金建偉
摘要:作為低壓供電系統(tǒng)中的組成部分之一,低壓成套開關(guān)設(shè)備具有十分重要的作用。不僅要通過其實現(xiàn)對電能的控制與保護,還要經(jīng)其來對電能進行轉(zhuǎn)換以分配。當(dāng)前在對低壓成套開關(guān)設(shè)備進行維修時多實用計劃維修的方式,即不論其是否有故障現(xiàn)象發(fā)生,一旦設(shè)備運行時間到達預(yù)先設(shè)定的周期就要進行停機檢修。雖然這種檢修方式可起到一定的效果,但是由于這種計劃性的檢修并未切實根據(jù)實際情況來制定,且針對性也不強,不可避免就會出現(xiàn)不及時維修的現(xiàn)象,并進而導(dǎo)致系統(tǒng)停止運行。因此若假設(shè)可對其壽命提前進行預(yù)測,并在預(yù)測結(jié)果的基礎(chǔ)上制定出相應(yīng)可行的維護與檢修計劃,不僅可以實現(xiàn)對設(shè)備的及時維修,還能避免因計劃檢修而帶來的電力系統(tǒng)中斷情況。本文就是在此基礎(chǔ)上從威布爾分布理論出發(fā),結(jié)合使用多種方法實現(xiàn)了對設(shè)備壽命的提前預(yù)測。
關(guān)鍵詞:低壓成套開關(guān)設(shè)備;維護檢修;壽命預(yù)測;威布爾分布
引言
低壓成套開關(guān)設(shè)備在經(jīng)歷長時間運行后不可避免會出現(xiàn)一些故障問題,如不能提前將故障予以解決,將或?qū)е聡?yán)重后果。因此在低壓電力系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)過程中要做好對低壓成套開關(guān)設(shè)備的日常維護與檢修工作。
威布爾分布模型自出現(xiàn)以來已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多個領(lǐng)域中,并且是當(dāng)前最主要的壽命分布模型之一。經(jīng)大量實踐研究表明,威布爾分布在設(shè)備中具有極為廣泛的適用性。因此為切實保障電力系統(tǒng)的正常運轉(zhuǎn),并降低設(shè)備的維護成本,本研究嘗試引入威布爾分布模型,以實現(xiàn)其壽命的預(yù)測并由此制定出合理的維修計劃。
一、威布爾分布模型
本研究中的威布爾分布模型主要包括三個參數(shù),即位置參數(shù)γ,尺度參數(shù)η以及形狀參數(shù)β。假設(shè)隨機變量為T,當(dāng)其服從于三參數(shù)的威布爾分布時,其概率密度函數(shù)f(t)的計算公式即為:
(1)
其中:γ≥0,而η、β均>0。
而累積失效概率函數(shù)F(t)的計算公式則為:
(2)
此時T的數(shù)學(xué)期望E(t)及方差Var(t)的計算公式分別為:
(3)
(4)
其中:г(·)為Gamma函數(shù)。
在上述公式中,當(dāng)γ取值為0時,威布爾分布將為二參數(shù),則此時的f(t)與F(t)的計算公式則分別為:
(5)
(6)
二、威布爾分布的參數(shù)估計方法
(一)矩估計法
假設(shè)隨機變量為T,當(dāng)其呈現(xiàn)連續(xù)型時其概率密度函數(shù)為f(t;θ1,θ2,…,θn),其中,θ1,θ2,…,θn即表示為n個待估計的參數(shù),此時若(T1,T2,…Tn)為來自總體T的樣本,則可假設(shè)總體T的前n階矩的計算公式為: (7)
當(dāng)μι存在且為θ1,θ2,…,θn的函數(shù),其中ι=1,2,…n。樣本的前n階矩Aι的計算公式為: (8)
根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)理論知識不得出,樣本矩Aι應(yīng)當(dāng)按照一定的概率收斂于相應(yīng)的總體矩μι。此時若令μι=Aι(9)
則可得出n個含有未知參數(shù)θ1,θ2,…,θn的方程,通過對這些方程求解可以得出:
(10)
此時將 作為θi(i=1,2,…,n)的估計值,即為矩估計法。這種方法的本質(zhì)就是通過使用樣本在各階的矩來對其總體的各階矩進行估計。相關(guān)文獻中曾定義威布爾分布的總體階矩μn的計算公式為:
(11)
樣本矩的n階矩An的計算公式為:
(12)
其中ti為樣本的數(shù)據(jù)取值,并且t0=0.此時若令μn=An,當(dāng)n=1,2,4,時可得出:
(13)
(14)
(15)
通過以上公式即可得出三參數(shù)威布爾分布中的各個參數(shù)的估計值 。
(二)相關(guān)系數(shù)估計法
通過對上述公式(2)進行移項處理可得出:
(16)
對公式(16)取自然對數(shù)則:
(17)
此時令
ɑ=β
則可得出:Y=ɑX+b (18)
通過上述處理即可完成對威布爾模型的線性處理,并且從理論上來講,Y與X呈現(xiàn)出嚴(yán)格的線性關(guān)系。
當(dāng)假設(shè)低壓成套開關(guān)設(shè)備的壽命數(shù)據(jù)分別為t1,t2,…tm,使用中位秩公式計算器經(jīng)驗分布函數(shù),此時當(dāng)m>20時,中位秩公式為:
(19)
而當(dāng)m≤20時,其中位秩公式則為:
(20)
進而得出:
此時即可知X與Y的相關(guān)系數(shù) 的計算公式為:
(21)
即為表示X與Y之間線性相關(guān)性的具體統(tǒng)計數(shù)據(jù),通常 的取值區(qū)間為(-1,1),并且兩者的線性相關(guān)性隨著 逐漸趨于1,其程度就越高。
由公式(21)可發(fā)現(xiàn), 為γ得到函數(shù),通過選用適宜的γ使| |得出最大值時所采用的的 即是γ的估計值。在此基礎(chǔ)上還可進一步使用最小二乘法得出β與η的估計值。
(三)灰色估計法
將上述公式(16)進行變形處理后可得出:
(22)
整理后可得出:
(23)
此時若假設(shè)c=η ɑ= b=γ
則可得出 (24)
在灰色系統(tǒng)理論中,白化方程與其方程解的時間響應(yīng)函數(shù)分別為
(25)
(26)
通過將公式(24)及(26)對比觀察發(fā)現(xiàn),兩者的形式一致。因此可使用灰色GM(1,1)模型來估計威布爾分布的參數(shù),具體方法如下:
第一,可將設(shè)備的壽命按時間先后進行數(shù)據(jù)排序,即t1,t2,…,tn。
第二,依據(jù)數(shù)量n的取值來選擇適宜的中位秩公式,并計算出分布函數(shù) 。
第三,將上述函數(shù)帶入公式 中,就可求解出xi(i=1,2,…,n)。
第四,在序列(ti,xi)基礎(chǔ)上建立灰色微分方程: ,并計算得出a與u這兩個未知參數(shù)的值,如下:
(27)
其中,
當(dāng)求解出a與u時,則可以相應(yīng)求解出威布爾分布的相關(guān)參數(shù)值, 。而 =c的可有模型的初值計算得出。
三、可靠性特征量的計算
(一)可靠度
設(shè)備的可靠度通常是指設(shè)備在約定的時間及條件下可完成預(yù)先既定功能的概率情況,在本研究中用R表示,其時間函數(shù)則記做R(t),即為可靠度函數(shù)。當(dāng)設(shè)備的壽命服從威布爾分布,其故障時間使用隨機變量T表示,其可靠度函數(shù)的計算公式為:
(28)
當(dāng)γ=0時,二參數(shù)威布爾分布下的可靠度函數(shù)為
(29)
結(jié)合公式(2)與公式(28)即可得出R(t)=1-F(t)
通過對上述可靠度函數(shù)的公式進行研究后不難看出,設(shè)備的使用時間越長,其可靠度會逐步遞減。究其原因則主要是由于隨著設(shè)備被使用時間的逐漸增加,其磨損及老化程度也會增加,并進而致使其出現(xiàn)一些故障問題,最終致使其可靠度降低。
(二)失效率函數(shù)
設(shè)備在任一時刻t的失效率,其實就是指當(dāng)設(shè)備工作到t時刻的瞬間出現(xiàn)失效現(xiàn)象的概率。因此,失效率也是時間t的函數(shù),即失效率函數(shù),通常用λ(t)表示。
根據(jù)公式
(30)
當(dāng)兩邊同時處以Δt,取其趨于0時的極限值即可得出:
(31)
假設(shè)設(shè)備服從三參數(shù)的威布爾分布,則此時的λ(t)計算公式為:
(32)
當(dāng)γ取值為0時,可得出二參數(shù)威布爾分布的失效率函數(shù),其計算公式為:
(33)
由以上λ(t)的計算公式不難看出,當(dāng)β<1時,隨著設(shè)備使用時間的增加,其失效率呈遞減趨勢,這種現(xiàn)象較適用于設(shè)備的使用初期,因此其線性表示應(yīng)為浴盆曲線的早期;而當(dāng)β=1時,設(shè)備的失效率為正常值,這時即為設(shè)備的正常試用期,其線性表示應(yīng)為浴盆曲線的偶然失效期;而當(dāng)β>1時,隨著設(shè)備使用時間的演唱,其失效率也會增加,這種現(xiàn)象適用于設(shè)備的后期階段,對應(yīng)表示為浴盆曲線的耗損失效期。綜上可知,威布爾分布具備更加靈活的特性,并且能更加形象的描述出設(shè)備在全壽命周期中的各種變化。上述浴盆曲線及為設(shè)備的失效率曲線,如下圖所示。
(三)可靠壽命
當(dāng)設(shè)備的可靠度R減小到一定值,通常0≤R≤1,這一過程所需的時間就被稱為R的可靠壽命,即為tR,兩者之間的關(guān)系式為 (34)
當(dāng)R=0.5時為設(shè)備的中位壽命,可表示為t0.5,而當(dāng)R=exp(-1)時為特征壽命,表示為t0.368.R與tR之間的關(guān)系如下圖
四、剩余壽命模型
當(dāng)假設(shè)本研究中的設(shè)備的壽命T服從三參數(shù)威布爾分布,其概率密度函數(shù)f(t)的計算公示為:
(35)
其中:
對比公式(1)與(35)可知:
則其累計失效概率 (36)
其可靠度函數(shù) (37)
當(dāng)t=ta時,T的期望與方差分別為:
(38)
(39)
當(dāng)設(shè)備處于中位壽命時, (40)
綜合公式(38)~(40)而得出的方程組,進行求解即可得出設(shè)備威布爾分布的單個參數(shù)的估計值,
假設(shè)設(shè)備在t時刻時仍可以正常使用,那么從此時直至設(shè)備宣告報廢的這段工作時間即可被稱為設(shè)備的剩余壽命。通過使用隨機變量T1表示其剩余壽命,則其分布函數(shù)則為: (41)
進一步計算可得出: (42)
而由于 (43)
(44)
則綜合公式(42)~(44)可得出:
(45)
綜合公式(37)與(45)即可得出設(shè)備的剩余壽命:
(46)
綜上,假設(shè)設(shè)備使用時間為t,其剩余壽命Tt,則設(shè)備剩余壽命的可靠為 (47)
而剩余壽命的概率密度函數(shù)則為:
(48)。
結(jié)束語
在實際的應(yīng)用過程中,工作人員即可通過使用此模型并結(jié)合設(shè)備的實際運行情況來針對制定低壓成套開關(guān)設(shè)備的維修計劃,不僅可以降低維修成本,還能使維修效率得到最大化提升。
參考文獻
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(作者單位:中國電力科學(xué)研究院有限公司)