的，直接求解微分方程組很困難。應(yīng)用線性隨機變換，把p階矩Lyapunov指數(shù)求解問題轉(zhuǎn)化為特征值問題，應(yīng)用線性隨機變換:

其中χ的取值范圍是［0，2π］.利用Itǒ規(guī)則可以將式(21)轉(zhuǎn)化為

有界非正則變換T(χ)使得P和S有相同的穩(wěn)定性，使得式(22)的漂移項系數(shù)不依賴于χ，有:

對式(23)兩邊取數(shù)學(xué)期望dE［S］=ΛE［S］.根據(jù)p階矩Lyapunov指數(shù)的定義(10)可知Λ為系統(tǒng)(20)的p階矩Lyapunov指數(shù)。比較式(22)與式(23)的漂移項，得到關(guān)于p階矩Lyapunov指數(shù)的特征值問題:

其中Λ(p)=ε^Λ(p).

3 特征值問題的求解

雖然式(1)的碰撞問題轉(zhuǎn)化為特征值問題，但是特征值問題式(24)的精確解析解求解困難。由于式(24)系數(shù)的變量χ以2π為周期，因此特征函數(shù)T(χ)表示成Fourier級數(shù)形式，

將式(25)代入式(24)得到關(guān)于未知參數(shù)C0，Ck，Sk的齊次線性代數(shù)方程組

為使C0，Ck，Sk有非零解，系數(shù)矩陣的行列式必須為零，得關(guān)于近似矩Lyapunov指數(shù)(p)的多項式方程

從而系統(tǒng)的矩Lyapunov指數(shù)為

當(dāng)K=0時，T(χ)取為常數(shù) C0，零階近似矩Lyapunov指數(shù)為

當(dāng)K=1時，式(26)為三次方程，其系數(shù)分別為:

近似矩Lyapunov指數(shù)為

當(dāng)K＞1時，多項式方程(26)沒有理論解，可用數(shù)值近似解得.

4 穩(wěn)定性分析

選取粘彈性核函數(shù)h(t)=，應(yīng) 用Maple程序推導(dǎo)出近似矩Lyapunov指數(shù)(p)的多項式方程。圖1給出當(dāng)K=1時系統(tǒng)響應(yīng)的矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)作為階數(shù)p的函數(shù)，隨不同的恢復(fù)因子r變化的函數(shù)曲線，其余系統(tǒng)參數(shù)為:ε=0.1，υ =2.0，ω =1.0，β =0.05，σ =2.0，ζ=1.0，γ1= κ1=1，γ2= κ2=0.5，實線表示近似解析解，虛線由Monte Carlo模擬的數(shù)值結(jié)果。該圖表明，在Λ(p)＜0的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)的p階矩漸近穩(wěn)定，Λ(p)隨恢復(fù)因子r的增大而增大，即r越大系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性越弱。

圖1 系統(tǒng)的p階矩Lyapunov指數(shù)Fig.1 The pth moment Lyapunov exponent of system(1)

圖2 矩Lyapunov指數(shù)與不同的粘彈性特征參數(shù)γFig.2 The moment Lyapunov exponents for different γ

圖3 矩Lyapunov指數(shù)與不同的粘彈性特征參數(shù)κFig.3 The moment Lyapunov exponents for different κ

圖4 矩Lyapunov指數(shù)與不同的激勵振幅ζFig.4 The moment Lyapunov exponents for different amplitude of the parametric excitation ζ

圖2 表示粘彈性特征參數(shù)γ的變化對矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)的影響.對于p＞0，隨粘彈性參數(shù)γ增大穩(wěn)定區(qū)域變大，說明粘彈性越強有助于系統(tǒng)的穩(wěn)定;由圖3可以看出矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)隨粘彈性特征參數(shù)κ的變化，圖3表明松弛時間越長(即κ越小)，穩(wěn)定性越強，說明長的松弛時間有助于系統(tǒng)的穩(wěn)定。圖4給出了矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)與隨機激勵振幅ζ的變化關(guān)系，取系統(tǒng)參數(shù)為:r=0.9，ε =0.1，υ =2.0，ω =1.0，β =0.05，σ =2.0，γ1= κ1=1，γ2=1.0，κ2=0.5，該圖表明，隨著激勵振幅ζ的增大，矩指數(shù)變大 ( p ＞0)，可見強的激勵振幅使得系統(tǒng)響應(yīng)的矩穩(wěn)定性減弱。

5 結(jié)論

本文研究了受有界噪聲激勵下粘彈性碰撞系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性。首先，應(yīng)用Zhuravlev變換將粘彈性碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為非碰撞系統(tǒng)，然后用隨機平均法得到系統(tǒng)的隨機微分方程，求得了矩Lyapunov指數(shù)的近似解析解，最后通過Monte Carlo模擬數(shù)值結(jié)果驗證了近似解析結(jié)果的正確性。討論了恢復(fù)因子、粘彈性參數(shù)和隨機激勵振幅對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。研究表明，恢復(fù)因子越大系統(tǒng)穩(wěn)定性越弱;系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨粘彈性參數(shù)γ的增大，穩(wěn)定性增強;隨松弛時間越長，穩(wěn)定性越強;強的激勵振幅減弱系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性。

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