光滑接觸條件下非圓形有壓隧洞應(yīng)力及位移解析解

，，

(華北電力大學(xué) 水電與巖土工程研究所，北京 102206)

1 研究背景

由Muskhelishvili[1]提出的平面彈性復(fù)變函數(shù)方法是一種可以計(jì)算隧洞圍巖及襯砌中的應(yīng)力及位移的解析方法，利用這種方法可以較容易地獲得無(wú)支護(hù)復(fù)雜洞形隧洞的應(yīng)力和位移解[3-6]。但是在實(shí)際應(yīng)用中，為了保證隧洞的安全，防止圍巖的失穩(wěn)破壞，常常需要在隧洞周邊設(shè)置襯砌支護(hù)，所以研究帶支護(hù)的深埋隧洞問(wèn)題更具有實(shí)際意義。Wang等[7]在2009年獲得了單個(gè)圓洞與環(huán)形襯砌相互作用的深埋隧洞的應(yīng)力和位移解;Lu等[8]在2011年求解了考慮支護(hù)滯后過(guò)程的圓洞和環(huán)形襯砌相互作用深埋有壓隧洞問(wèn)題，他們都是將問(wèn)題簡(jiǎn)化為無(wú)限域內(nèi)的平面應(yīng)變問(wèn)題求解。對(duì)于較復(fù)雜的非圓形隧洞封閉式支護(hù)的問(wèn)題，2014年文獻(xiàn)[9-10]根據(jù)襯砌內(nèi)邊界的應(yīng)力邊界條件及圍巖與襯砌接觸面上的應(yīng)力和位移連續(xù)條件，分別利用柯西積分解法和冪級(jí)數(shù)解法求解了隧洞和襯砌的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。

在解決帶支護(hù)的深埋隧洞問(wèn)題時(shí)，上述研究成果在求解過(guò)程中都認(rèn)為圍巖與襯砌之間的接觸為完全接觸。然而，在隧道施工過(guò)程中，由于襯砌澆筑時(shí)壓力不足或者圍巖與襯砌之間的剛度相差較大時(shí)，圍巖和襯砌之間就不滿足完全接觸的條件。文獻(xiàn)[11]在求解帶襯砌的深埋非圓形隧洞問(wèn)題時(shí)，就假定圍巖與襯砌之間的接觸為完全光滑接觸的情形，并利用冪級(jí)數(shù)解法獲得了隧洞和襯砌的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，并且得出了光滑接觸條件下襯砌內(nèi)邊界的最大切向應(yīng)力較完全接觸條件小的結(jié)論。完全光滑是指當(dāng)圍巖和襯砌產(chǎn)生滑動(dòng)時(shí)，法向的正應(yīng)力和位移是連續(xù)的，切向的剪切應(yīng)力也連續(xù)且為0。但切向的位移可以是不連續(xù)的，也就是說(shuō)接觸界面上的應(yīng)力矢量和法向位移滿足連續(xù)條件，但可以允許圍巖與襯砌之間產(chǎn)生滑動(dòng)。同時(shí)，文獻(xiàn)[9]引用位移釋放系數(shù)η模擬襯砌的支護(hù)滯后過(guò)程，η可由支護(hù)斷面和掌子面之間的距離來(lái)確定[12-13]。

圖1 地應(yīng)力和內(nèi)水壓力 共同作用下的非圓形隧洞Fig.1 A non-circular tunnel subjected to in- situ stress and internal water pressure

不管是完全接觸還是光滑接觸，目前的復(fù)雜洞型都沒(méi)有考慮隧洞內(nèi)部的內(nèi)水壓力。實(shí)際上，深埋水工隧洞在工程實(shí)際中的應(yīng)用十分廣泛，比如引黃入晉工程南于線7號(hào)隧洞最大埋深近400 m，錦屏二級(jí)水電站引水隧洞最大埋深更是達(dá)到了2 400 m，所以求解有內(nèi)水壓力的深埋隧洞問(wèn)題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本文將在平面應(yīng)變假定的前提下，利用復(fù)變函數(shù)方法，求解襯砌與圍巖光滑接觸且隧洞內(nèi)有內(nèi)水壓力時(shí)非圓形水工隧洞(圖1)的應(yīng)力和位移解。

2 求解的基本原理及方程

2.1 圍巖和襯砌的應(yīng)力及位移分量求解

在進(jìn)行地下非圓形隧洞封閉式支護(hù)的應(yīng)力計(jì)算時(shí)，通常把圍巖與支護(hù)的相互作用視為彈性理論的平面接觸問(wèn)題，此時(shí)的整體式支護(hù)可當(dāng)作鑲嵌于彈性無(wú)限體內(nèi)的環(huán)狀彈性體。對(duì)于本文提出的問(wèn)題，使用復(fù)變函數(shù)解法中的保角變換方法進(jìn)行應(yīng)力分析，該方法通過(guò)引進(jìn)映射函數(shù)z=ω(ζ)，將物理平面(z平面)上形狀比較復(fù)雜的支護(hù)橫斷面變換到象平面(ζ平面)上邊界形狀比較簡(jiǎn)單的圓環(huán)區(qū)域。將z平面上的隧洞外部映射到ζ平面上的圓外域時(shí)，其映射函數(shù)的普遍形式可用式(1)表示[2]。

(1)

式中R,ck為復(fù)常數(shù)，限制孔型大小和形狀。

圍巖和襯砌上的應(yīng)力組合表達(dá)式為[14-15]：

(2)

ω″(ζ)φ′(ζ)]/[ω′(ζ)]2} 。

(3)

式中:σx，σy，τxy為直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量；i為虛數(shù)單位；Re為求實(shí)部；符號(hào)“—”代表共軛；φ0(z)，ψ0(z)是圍巖或者襯砌在z平面的2個(gè)解析函數(shù)，通過(guò)式(1)的映射函數(shù)可以求得在ζ平面內(nèi)以ζ為自變量的2個(gè)解析函數(shù)，即：

(4)

(5)

同時(shí)，圍巖和襯砌上的位移分量的表達(dá)式(也是位移邊界條件的表示式)[14]為

(6)

式中：G為剪切模量；κ=3-4μ,μ為泊松比；u,v分別為x,y方向的位移分量。

本文為了能夠考慮光滑接觸條件，采用正交曲線坐標(biāo)系下的應(yīng)力和位移分量，由式(2)、式(3)可以得出在z平面內(nèi)正交曲線坐標(biāo)系下的應(yīng)力和位移分量[14]。其中，應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換可以利用彈性力學(xué)中的轉(zhuǎn)軸公式求得,即

(7)

τxysin(2α) ;

(8)

式中σρ，σθ，τρθ為z平面內(nèi)正交曲線坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。

因此有：

σθ+σρ=σx+σy,

(10)

σθ-σρ+2iτρθ=(σy-σx+2iτxy)e2iα。

(11)

式中 e為自然指數(shù)， e2iα=cos(2α)+isin(2α)即歐拉公式。

其中，

(12)

最終得到：

(13)

(14)

位移分量的表達(dá)式為

(15)

式中uρ,uθ分別為z平面內(nèi)正交曲線坐標(biāo)系下法向和切向位移分量。

2.2 圍巖和襯砌的解析函數(shù)形式

在2.1節(jié)中已經(jīng)得出了用2個(gè)解析函數(shù)φ(ζ)和ψ(ζ)表示的圍巖和襯砌在正交曲線坐標(biāo)系下應(yīng)力和位移分量的表達(dá)式。因此，要求得圍巖和襯砌的應(yīng)力和位移分量，必須先求得圍巖和襯砌各自對(duì)應(yīng)的2個(gè)解析函數(shù)。

隧洞在開(kāi)挖完成到穩(wěn)定之前，假設(shè)沒(méi)有支護(hù)，圍巖會(huì)完成相應(yīng)的位移，此時(shí)圍巖對(duì)應(yīng)的解析函數(shù)為φ1(ζ)，ψ1(ζ)。本文考慮支護(hù)滯后的隧洞開(kāi)挖過(guò)程，隧洞位移完成最大位移的η(0≤η≤1)倍后進(jìn)行支護(hù)，圍巖和襯砌相互作用，在襯砌單獨(dú)作用下，圍巖對(duì)應(yīng)的解析函數(shù)為φ2(ζ)，ψ2(ζ)。φ3(ζ)，ψ3(ζ)則是圍巖對(duì)襯砌作用后，襯砌對(duì)應(yīng)的解析函數(shù)。

圍巖開(kāi)挖后未支護(hù)時(shí)圍巖的解析函數(shù)φ1(ζ)，ψ1(ζ)的表達(dá)式為[2]：

(16)

(17)

考慮支護(hù)滯后的過(guò)程時(shí)，將z平面上圍巖映射到ζ平面單位圓的圓外域，所以φ2(ζ)，ψ2(ζ)只有負(fù)冪次項(xiàng)，它們可表示為：

(18)

(19)

式中bk，dk是待求常數(shù)。

將z平面上襯砌映射到ζ平面的圓環(huán)內(nèi)，所以φ3(ζ)，ψ3(ζ)既有正冪次項(xiàng)，也有負(fù)冪次項(xiàng)，它們可表示為：

φ3(ζ)=e0+e1ζ-1+…+enζ-n+…+f1ζ1+…+

(20)

ψ3(ζ)=g0+g1ζ-1+…+gnζ-n+…+h1ζ1+…+

(21)

式中ek，fk，gk，hk是待求常數(shù)。

若支護(hù)結(jié)構(gòu)也關(guān)于x軸對(duì)稱，則bk，dk，ek，fk，gk，hk都是待求的實(shí)常數(shù)。這些常數(shù)應(yīng)根據(jù)邊界L1上的應(yīng)力邊界條件和L2上的光滑接觸條件求得。

2.3 求解圍巖和襯砌解析函數(shù)的基本方程

利用L1上的應(yīng)力邊界條件和L2上的光滑接觸條件，可以獲得求解φ2(ζ)，ψ2(ζ)和φ3(ζ)，ψ3(ζ)的基本方程。

在圍巖和襯砌的接觸面上，根據(jù)法向位移連續(xù)條件，可以得到

(22)

(23)

式中：κ1=3-4μ1；G1=E1/[2(1+μ1)]；E1和μ1分別是巖體的楊氏模量和泊松比。

(24)

(25)

式中：κ2=3-4μ2；G2=E2/[2(1+μ2)]；E2和μ2分別是支護(hù)材料的楊氏模量和泊松比。

(26)

在接觸面上ζ=σ。

在圍巖和襯砌的接觸面上圍巖的法向應(yīng)力和襯砌的法向應(yīng)力相等，圍巖的剪應(yīng)力和襯砌的剪應(yīng)力也相等，在ζ平面上其應(yīng)力連續(xù)條件可表示為

(27)

式中σ=ρeiθ，ρ=1，θ為ζ平面上的極角。

同時(shí)，在接觸面上圍巖和襯砌為完全光滑接觸，所以它們的剪應(yīng)力不僅是連續(xù)的，且應(yīng)該都為0。由此，根據(jù)應(yīng)力邊界條件在z平面用正交曲線坐標(biāo)系下的分量來(lái)表示的另一種形式[14]，在邊界上給出σρ=N，τρθ=T，其中N，T是ρ，θ的函數(shù)，則

2(Ν-iT)=2σρ-2iτρθ=σρ+σθ-

(σθ-σρ+2iτρθ)。

(28)

由此可得

(29)

(30)

式中Im為求虛部。

將襯砌內(nèi)邊界L1映射到ζ平面上圓環(huán)內(nèi)邊界γ1，其應(yīng)力邊界條件的復(fù)變函數(shù)表示為

(31)

式中Xn,Yn為x和y方向的面力的合力。同時(shí)，應(yīng)力邊界條件在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式為

Xn=lσx+mτxy;

(32)

Yn=lτxy+mσy。

(33)

當(dāng)襯砌內(nèi)邊界作用內(nèi)水壓力Ps時(shí)，σx=σy=Ps(規(guī)定以壓為正)，τxy=0，代入式(32)、式(33)可得：

(34)

(35)

式中l(wèi),m分別為外法線的方向余弦。

由此可得

Psω(σ1)+常數(shù) 。

(36)

將式(36)代入式(31)可得襯砌內(nèi)邊界L1在靜水壓力Ps作用下在ζ平面上的應(yīng)力邊界條件,即

(37)

在襯砌內(nèi)邊界上σ1=R0σ(R0為根據(jù)映射函數(shù)得出的控制襯砌厚度的實(shí)數(shù))，代入式(37)，則得

Psω(R0σ)。

(38)

至此，我們獲得了求解φ2(ζ)，ψ2(ζ)，φ3(ζ)，ψ3(ζ)的基本方程，即式(26)、式(27)、式(30)、式(38)。

2.4 圍巖和襯砌解析函數(shù)的求解過(guò)程

本文使用冪級(jí)數(shù)解法求解φ2(ζ)，ψ2(ζ)，φ3(ζ)，ψ3(ζ)，取級(jí)數(shù)為有限項(xiàng)，令式(18)—式(21)中的最高次冪為N。這樣b0，d0，e0，g0，bk，dk，ek，fk，gk，hk(k=1,2,…,N)就一共有6N+4個(gè)未知量待求。

(39)

因?yàn)棣襧和σ-j的虛部只差一個(gè)負(fù)號(hào)，這樣就可以列出N個(gè)方程。

(40)

(41)

最后，因支護(hù)對(duì)圍巖的影響隨著ζ的增大而減小，當(dāng)ζ→時(shí)(對(duì)應(yīng)z平面無(wú)窮遠(yuǎn)處)，則由式(15)可得

(42)

κ1b0-d0=0 。

(43)

這樣再加上由式(26)列出的N+1個(gè)方程，一共就得到6N+4個(gè)方程，編寫(xiě)程序求解計(jì)算出b0，d0，e0，g0，b1,…,bN,d1,…,dN，e1,…,eN,f1,…,fN，g1,…,gN，h1,…,hN這些待求的未知量，從而可以確定φ2(ζ)，ψ2(ζ)和φ3(ζ)，ψ3(ζ)這些解析函數(shù)。

3 圍巖和襯砌的應(yīng)力和位移求解

3.1 圍巖和襯砌應(yīng)力的求解

在確定了φ2(ζ)，ψ2(ζ)和φ3(ζ)，ψ3(ζ)以后，可以求解圍巖和襯砌的應(yīng)力和位移。

用φ3(ζ)，ψ3(ζ)代入式(13)、式(14)可以求得襯砌內(nèi)的應(yīng)力。在求解圍巖的應(yīng)力時(shí)需要同時(shí)考慮沒(méi)開(kāi)挖隧洞之前圍巖所對(duì)應(yīng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)，支護(hù)前開(kāi)挖隧洞對(duì)圍巖造成的影響以及襯砌對(duì)圍巖的影響，這樣，式(4)、式(5)中的φ(ζ)和ψ(ζ)就可以分別表示為:

(44)

(45)

再將φ(ζ)和ψ(ζ)代入式(13)、式(14)就得到圍巖內(nèi)的應(yīng)力。

3.2 圍巖和襯砌位移的求解

支護(hù)后，襯砌的位移uρL,uθL可直接根據(jù)式(25)求出，圍巖的位移uρR,uθR可根據(jù)式(46)求出,即

(46)

4 算例和分析

以直墻半圓拱形隧洞為例，襯砌厚度為1 m，取n=8，所求得的映射函數(shù)為[16]

z=ω(ζ)=7.545 61(ζ-0.074 99+0.120 76ζ-1+

0.045 36ζ-2-0.065 13ζ-3+0.020 83ζ-4+0.001 18ζ-5-

0.002 85ζ-6-0.000 96ζ-7-0.002 21ζ-8)。

(47)

由式(47)可知：R=7.545 61，c0=-0.074 99，c1,…,c8等于ζ負(fù)冪次項(xiàng)前面的系數(shù)，所求得的R0=0.885 69。給定的計(jì)算參數(shù)為E1=20 GPa ，E2=30 GPa，μ1=μ2=0.2，P=10 MPa，Q=5 MPa，即側(cè)壓力系數(shù)λ=0.5，內(nèi)水壓力Ps=1 MPa。

當(dāng)?shù)貞?yīng)力分量P，Q為壓應(yīng)力，若計(jì)算時(shí)所輸入的值為正值，則為正值的σρ，σθ表示壓應(yīng)力，為負(fù)值時(shí)表示為拉應(yīng)力。直墻半圓拱形隧洞以x軸為對(duì)稱軸，取θ=[0°，180°]作圖，θ=0°對(duì)應(yīng)直墻半圓拱隧洞拱頂，θ=180°對(duì)應(yīng)隧洞底板中點(diǎn)。

4.1 計(jì)算精度檢驗(yàn)

取N=100來(lái)求解方程，可以得到較好的結(jié)果。在檢驗(yàn)襯砌內(nèi)邊界的應(yīng)力邊界條件時(shí)，我們?nèi)∥灰漆尫畔禂?shù)η=0.2。因?yàn)槲灰漆尫畔禂?shù)η=1時(shí)，圍巖與襯砌之間沒(méi)有相互作用，所有的邊界條件都能精確滿足，不需要進(jìn)行討論。η的值越小，圍巖與襯砌之間的作用力越大，所以這里取η=0.2，對(duì)邊界條件的滿足程度進(jìn)行檢驗(yàn)。

在襯砌內(nèi)邊界ρ=R0上，若σρ=Ps，τρθ=0，則可以精確滿足L1上的應(yīng)力邊界條件，其結(jié)果如圖2(a)所示。

圖2 計(jì)算精度檢驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Verification of calculation accuracy

同時(shí)，為了驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性，本文應(yīng)用ANSYS有限元軟件對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了求解。在計(jì)算過(guò)程中，利用PLANE42單元模擬圍巖和襯砌單元。同時(shí)，依靠ANSYS軟件中的“面—面”接觸方式實(shí)現(xiàn)圍巖和襯砌的接觸，將襯砌表面通過(guò)網(wǎng)格劃分分裂成目標(biāo)單元TARGE169，并與圍巖表面的接觸單元CONTA171共享同一個(gè)實(shí)常數(shù)號(hào)形成一組接觸對(duì)，由于本文求解的是完全光滑的接觸問(wèn)題，在關(guān)鍵字選項(xiàng)KEYOPT(12)中應(yīng)選擇2表示允許有相對(duì)滑動(dòng)，且設(shè)置2種材料的摩擦系數(shù)為0。

圖3 ANSYS荷載施加及邊界條件示意圖Fig.3 Schematic diagram of load application and boundary conditions in ANSYS

為了考慮時(shí)間效應(yīng)來(lái)模擬支護(hù)滯后的過(guò)程，本文將采用由Dancan等提出的“反轉(zhuǎn)應(yīng)力釋放法”，假設(shè)己知荷載釋放系數(shù)，通過(guò)公式與初始條件計(jì)算求得開(kāi)挖后的等效節(jié)點(diǎn)荷載[17]，根據(jù)釋放荷載的大小來(lái)模擬支護(hù)滯后過(guò)程，在彈性狀態(tài)下，位移釋放系數(shù)與應(yīng)力釋放系數(shù)呈線性關(guān)系。假設(shè)當(dāng)位移釋放了0.2倍的完全自由位移后施加襯砌約束圍巖變形，則可知等效釋放荷載也相應(yīng)的釋放了0.2倍荷載值，剩余0.8倍荷載作用在襯砌上使襯砌與圍巖發(fā)生相互作用。而圍巖開(kāi)挖邊界的最終應(yīng)力則需要依靠再疊加初始的原始應(yīng)力及釋放0.2倍等效荷載時(shí)對(duì)圍巖產(chǎn)生的應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算。

如圖3所示，所取的模型外邊界為120 m，開(kāi)挖的直墻半圓拱隧洞高為16 m，在A點(diǎn)施加x和y方向的點(diǎn)約束，在B點(diǎn)施加x方向的點(diǎn)約束，在襯砌內(nèi)邊界施加1 MPa的面荷載，計(jì)算出的等效節(jié)點(diǎn)荷載加載在接觸面的節(jié)點(diǎn)上。

所得數(shù)值解結(jié)果和解析解的對(duì)比如圖4所示。從圖4可以得出，襯砌內(nèi)外邊界、圍巖開(kāi)挖邊界的切向應(yīng)力以及接觸面上的法向應(yīng)力的數(shù)值解和解析解結(jié)果幾乎完全相等，證明了本文所得結(jié)果的正確性。

圖4 數(shù)值解和解析解對(duì)比Fig.4 Comparison between numerical andanalytical solutions

4.2 襯砌和圍巖應(yīng)力的討論

考慮不同參數(shù)對(duì)襯砌和圍巖應(yīng)力變化的影響，本文選取不同的側(cè)壓力系數(shù)，不同的位移釋放系數(shù)以及不同的內(nèi)水壓力進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析。首先選取一組不同的側(cè)壓力系數(shù)λ=0.5，1.0，1.5，2.0，η=0.2，其余參數(shù)不變化，所得到的結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同側(cè)壓力系數(shù)下隧洞各邊界應(yīng)力分布(η=0.2)Fig.5 Stress distribution along the boundaries under different lateral pressures λ(η=0.2)

由圖5我們可以看出：①直墻半圓拱形隧洞襯砌內(nèi)外邊界和開(kāi)挖邊界上的切向應(yīng)力以及接觸面上的法向應(yīng)力都在隧洞底部的拐角附近達(dá)到最大值；②當(dāng)λ=2.0時(shí)，襯砌外邊界的切向應(yīng)力在拐角處出現(xiàn)了拉應(yīng)力，開(kāi)挖邊界切向應(yīng)力在側(cè)墻處出現(xiàn)了較小的拉應(yīng)力；③襯砌內(nèi)邊界的切向應(yīng)力和接觸面上的徑向應(yīng)力基本隨著λ的增大而逐漸增大；④襯砌內(nèi)外邊界的切向應(yīng)力隨著λ的增大,變化趨勢(shì)越來(lái)越顯著；⑤襯砌內(nèi)邊界的切向應(yīng)力和接觸面上的法向應(yīng)力在側(cè)墻處變化較小，而在拐角處變化較大；襯砌外邊界的應(yīng)力在側(cè)墻處變化較大，在拐角處變化較小。

再考慮不同的位移釋放系數(shù)對(duì)應(yīng)力變化的影響，取η=0.2，0.4，0.6，0.8，λ=0.5，其余參數(shù)不變，得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同位移釋放系數(shù)下隧洞各邊界應(yīng)力分布(λ=0.5)Fig.6 Stress distribution along the boundaries under different values of displacement release coefficient

由圖6我們可以看出：①同樣是在直墻半圓拱形隧洞的底部拐角附近出現(xiàn)應(yīng)力集中；②隨著位移釋放系數(shù)的增大，襯砌內(nèi)外邊界上的切向應(yīng)力和接觸面上的法向應(yīng)力都變小，而開(kāi)挖邊界上的切向應(yīng)力變化不大；③襯砌外邊界在拐角附近的切向應(yīng)力為拉應(yīng)力；當(dāng)η=0.8時(shí)，襯砌內(nèi)邊界的切向應(yīng)力也為拉應(yīng)力。

最后，取不同的內(nèi)水壓力Ps=1.0，2.0，3.0，4.0 MPa，側(cè)壓力系數(shù)λ=0.5，位移釋放系數(shù)η=0.2，其余參數(shù)不變，得到圍巖和襯砌的應(yīng)力如圖7所示。

圖7 不同內(nèi)水壓力下隧洞各邊界應(yīng)力分布(λ=0.5，η=0.2)Fig.7 Stress distribution along the boundaries under different values of internal water pressure(λ=0.5，η=0.2)

由圖7可以看出：①襯砌內(nèi)外邊界和開(kāi)挖邊界上的切向應(yīng)力隨著內(nèi)水壓力的增加而逐漸減小，而接觸面上法向應(yīng)力隨著內(nèi)水壓力的增加而逐漸增加；②襯砌內(nèi)邊界和開(kāi)挖邊界的切向應(yīng)力在拐角附近變化較大，在側(cè)墻處變化較小，而接觸面上的法向應(yīng)力則在拐角附近變化較小，在其他地方變化劇烈；③襯砌外邊界在拐角附近出現(xiàn)切向的拉應(yīng)力，而當(dāng)內(nèi)水壓力達(dá)到3.0 MPa時(shí)，襯砌內(nèi)邊界也會(huì)出現(xiàn)切向拉應(yīng)力。

5 結(jié) 論

本文利用平面應(yīng)變假定求解了襯砌與圍巖光滑接觸且隧洞內(nèi)作用有內(nèi)水壓力時(shí)非圓形水工隧洞的應(yīng)力和位移解，并且考慮了支護(hù)滯后的力學(xué)過(guò)程。利用冪級(jí)數(shù)解法求解了直墻半圓拱形隧洞各邊界的應(yīng)力和位移分布，所得結(jié)果能很好地滿足應(yīng)力邊界條件以及應(yīng)力和位移的連續(xù)條件。通過(guò)與ANSYS數(shù)值軟件所得結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)達(dá)到100項(xiàng)時(shí)，數(shù)值解和解析解能較好地吻合，證明了該方法和計(jì)算過(guò)程的正確性。還討論了不同位移釋放系數(shù)、側(cè)壓力系數(shù)和內(nèi)水壓力下圍巖與襯砌內(nèi)的應(yīng)力分布規(guī)律。

(1)襯砌內(nèi)邊界的切向應(yīng)力和接觸面上的法向應(yīng)力基本隨著側(cè)壓力系數(shù)λ的增大而逐漸增大，側(cè)壓力系數(shù)過(guò)大，會(huì)在襯砌邊界出現(xiàn)切向的拉應(yīng)力。

(2)位移釋放系數(shù)η的增大對(duì)開(kāi)挖邊界的切向應(yīng)力影響不大，襯砌內(nèi)外邊界的切向應(yīng)力都隨著η的增大而減小，η過(guò)大會(huì)使襯砌內(nèi)邊界出現(xiàn)切向的拉應(yīng)力。

(3) 隨著內(nèi)水壓力的增加，襯砌內(nèi)外邊界和開(kāi)挖邊界上的切向應(yīng)力而逐漸減小，但是當(dāng)內(nèi)水壓力>3.0 MPa時(shí)，襯砌內(nèi)外邊界的切向應(yīng)力都為拉應(yīng)力。由于內(nèi)水壓力的方向是法向的，因此接觸面上的法向應(yīng)力隨著內(nèi)水壓力的增大而增大。

(4) 圍巖開(kāi)挖邊界的切向應(yīng)力基本都為壓應(yīng)力，僅有λ=2.0時(shí)，在側(cè)墻處出現(xiàn)了很小的拉應(yīng)力，且都在洞底拐角處出現(xiàn)較大的應(yīng)力集中。

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