博觀約取 厚積薄發(fā)
——淺談“分數(shù)的認識”的教學

浙江寧波市鄞州區(qū)邱隘鎮(zhèn)中心小學（315100） 陳 飛

在區(qū)青年教師研討班的一次教材研讀活動中，我整理的內(nèi)容是“分數(shù)與小數(shù)的認識及運算”，在整理的過程中發(fā)現(xiàn)，如果沒有對教材進行充分的挖掘與深刻的研讀，課堂教學再華麗也是徒然的。作為數(shù)學教師，如果沒能在課堂上真正理解并呈現(xiàn)數(shù)學教學的本質(zhì)，那么，教學設(shè)計越是精致，課堂實施越是完美，給學生帶來的唯有更加嚴重的“南轅北轍”。秉著“對教材的挖掘再充分一些、再深刻一些”的原則，我對“分數(shù)的認識”的教學進行了深入的研究。

一、盡博觀，積累厚識，探求分數(shù)本質(zhì)

何謂分數(shù)？這是教師教學前首先要思考的問題。

分數(shù)概念就是起源于“分”，在表達平均分結(jié)果的時候，遇到了分的結(jié)果比1還要小的情況，這時候只用自然數(shù)顯然是不夠的，于是引進了分數(shù)，這時的分數(shù)是把一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份，這就是分數(shù)的初步認識。后來分數(shù)擴展到可以把一個物體平均分，如果把一些物體、一個計量單位等看成一個整體，平均分后，其中的一份或者幾份，可以用自然數(shù)來表示，但也可以理解為是這個整體的幾分之一或幾分之幾。

至此，分數(shù)的概念就完整了，但這還沒能體現(xiàn)引進分數(shù)的本質(zhì)：分數(shù)是一個不同于自然數(shù)的新數(shù)，又與小數(shù)、百分數(shù)、比、除法和概率等概念有著緊密的聯(lián)系。因此定義分數(shù)時，還可以再充分一點，再深刻一點，以a/b為例，至少可以從下列六種角度來討論分數(shù)的意義。

（1）平均分：把單位“1”平均分成b份，再取出a份。例如：將一個蛋糕切成五等份，取出其中的三份。

（2）部分與全體的比較：全體為b時，a是b的部分。例如：“一塊蛋糕的一半”或“三個蘋果中的兩個”。

（3）小數(shù)的另一種記法。例如：0.6＝3/5。

（4）除法運算的結(jié)果：表示a除以b的商。例如：“5÷3”的結(jié)果是“5/3”。

（5）比的意義：兩個自然數(shù)a和b，b≠0，把比值a/b叫作分數(shù)。例如：“一根6米的竿子”和“一根3米的竿子”的長度比為1/2。

（6）測量：用來測量一個不滿一個單位量的量的數(shù)值問題。例如：1米和2米的中間到底有多長呢？結(jié)果是1又1/2米。

二、巧約取，小貼金泥，另辟教學蹊徑

教學，需要一種智慧。我渴望擁有它，但它卻總是與我若即若離，因為它不可言說、無以言傳。然而，在對“分數(shù)的認識”的教材進行深刻研讀后，我卻有了新的領(lǐng)悟——教學的智慧在于對教材的把握。

1.要聯(lián)系自然數(shù)來初步認識分數(shù)

在“分數(shù)的初步認識”這一課中，學生第一次建立分數(shù)的概念。教材編排有以下特點：（1）由一個物體組成單位“1”。如一個月餅、一個紙片等。（2）只出現(xiàn)常見的分母比較小的分數(shù)（分母一般不超過10）。（3）只出現(xiàn)真分數(shù)以及分子分母相等的假分數(shù)。（4）不正式定義分數(shù)，只通過直觀手段建立初步的分數(shù)概念。

考慮到學生的年齡特點和思維能力，教師不必對分數(shù)的本質(zhì)挖掘過深，只要讓學生理解分數(shù)的“面積模型”即可：三年級學生只要“知其然”，等到五年級再“知其所以然”。因此，課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）巧設(shè)生活情境，引出分數(shù)。

（2）借助整數(shù)經(jīng)驗，創(chuàng)造分數(shù)。

（3）在豐富的數(shù)學活動中深化認識，理解分數(shù)。

[案例1]情境與沖突

出示主題情境圖（圖略），并引導學生思考：

①把4個蘋果平均分給2人，每人分得幾個？

②把2瓶礦泉水平均分給2人，每人分得幾瓶？

（結(jié)合學生的交流，教師揭示：每份分得同樣多，數(shù)學上叫作“平均分”）

③把1個蛋糕平均分給2人，每人分得多少？

（學生在交流中自然得出“一半”）

④每人分得的蘋果、礦泉水可以用以前學過的數(shù)來表示，那“一半”該用怎樣的數(shù)來表示呢？

（學生交流各自的想法，教師結(jié)合學生的交流，揭示課題：認識分數(shù)）

“平均分”是初步認識分數(shù)的基礎(chǔ)，在分配蘋果、礦泉水和蛋糕的過程中，教師巧妙地喚醒了學生“平均分”的經(jīng)驗，為學生初步認識分數(shù)做好了鋪墊。同時，隨著問題的發(fā)展，學生的思維視角能從“自然數(shù)”中突圍，實現(xiàn)了由自然數(shù)到分數(shù)的和諧過渡。

[案例2]探索與建構(gòu)

（1）直觀感知，初步認識

①引導：我們把蛋糕平均分成了幾份？“一半”是其中的幾份？

揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用1/2來表示。

②追問：這一份（指2份中的1份）是蛋糕的1/2，另一份（指2份中的另1份）呢？

小結(jié)：把一個蛋糕平均分成2份，每份都是它的1/2。

（2）動手操作，深化認識

①出示一張長方形紙，引導學生思考：怎樣表示它的1/2呢？

②出示操作要求：先折一折，再把它的1/2涂上顏色。

③在學生表示出長方形紙的1/2后，組織學生交流各自的表示方法。

④深究：折法不同，涂色部分的形狀也不同，為什么涂色部分都是長方形的1/2？

小結(jié)：不管怎樣對折，只要平均分成2份，每份都是長方形的1/2。

（3）觀察判斷，拓展認識

出示如圖1所示四個圖形，引導學生思考：下列圖形中，哪些圖形的涂色部分可以用1/2表示？

圖1

小結(jié)：只有把一個圖形平均分成2份，每份才是這個圖形的1/2。

教師在教學1/2時如此濃墨重彩、層層推進，其意圖在于：這樣認識1/2，學生便可以很好地建構(gòu)分數(shù)的概念，從而形成較強的知識遷移能力，為自主認識其他的幾分之一做好鋪墊。在每一層次的教學中，教師讓學生反復理解“把一個物體平均分成2份，每份就是這個物體的1/2”，這里的“2份”和“每份”都是學生已經(jīng)熟識的自然數(shù)，能借助自然數(shù)幫助學生理解1/2，是教師對三年級學生思維水平有了準確把握。

2．分數(shù)的意義教學要從單位“1”的意義建構(gòu)著手

“分數(shù)的意義”這一課的主要特點是：（1）單位“1”變成了一些物體；（2）正式定義分數(shù)，用規(guī)范化的數(shù)學語言建構(gòu)分數(shù)的意義。

教學時，重點突出單位“1”的抽象性，通過建構(gòu)分數(shù)的“面積模型”“集合模型”和“數(shù)線模型”，使學生理解單位“1”作為標準量和單位量的內(nèi)涵；不僅要學生用形式化和規(guī)范化的數(shù)學語言表達對分數(shù)意義的認識，更應(yīng)引導學生深入建構(gòu)每一個具體分數(shù)的意義。課堂結(jié)構(gòu)一般為：（1）回顧面積模型（一個物體）；（2）建立集合模型（一些物體）；（3）感受數(shù)線模型（分數(shù)的本質(zhì)）；（4）深化對分數(shù)意義的理解。

[案例3]分數(shù)的“面積模型”→“集合模型”

師（往學生面前一站）：認識張老師嗎？能用自然數(shù)來表示張老師嗎？

生1：用“1”表示。（板書：1）

師：除了人以外，還有什么也可以用“1”來表示呢？

生2：一個班級也能用“1”來表示。

師：這時候的“1”和我們一年級的“1”一樣嗎？

生3：一年級的“1”表示的是一個代號，這時候的“1”是一個整體。

師：3個蘋果能用“1”嗎？怎么能讓3個蘋果看起來就是“1”？

生4：放在一個盤子里。

師：把3個蘋果看作一個整體，就能看成“1”。

師：那6個、9個、18個蘋果……也能看成“1”嗎？

生5：能。

師：一旦把3個蘋果看作“1”，那6個蘋果應(yīng)該看作幾？

生6：2。3 個蘋果是“1”，6 是 2 個“1”，就是“2”。

師（出示12個蘋果）：有4個這樣的“1”，就是幾？

生7：4。

師：有5個這樣的“1”，一共是幾個蘋果？

生8：15 個。

師：3個蘋果看成的“1”就成了一個計量單位。在數(shù)學上，可以稱作單位“1”。

單位“1”的含義應(yīng)建立在對“1”（面積模型）的理解上，因此教師由表示一個物體的自然數(shù)1引入，過渡到可以表示一些物體（集合模型）組成的整體的自然數(shù)“1”，“1”的內(nèi)涵獲得了一次重要的拓展和提升。那么如何幫助學生實現(xiàn)由“1”向單位“1”的實質(zhì)性跨越？教師將學生置身于實際計量的數(shù)學活動中，讓學生通過觀察和比較認識到，無論把什么看作“1”，只要包括幾個這樣的“1”，就可以用“幾”來表示，豐富了學生對單位“1”內(nèi)涵的認識。

[案例4]建構(gòu)分數(shù)的數(shù)線模型

師（在學生認識了3/4后，出示數(shù)軸）：你能在數(shù)軸上找到3/4嗎？

生1：把0～1之間的線段平均分成4份，取其中的3份，就是3/4。

師（出示圖2）：1/4和2/4都能在這上面找到位置。那2在哪里？

圖2

生2：把數(shù)軸延長，在2個“1”這么長的地方，就是2。

師：如果不滿單位“1”，就用分數(shù)來表示，如果滿了單位“1”，有幾個單位“1”就是幾。

師（在學生認識了更多分數(shù)后）：認識了這些分數(shù)的含義，那它們在剛才的數(shù)軸上也能找到相應(yīng)的位置嗎?如果我們還是把0到1這一段看作單位“1”（出示圖3），1/3又該如何表示呢?

圖3

生3：很簡單!只要把它平均分成3份，再表示出這樣的1份就行了。

師：既然1/3表示的就是0到這里的一段，有時我們就直接用這一個點（指第一個三等分點）來表示1/3。

師：既然這樣，那2/5、5/8又分別在什么位置呢?在自己的作業(yè)紙上找一找、標一標。

三年級學習分數(shù)，是建立在面積模型（部分-整體）的維度上，但隨著分數(shù)學習的不斷深入，在五年級就應(yīng)該讓學生體會到分數(shù)的集合模型和數(shù)線模型，實現(xiàn)由分數(shù)的無量綱性到有量綱性轉(zhuǎn)變。上述片段中，教師在學生認識3/4的同時，借助數(shù)軸這個載體，通過將3/4納入數(shù)軸體系，使學生直觀地認識到，和1、2、3等自然數(shù)一樣，分數(shù)同樣可以在數(shù)軸上找到相應(yīng)的位置。隨后教師又進一步引導學生認識1/3、2/5、5/8等分數(shù)，建構(gòu)每一個分數(shù)的含義，在數(shù)軸上找到這些分數(shù)相應(yīng)的位置，這是將分數(shù)的集合模型上升到數(shù)線模型，在抽象層面上建構(gòu)起一般分數(shù)的意義。

三、細回味，滿樹幽香，教材研讀味無窮

蘇軾曾語：“博觀而約取，厚積而薄發(fā)?！边@句話對于數(shù)學教學同樣適用。只有通過別人的實踐和自己的親身體驗，去蕪存精、去偽存真，才能獲取有價值的知識。

1．博觀而約取，領(lǐng)會知識內(nèi)涵

教材研讀要著眼于對文本內(nèi)涵的挖掘，從而抓住知識的本質(zhì)。張奠宙教授說過：“數(shù)學教學設(shè)計的核心是如何體現(xiàn)‘數(shù)學的本質(zhì)’‘精中求簡’‘返樸歸真’，呈現(xiàn)數(shù)學特有的‘教育形態(tài)’，使得學生高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會和體驗數(shù)學的價值和魅力?！币虼?，在教學之前，教師首先要明確教材在教學中的重要性，深入探究知識的本質(zhì)。

2．厚積而薄發(fā)，發(fā)展深度課堂

教師在領(lǐng)會知識的內(nèi)涵后，才能更好地梳理教學體系，把教材中零碎的數(shù)學知識進行歸類，明確知識在體系中的地位，分析不同學段的教學要求，確定每節(jié)課的具體目標，并且落實到位。

教師用數(shù)學的魅力，輕輕地打開學生心靈的窗戶，讓學生可以洞察這門學科的奧秘。這一切，正是因為教師有了知識“博觀”——對文本的多角度理解，課前“厚積”——能在不斷變化的課堂情境中以不同的教法解讀教材，學生才能自然地理解數(shù)學知識，感受數(shù)學思想方法，走向有深度的課堂。

綜上所述，一名優(yōu)秀教師的成長不是靠華麗的教學設(shè)計，而是得益于他們對教材的深刻解讀。我們想要教得清楚，想要學生學得到位，就要在尊重與學習教材的基礎(chǔ)上深入理解教材，弄清教材內(nèi)容前后的聯(lián)系，領(lǐng)會教材中每一個知識點呈現(xiàn)的意圖，使學生獲得更深、更廣、更高效的知識。