蒙特卡羅法評(píng)定圓度測(cè)量不確定度

吳呼玲

(陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710300)

0 引言

圓度誤差是軸套類零件經(jīng)常需要檢測(cè)的形位誤差項(xiàng)目。圓度誤差測(cè)量不確定度的評(píng)定已成為測(cè)量領(lǐng)域的一個(gè)重要課題。常用的圓度測(cè)量不確定度評(píng)定方法有：①依據(jù)《測(cè)量不確定度表示指南》(guide to the expression of uncertainty in measurement，GUM)的基本原理和方法(GUM[1]法);②蒙特卡羅法[2](Monte Carlo method,MCM)。

GUM法需要根據(jù)評(píng)定方法建立誤差數(shù)學(xué)模型，首先求出誤差模型中的傳遞系數(shù)和參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)，然后根據(jù)測(cè)量不確定度合成公式進(jìn)行評(píng)定。由于圓度測(cè)量的點(diǎn)數(shù)較多，而且分為直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系兩種情況，誤差模型較為復(fù)雜，因此很難求出不確定度。

蒙特卡羅法是一種統(tǒng)計(jì)模擬的方法，使用隨機(jī)數(shù)模擬實(shí)際測(cè)量值來解決問題。該方法利用MATLAB軟件中的相關(guān)函數(shù)產(chǎn)生一組隨機(jī)數(shù)組來模擬實(shí)際測(cè)量值，求出形位誤差的測(cè)量不確定度。該方法評(píng)定結(jié)果準(zhǔn)確、操作方便、簡(jiǎn)單快捷，為測(cè)量技術(shù)領(lǐng)域和其他數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域提供了新的方法。

1 圓度誤差的最小二乘數(shù)學(xué)模型

測(cè)量圓度誤差時(shí)，以零件測(cè)量時(shí)的回轉(zhuǎn)中心O為圓心，選取兩個(gè)相互垂直的徑向線構(gòu)成直角坐標(biāo)系。圓度最小二乘模型如圖1所示。

圖1 圓度最小二乘模型Fig.1 The least squares model of roundness

在零件截面輪廓上，以等角度間隔進(jìn)行測(cè)量采樣。采樣數(shù)據(jù)為pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)。其中：xi為實(shí)際圓周上各采樣點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)值，yi為采樣點(diǎn)在y坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值。設(shè)采樣點(diǎn)的截面輪廓的最小二乘圓圓心O′的直角坐標(biāo)為O′(a,b)，最小二乘圓的半徑為R，則最小二乘圓方程為：

(x-a)2+(y-b)2=R2

(1)

式中：a、b分別為最小二乘圓圓心在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值；R為最小二乘圓的半徑。

根據(jù)實(shí)際輪廓圓上各pi點(diǎn)的直角坐標(biāo)值,求得最小二乘圓圓心坐標(biāo)a和b。

(2)

(3)

式中：n為實(shí)際輪廓等分的間隔數(shù)。

實(shí)際輪廓上的各采樣點(diǎn)pi到最小二乘圓的偏距ΔRi為：

(4)

設(shè)距離最小二乘圓心最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)分別為(xM,yM)、(xL,yL),則圓度誤差可表示為[3]：

(5)

式中：(xM,yM)為實(shí)際采樣點(diǎn)距離最小二乘圓心最遠(yuǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)；(xL,yL)為實(shí)際采樣點(diǎn)距離最小二乘圓心最近的點(diǎn)坐標(biāo)。

2 圓度測(cè)量結(jié)果不確定度評(píng)定

2.1 GUM法

要計(jì)算圓度的測(cè)量不確定度[4]，首先要確定圓度誤差模型中各參數(shù)的傳遞系數(shù)和單點(diǎn)測(cè)量不確定度。

①計(jì)算式(5)中圓度誤差模型各參數(shù)的傳遞系數(shù)[5]。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

②計(jì)算各參數(shù)測(cè)量不確定度。

實(shí)際測(cè)量中，各測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量環(huán)境是相同的，各點(diǎn)的測(cè)量不確定度也是相同的，都等于單點(diǎn)測(cè)量不確定度。a和b的不確定度可通過式(12)和式(13)求得：

(12)

(13)

式中：μ0為圓度的單點(diǎn)測(cè)量不確定度。

將推導(dǎo)出來的傳遞系數(shù)和單點(diǎn)測(cè)量不確定度代入

圓度測(cè)量不確定度評(píng)定公式[6]，即可求得圓度的測(cè)量不確定度。

(14)

2.2 蒙特卡羅法

利用蒙特卡羅偽隨機(jī)數(shù)原理，根據(jù)圓度誤差模型，產(chǎn)生服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)序列值。該序列值的期望為各參數(shù)的測(cè)量值，方差為各參數(shù)的單點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，從而得出圓度的測(cè)量不確定度[7]。

①分析不確定度來源。設(shè)定分布類型、分布區(qū)間，得出各不確定度數(shù)值。

②確定圓度誤差模型(5)中的參數(shù)：xM、xL、yM、yL、a、b的期望和方差。

③以xM、xL、yM、yL、a、b這6個(gè)參數(shù)的期望和方差，分別生成六維隨機(jī)數(shù)模擬圓度誤差的實(shí)際測(cè)量值，樣本容量取M，對(duì)其進(jìn)行圓度誤差的不確定度評(píng)定。六維隨機(jī)數(shù)分別為：[xM1,xM2,xM3,…,xMM];[xL1,xL2,xL3,…,xLM];[yM1,yM2,yM3,…,yMM];[yL1,yL2,yL3,…,yLM];[a1,a2,a3,…,aM];[b1,b2,b3,…,bM]。

④將產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)值代入圓度誤差模型，求出M個(gè)圓度誤差值f。根據(jù)這組f值，構(gòu)造概率分布。其方差值則為圓度誤差的測(cè)量不確定度[8]。

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集及結(jié)果驗(yàn)證

使用愛德華公司MQ686型三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，對(duì)JP19型萬能工具顯微鏡的頂尖軸進(jìn)行圓度誤差的測(cè)量[9]和評(píng)定。將被測(cè)頂尖軸用高精度三爪卡盤夾緊，放置于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量平臺(tái)上；然后對(duì)其進(jìn)行圓度測(cè)量。在被測(cè)頂尖軸上選取三個(gè)截面，每個(gè)截面等角度測(cè)量24個(gè)點(diǎn)。三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量頂尖軸圓度數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 頂尖軸圓度數(shù)據(jù)Tab 1 Roundness data of the top axismm

3.1 不確定度來源分析

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的工作要求是：室內(nèi)溫度達(dá)到20 ℃，被測(cè)零件和測(cè)量設(shè)備等溫10 h。其三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的不確定來源可忽略溫度、濕度帶來的影響，主要分析以下幾個(gè)方面的影響[10]。

①重復(fù)性引起的不確定度分量。

4個(gè)點(diǎn)的測(cè)量不確定度結(jié)果分別為：

u1=σ1=0.028 μm;u5=σ5=0.032 μm;u15=σ15=0.023 μm;u20=σ20=0.035μm。

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)重復(fù)性測(cè)量的不確定度u1=umax=0.035 μm。

②示值誤差引入的不確定度分量。

③測(cè)量力引入的不確定度分量。

實(shí)際測(cè)量中，各部件的剛性較好，而且測(cè)量過程中測(cè)量力調(diào)節(jié)至很小，可忽略測(cè)力變形引起的誤差。不確定度分量為u3=0。

④分辨力引入的不確定度分量。

⑤徑向誤差引入的不確定度分量。

三坐標(biāo)的徑向誤差小于0.03 μm，服從均勻分布。

⑥溫度引入的不確定度分量。

測(cè)量時(shí)，被測(cè)件、三坐標(biāo)和測(cè)量人員都在等溫后進(jìn)行測(cè)量工作，而且符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)要求的測(cè)量環(huán)境。不確定度分量u6=0。

因此，圓度單點(diǎn)測(cè)量不確定度為：

3.2 圓度誤差計(jì)算

將表1中的測(cè)量結(jié)果代入式(2)和式(3)，求出最小二乘圓的圓心坐標(biāo)(a,b)，可得最小二乘圓方程。其中：a=0.015 7、b=0.002 0。然后，求出各測(cè)點(diǎn)到最小二乘圓心的距離。各測(cè)點(diǎn)到最小二乘圓心計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 各測(cè)點(diǎn)到最小二乘圓心的距離Tab.2 The distance between each measuring point to the least square center mm

測(cè)點(diǎn)和最小二乘圓如圖2所示。

圖2 測(cè)點(diǎn)和最小二乘圓示意圖Fig.2 The measurement points and the least squares circle

由圖2可知，距離圓心最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)分別是測(cè)點(diǎn)12和測(cè)點(diǎn)4(x軸的零度方向上的點(diǎn)序號(hào)為測(cè)點(diǎn)1，依次逆時(shí)針方向點(diǎn)的序號(hào)為2,3,…,24)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為xM=-9.670 3 mm、yM=-2.603 5 mm和xL=7.087 8 mm、yL=7.054 2 mm。將各參數(shù)代入式(3)，則圓度誤差值為：

3.3 計(jì)算不確定度

①GUM法評(píng)定圓度測(cè)量不確定度。

uf=2.274 μm

②蒙特卡羅法評(píng)定圓度測(cè)量不確定度。

利用計(jì)算機(jī)生成圓度誤差模型中6個(gè)參數(shù)xM、xL、yM、yL、a、b的正態(tài)分布。每個(gè)參數(shù)數(shù)組的期望為該參數(shù)的測(cè)量值，方差為該參數(shù)的測(cè)量不確定度，即為：

[xM1,xM2,xM3,…,xMM]～N(-9.670 3 mm，1.56 μm)

[xL1,xL2,xL3,…,xLM]～N(7.087 8 mm，1.56 μm)

[yM1,yM2,yM3,…,yMM] ～N(2.603 5 mm，1.56 μm)

[yL1,xL2,xL3,…,xLM]～N(7.054 2 mm，1.56 μm)

[a1,a2,a3,…,aM]～N(0.015 7，0.318 μm)

[b1,b2,b3,…,bM]～N(0.002，0.318 μm)

取樣本容量M=10 000。根據(jù)所得隨機(jī)數(shù)，求出10 000個(gè)圓度誤差值f，構(gòu)建圓度誤差概率分布。圓度誤差概率分布直方圖如圖3所示。求出這組數(shù)據(jù)的期望和方差，即為圓度誤差和圓度測(cè)量不確定度[12]。

圖3 圓度誤差概率分布直方圖Fig.3 Histogram of probability distribution of roundness error

由圖3可知：圓度誤差f=41.924 5 μm， 圓度測(cè)量不確定度uf=2.194 5 μm。

③結(jié)果比較。

GUM法的評(píng)定結(jié)果為：圓度誤差f=41.926 2 μm；圓度測(cè)量不確定度uf=2.274 1 μm。

蒙特卡羅法的評(píng)定結(jié)果為：圓度誤差f=41.924 5 μm；圓度測(cè)量不確定度uf=2 194 5 μm。

由以上評(píng)定結(jié)果比較可知，GUM法和蒙特卡羅法評(píng)定圓度測(cè)量不確定度的結(jié)果基本一致，并且完全滿足精度要求。因此，蒙特卡羅法以其評(píng)定結(jié)果準(zhǔn)確、可靠，評(píng)定過程簡(jiǎn)單、高效的優(yōu)點(diǎn)，為測(cè)量不確定度評(píng)定提供了一種新的方法。

4 結(jié)束語

本文分別采用了GUM法、蒙特卡羅法對(duì)直角坐標(biāo)系下的圓度誤差進(jìn)行了測(cè)量不確定度評(píng)定。試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，兩種方法的評(píng)定結(jié)果基本一致。GUM法是按照《測(cè)量不確定度評(píng)定指南》中的評(píng)定步驟進(jìn)行評(píng)定的，需要求出圓度誤差數(shù)學(xué)模型中各個(gè)參數(shù)的傳遞系數(shù)。誤差模型復(fù)雜或非線性時(shí)，參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)難以求出，對(duì)圓度測(cè)量不確定度的評(píng)定帶來了困難。而蒙特卡羅法則采用數(shù)據(jù)模擬的方法進(jìn)行圓度測(cè)量不確定度的評(píng)定，針對(duì)誤差模型復(fù)雜或非線性的情況，其評(píng)定更為便捷。因此，蒙特卡羅法評(píng)定圓度測(cè)量不確定度是一種行之有效的方法。該方法也可應(yīng)用到其他形位誤差測(cè)量不確定度的評(píng)定，在測(cè)量領(lǐng)域具有一定的工程實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用前景。

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