Heisenberg群上加冪權(quán)Hardy算子的精確估計(jì)

陳國霽,董建鋒

平均算子在調(diào)和分析中起著基本性的作用,是現(xiàn)代調(diào)和分析的核心之一.Hardy算子是一類最為典型的平均算子,其中歐氏空間上Hardy算子的最佳常數(shù)問題也是學(xué)界的一個(gè)研究熱點(diǎn)[1-6].

Heisenberg群在數(shù)學(xué)和物理中都有重要應(yīng)用:在數(shù)學(xué)上,其與多復(fù)分析、表示論和偏微分方程(Fourier變換、擬微分算子)相關(guān);在物理上,其與量子力學(xué)相關(guān)[7].Wu等[8]證明了Hardy算子在Lp(Hn)函數(shù)空間的有界性,并給出了其最佳常數(shù).冪權(quán)Lp(Hn,|x|αhd x)空間也是一類重要的函數(shù)空間.本研究探討了Hardy算子在函數(shù)空間上的最佳常數(shù)及其與維數(shù)、冪權(quán)指數(shù)的關(guān)系.受Zhao等[6]的方法啟發(fā),本研究獲得了Hardy算子在Lp(Hn,|x|αhd x)的有界性和(p,p)型的最佳常數(shù),以及弱(1,1)型的最佳常數(shù)的上下界.

一維Hardy算子[9]定義為

式中,f是R+上的局部可積函數(shù).由著名的Hardy積分不等式[10]可知,

Chirst等[3]研究了Rn上的n維Hardy算子:

式中,f是非負(fù)函數(shù)和,νn是Rn中單位球的體積.同時(shí),Chirst等[3]還獲得了Hardy算子的最佳常數(shù):

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1 Hn=(R2n×R,·)稱為Heisenberg群,其中對(duì)任意x=(x1,x2,···,x2n,x2n+1),y=(y1,y2,···,y2n,y2n+1)∈ R2n×R,有

在Hn中定義伸縮δ:R+×Hn→Hn,

記為δrx.

在Hn上的測度是R2n×R上的Lebesgue測度.對(duì)于任意可測集E?Hn,E的測度記為|E|,有

式中,Q=2n+2稱為齊次維數(shù).

Hn上可以定義一個(gè)范數(shù),即

由此可以誘導(dǎo)一個(gè)如下的不變距離:

對(duì)于x∈Hn,r＞0,定義Hn上球心為x和半徑為r的開球?yàn)?/p>

其球面定義為

根據(jù)上述定義,可得

式中,νQ是Hn上單位球B(0,1)的體積,即

單位球面S(0,1)通常簡記為SQ?1,則SQ?1的面積為ωQ=QνQ[11].

定義Heisenberg群Hn上的Hardy算子如下.

定義2 令f是Hn上的局部可積函數(shù),則Hn上的n維Hardy算子定義為

式中,B(0,|x|)表示中心是原點(diǎn)、半徑為|x|的開球,|B(0,|x|)|表示開球B(0,|x|)的體積.

定義加冪權(quán)弱函數(shù)空間如下.

定義 3 令f為Hn上任意可測函數(shù),則L1(Hn,|x|αhd x)的弱空間L1,∞(Hn,|x|αhd x)由所有Hn上的函數(shù)f組成,且滿足

2 引理和定理

引理1[8]對(duì)于任意f∈Lp(Hn),令

則gf(x)是一個(gè)徑向函數(shù),且Hf(x)=Hgf(x).

引理2 設(shè)f是Hn上的非負(fù)可測函數(shù),則對(duì)于任意α∈R,有

式中,+=1,1≤p,q≤∞,并設(shè)定=0.

證明 利用廣義Minkowski不等式和H¨older不等式,可得

通過引理1和引理2,可得

因此只需考慮徑向函數(shù).

定理 1 記 ‖ ·‖Lp(Hn,|x|αhd x)→Lp(Hn,|x|αhd x) 表示算子在冪權(quán)函數(shù)空間 Lp(H n,|x|αhd x) 上的范數(shù),則Hardy算子H在Heisenberg群冪權(quán)函數(shù)空間Lp(Hn,|x|αhd x)上的主要結(jié)果如下:

(1)當(dāng)1＜p＜∞,α＜(p?1)Q時(shí),

(2)當(dāng)p=∞時(shí),

(3)當(dāng)p=1,?Q＜α＜0時(shí),

證明 (1)當(dāng)1＜p＜∞,α＜(p?1)Q時(shí),假設(shè)f∈Lp(Hn,|x|αhd x)是徑向函數(shù).利用廣義Minkowski不等式可得

因此,

另一方面,令=1,取

即

則

因此,

綜上,當(dāng)ε→0+時(shí),εε→1,并可得

因此,‖H‖Lp(Hn,|x|αhd x)→Lp(Hn,|x|αhd x)=C(p,α,Q)

(2)當(dāng)p=∞時(shí),只需令f(x)≡1即可獲得結(jié)論.

(3)當(dāng)p=1,0＜λ＜∞時(shí),有

因此,

另一方面,取 f 1(x)= χB(0,1)(x),則 ‖f 1‖L1(Hn,|x|αhd x)=且

則

因此,

由 α ＜ 0,‖f 1‖L1(Hn,|x|αhd x)=,可得

因此,

推論1 當(dāng)1＜p＜∞,α=0時(shí),C(p,α,Q)=

這一推論與Wu等[8]的結(jié)論一致.