論哲學無限與數(shù)學無限的異同點（下）

張洪　莊嚴

摘要：眾所周知，“有限無限問題”是數(shù)學的基本問題，也是哲學的基本問題。本文基于以下哲學觀點開展討論：反對唯心主義，接受辯證唯物主義，在這樣的大前提下討論“有限無限問題”。本文從哲學和數(shù)學角度全面回顧、剖析了黑格爾的辯證無限觀，同時介紹了恩格斯關于無限的論述，并對數(shù)學中的實無限、潛無限觀進行了分析，指出實無限觀實際上是徹頭徹尾的唯心主義的無限觀。與此同時，作者對黑格爾的無限觀和數(shù)學中的兩種無限觀進行了詳細的分析比較，在此基礎上作者提出了“辯證唯物主義無限觀”，摒棄潛無限、實無限觀中錯誤的一面，積極吸取兩者正確的一面，即既要承認無限的客觀存在性和可認識性，又要承認無限過程的不可完成性，這是解決數(shù)學實踐中諸多矛盾的唯一正確途徑。

關鍵詞：實無限；真無限；潛無限；惡無限；辯證唯物主義的無限觀

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2018.3.049

中圖分類號：01-0 文獻標識碼：A 文章編號：1671-1580（2018）3-0180-07

四、黑格爾的無限觀與數(shù)學中兩個無限觀的差別分析

上述從數(shù)學、哲學兩個方面對“無限性”進行了論述，顯然可以看出各種無限觀在概念上存在著本質的差異。主要歸納如下：

（一）黑格爾的“惡無限”、“真無限”的主要特點與關系

“惡無限”、“真無限”是同一無限物的兩個方面、兩個屬性，誰也離不開誰。

無限物是客觀存在的。這是不言自明的；只要我們堅持唯物辯證法，我們就會自然得到這一結論?？陀^物質世界中的空間、時間就是典型的無限物或無限客體。

“惡無限”性：承認無限客觀存在，但認為無限進程不可以完成，從而是一種惡的無限。

“真無限”性：認為無限是“在別物中達到的自我聯(lián)系”，是對“惡無限”的揚棄，是無限物之間的共同本質、內在聯(lián)系或普遍性。因而認為無限是可認識、可完成。它本身是質量互變的結果，是“惡無限”的否定、揚棄，是“惡無限”的彼岸，因而是一個肯定，從而是一個更高層次上的有限事物。

綜合“惡無限”、“真無限”的特點，可以看出黑格爾的無限觀：無限客觀存在，無限可以認識，無限進展不可以完成。這其實就是馬克思恩格斯的無限觀點。（當然黑格爾的無限觀與馬克思主義的無限觀是有區(qū)別的，馬克思恩格斯在剔除了其思辨的神秘成分之后將之發(fā)展成為辯證唯物主義的無限觀，即馬克思主義的無限觀。）

（二）“惡無限”與“潛無限”的主要差異

雖然人們常常把兩者視為同一個東西，但是從哲學上講，這兩者有著根本的質的區(qū)別。

“潛無限”認為無限并不客觀存在，而是一種潛在，因為無限進展完成不了。

“惡無限”認為無限客觀存在，但同時承認無限進展完成不了。

它們的相同點：

無限進展完成不了；

相對有限的人類的意識，它是潛在的。這深刻地反映了主客觀世界的矛盾。

由于兩者在本質上有很大的共性，人們往往將兩者視為同一個概念。

（三）“真無限”與“實無限”的主要差異

認真研究黑格爾的無限理論之后，顯而易見，黑格爾的“真無限”與數(shù)學中的“實無限”是完全不同的兩個概念。

數(shù)學中的“實無限”：認為無限客觀存在，“無限進展”可以完成，與哲學中的“惡無限”直接對立，承認“實無限”就直接否定“惡無限”。

黑格爾的“真無限”：是指“無限物”的內在聯(lián)系、共同本質、規(guī)律性，而不是“無限進展”是否可以完成。由于“真無限”與“惡無限”是辯證統(tǒng)一的，因而承認“真無限”也必然承認無限的客觀存在、承認“惡無限”、承認無限不可能完成。

因為要承認“真無限”首先必須承認“惡無限”，因為“真無限”是對“惡無限”的揚棄，而不是對“惡無限”的拋棄。“惡無限”、“真無限”是無限物的不同屬性，是一個統(tǒng)一體，缺一不可；承認其中一個就必然要承認另外一個。

兩者與“惡無限”的關系：“實無限”直接與“惡無限”對立，不存在辯證的統(tǒng)一關系，而“真無限”則與“惡無限”是一種辯證的統(tǒng)一，它離不開“惡無限”。

兩者的共同點：都承認無限對象的客觀存在性；都是一種有限（“實無限”是一種有限，見后面的論述）。

兩者的不同點：“實無限”認為無限進展可以完成，而“真無限”認為無限進展不可能完成；前者是一種唯心主義的認識論，而后者則是一種辯證的唯物主義的認識論。

由此可見，“實無限”觀與黑格爾的“惡無限、真無限”思想完全背道而馳。

（四）“潛無限”與“實無限”的異同點

結合朱梧槚先生對這兩種無限觀的數(shù)學和哲學分析，歸納它們的不同點如下：

關于“無限”的客觀存在性：“實無限”認為無限客觀存在，而“潛無限”認為無限不是一種實在，因而否認無限客觀存在。

關于無限是否可以完成：“實無限”認為無限可以完成，反之，“潛無限”認為無限肯定不能完成。

在“潛無限”觀者那里，“無限”是一種潛在，處于不斷構造之中，因而不是一種實在，這顯然是用主觀世界對無限的認識的不可能性來否定無限的客觀存在性。而“無限物”作為客觀事物是真實存在的，不以人類的意志為轉移，因而“潛無限”觀犯了主觀主義的錯誤，從而是一種唯心主義的無限觀。

綜上所述，“實無限”、“潛無限”都是將有限、無限對立起來，卻未能將之統(tǒng)一起來，實際上是延續(xù)了康德的先驗的“二律背反”思想，而黑格爾的無限觀則是將對立的有限、無限辯證地統(tǒng)一起來，把量的無限和質的無限結合起來考察無限，從而形成辯證的無限觀，因而是馬克思主義的無限觀。

五、結論

（一）主觀世界與客觀物質世界之間的矛盾就是一個有限無限矛盾

主觀世界是一個有限世界。關于“人的思維的有限性”，恩格斯在《反杜林論》中進行了精辟的論述，認為人的思維是被限制的、是有限的，是不斷前進和發(fā)展的一個過程。在“永恒真理”那一篇，他說：“在這里，我們又遇到在上面已經遇到過的矛盾：一方面，人的思維的性質必然被看作是絕對的，另一方面，人的思維又是在完全有限思維著的個人中實現(xiàn)的。這個矛盾只有在至少對我們說來實際上是無止境的人類世代更迭中才能得到解決。從這個意義來說，人的思維是至上的，同時又是不至上的，它的認識能力是無限的，同樣又是有限的。按它的本性、使命、可能和歷史的終極目的來說，是至上的和無限的；按它的個別實現(xiàn)和某一時候的現(xiàn)實來說，又是不至上的和有限的”（參見恩格斯，1970年，第84頁）。因而，主觀世界是一個不斷變化發(fā)展著、不斷壯大的有限世界，而客觀世界則是一個絕對的無限世界；而有限無限矛盾就是主觀世界與客觀世界之間的一個不斷解決著、但卻不能終結解決的矛盾。

有限無限矛盾是人類在認識客觀世界時所面臨的一種矛盾，是此時此刻的人類主觀世界不能完全了解、掌握的無窮無盡的客觀物質世界。它反映了主觀世界在認識客觀物質世界時所遇到的一種困難、一種矛盾，而這種“困難或矛盾”是長期的、永恒的、不可終結解決的，是人們在認識無限世界時的一個不可逾越的溝壑。這就是人類在認識客觀世界時消極、無能的一面。關于主客觀世界之間的矛盾，愛因斯坦也曾說過：“在我們之外有一個巨大的世界，它離開我們人類而獨立存在，它在我們面前就像一個偉大而永恒的謎，然而至少部分地是我們的觀察和思維所能及的?！币虼?，無限既是真無限與惡無限的統(tǒng)一，也是客觀存在與隱性存在的統(tǒng)一，集中體現(xiàn)了有限無限矛盾。我們可以說：人類既能認識客觀無限世界，又不能認識客觀無限世界，而這就是馬克思主義關于“有限和無限關系”的自然辯證法。

（二）“實無限”觀是一個徹頭徹尾的唯心主義的無限觀

1.“實無限”與“潛無限”是一種對立的關系，不存在辯證的統(tǒng)一關系，因而是一個虛假的無限。

“實無限”觀直接對“潛無限”進行否定并且沒有肯定，這樣，“有限無限矛盾”（無限過程）在它那里就消失了；而矛盾消滅了，那就是無限的終結。黑格爾早就從辯證的角度對“有限無限矛盾”給予了闡明：無限進展只是這種矛盾的表現(xiàn)并不是這種矛盾的解決（參見黑格爾，1974年，第243頁）。我們在“實無限”這兒找不到“潛無限”（無限進展或者“惡無限”）的任何影子，而只有有限物。這種完完全全拋棄了“無限過程”的“無限”，與其說它是一個“無限”，倒不如說是一個實實在在的“有限”；因為它拋棄了“無限過程”，也就拋棄了“有限無限矛盾”，從而讓自己變成一個徹頭徹尾的有限。

2.黑格爾強調有限和無限的統(tǒng)一，而“實無限”觀沒有把量的無限與質的無限結合起來，它在對“量”進行否定的同時沒有從量的否定中發(fā)現(xiàn)質的東西，而是把“質”的東西一同進行了否定，甚至走向了“有限的存在”的對立面，變成了一個抽象物，人為割斷“有限”與“無限”的聯(lián)系，最終讓自己陷入虛無主義，讓自己變成與“無限過程”沒有內在聯(lián)系的他物，也就是說，“實無限”與“無限過程”完全是兩回事。

在黑格爾看來，真正的無限，就是“在別物中達到的自我聯(lián)系”，就是無限物之間的共同本質、相互規(guī)定、內在聯(lián)系或普遍性，是否定之否定，從而是一種肯定，是一種自為存在；同時，“有限的存在”是具有質的規(guī)定性，既是有限的又是可變的，既包含有肯定又包含有否定，而這種“質的規(guī)定性”（即相互規(guī)定、共同本質）是聯(lián)系“有限”和“無限”的紐帶，即聯(lián)系惡無限和真無限的紐帶。在“希爾伯特旅館”問題中，“實無限”者在否定“無限進展”的同時把“無限物之間的相互規(guī)定（內在聯(lián)系）”——“沒有空余房間”這一本質——進行了否定，而得出“存在空余房間”這一完全相反、對立的結論。這完全違背了有限與無限的統(tǒng)一性，違背了惡無限與真無限的統(tǒng)一性?！皩崯o限”觀認為這種紐帶并不存在，否認自身的回歸（即全盤否定而非辯證否定），把自己視為純粹在有限萬物彼岸的東西，與無限進展（惡無限）沒有內在的聯(lián)系，從而人為地割斷了“有限”與“無限”的聯(lián)系，最終導致了質的不統(tǒng)一（“實無限”的質與無限進展的質沒有統(tǒng)一性），導致自身的量與自身的質的不統(tǒng)一，而讓“實無限”變成一個與“無限進展”、“潛無限”毫無聯(lián)系的一個事物，變成了一個抽象物、一個他物。黑格爾分別用“直線”、“圓”來形容“惡無限”、“真無限”，而“實無限”既不是“直線”（惡無限），也不是“圓”（真無限），而是指存在一個“終極目標”（或絕對真理），并且這個“終極目標”是經歷、完成了一個“無限進展”之后可到達的目標；因而其對“無限進展”（即惡無限）不是辯證的揚棄，而是機械的、形而上學的、人為的拋棄，人為割斷了與“無限進展”的聯(lián)系，從而讓自己成為純粹在有限萬物彼岸的東西。事物的質變并不是要與原事物完全沒有聯(lián)系、完全割斷，相反，辯證的否定是聯(lián)系的環(huán)節(jié)，沒有聯(lián)系的質變是不存在的。人們常用“有限空間”的可達性來說明“無限過程的完成性”，如用坐標軸x上的1可達0來證明這一無限過程可完成，其本質是拋棄了“無限進展”，用“有限性”代替“無限性”，把無限簡單地視同有限對待，將人類思維產物強加于客觀物質身上，人為地造成不可調和的對立，而“無限進展”仍然獨立地存在著；這種想象的無限性（即實無限）并不是“無限進展”本身，與“無限進展”沒有任何內在的聯(lián)系，它只是一個“旁觀者”，一個“他物”而已。關于“Cantor-Hilbert對角線法”這種具有“實無限”思想論證方法的有效性，朱梧槚先生也給出了旗幟鮮明的質疑（參見朱梧槚，2010年）。

黑格爾要求把量的無限和質的無限結合起來考察無限，認為定量的無限并不是單純量的無窮進展，而是對自身的質的規(guī)定性。而數(shù)學上的這種“實無限”沒有將量和質結合起來考察，因此其思想是遵循了康德的先驗的、主觀的、形而上學的無限思想，而不是黑格爾的辯證的無限思想。因而，黑格爾堅決批判了這種“實無限”，認為這種“實無限”是虛無的“抽象物”，錯誤地把客觀存在的無限當成了完成了的、已經認識了的無限，把無限簡單地視同有限對待；他在剖析康德的二律背反思想時指出了這種“實無限”的本質：“那種理解的錯誤，在于把這樣的思想物、抽象物，如無限多的部分，當作某種真的、現(xiàn)實的東西；但是這種感性的意識卻不會超出經驗而達到思想的”（參見黑格爾，1974年，第210頁）。這樣一來，“實無限”就變成了一個抽象物，它不僅越過了“無限進展（惡無限）”，也同時越過了“真無限”，從而讓自己變成了一個實實在在的“無”；因為在黑格爾看來，越過了極限就會成了無。

黑格爾認為數(shù)學的無限在哲學上之所以重要，就在于它是建立在真正無限的基礎上，比形而上學的無限高明得多。數(shù)學的無限與形而上學的無限之分別，是無限性理論中的重大問題。真的數(shù)學無限是真無限，而形而上學的無限則是壞的無限。形而上學的無限堅持著外在的否定性（惡無限），界限始終沒有被揚棄；而真的無限堅持著內在的否定性，并且這種否定是向自身的回歸，是自身的量與自身的質的統(tǒng)一。量的關系的極限與消失，并不意味著質的規(guī)定的消失。黑格爾之所以強調質的比例，因為這是從有限量轉化為無限量的依據(jù)（參見溫純如，2003年）。因此，認真對待數(shù)學中的實無限觀、潛無限觀，對數(shù)學科學的健康發(fā)展至關重要。

3.以“主觀世界產物”完全代替“客觀物質世界”本身，或者將“主觀世界產物”完全等同于、強加于“客觀物質世界”，這就從根本上否定了主觀世界與客觀世界之間的差異、矛盾?！皩崯o限”拋棄了“有限無限矛盾”，也就拋棄了真實的無限；它將人類的思維產物強加于客觀物質無限世界身上，并與客觀物質世界相對立，因而“實無限”觀犯了與黑格爾一樣的錯誤，它又是一個徹頭徹尾的唯心主義無限觀。

“無限可以完成”這是一種主觀世界的認識，“實無限”觀認為這就是客觀物質世界本身。恩格斯早就對這種唯心主義認識進行了無情的批判。他說到：“企圖以思維和存在的同一性去證明任何思維產物的現(xiàn)實性，這正是一個叫做黑格爾的人所說的最荒唐的熱昏的胡話之一”（參見恩格斯，1970年，第39-40頁）。上述論述說明，我們不能因為“有限主觀世界”與“客觀物質世界”存在“同一性”而去證明我們的思維產物——“無限過程可以完成”——現(xiàn)實性，這實際上指出了“實無限”觀存在的致命缺陷。也就是說，“思維的無限可超越j生”并不表示“客觀無限過程的可完成性”，而且“思維的無限可超越性”也從來沒有真正“完成過”；“存在的無限”決不等于“認識了的無限”。

“無限”作為“無限個對象本身”，即作為一個“無限過程”，作為“惡無限”，是不可能完成、不可能“結束”的。但是，這并不等于說“不可以將這無限個對象（既包括完成了的有限也包括未完成的無限）看成一個整體、一個集合”，而人類事實上總是自覺、不自覺地把“無限個對象”看成是一個“整體”、一個“集合”；而這正是“無限可超越”的一面，也是“無限”在人類大腦思維中的自然的、必然的“思維結果、思維產物”，是“客觀無限世界”在“主觀有限世界”中的表象與反映。只是“無限”在“有限”的“人類意識”中是無法完全表達的，正由于無法“完全”表達，這才是“惡無限”或“潛無窮”的根本思想所在。

“實無限”觀總是混淆了這兩個概念——“無限過程”（即惡無限）與“無限整體”（是一種真無限），混淆有限與無限，混淆惡無限與真無限，并用“無限整體”（“思維的無限可超越性”）這一對客觀無限世界的主體認識概念來替代“無限過程”這一認識無限物質世界的客觀過程（即用“真無限”來代替“惡無限”），把“主觀有限世界”對“無限客體”的超越性認識當成了“無限過程”本身，把“無限整體”的客觀存在性當成“無限過程”的完成性，把思維的認識產物當成人類認識客觀無限世界過程本身，用主觀認識代替客觀事物本身，從而將“有限無限矛盾”徹底否定、徹底拋棄、徹底消滅。在“實無限”觀看來，有限無限矛盾消滅了，所以就可以完成、終結一個“無限過程”；可是有限無限矛盾從來也沒有消滅過，而且永恒存在。正如恩格斯在《反杜林論》中一針見血指出的那樣：“如果矛盾消滅了，那就是無限的終結。黑格爾已經完全正確的看到了這一點，所以他以應有的輕蔑態(tài)度來對待那些空談這種矛盾的先生們”（參見恩格斯，1970年，第48～49頁）。因此“實無限”觀總是不斷遇到致命的打擊，不斷遇到新的矛盾、新的悖論。這正是康托（cantor）“無限觀”的錯誤之所在。

正是基于這種唯心主義的錯誤認識，在“實無限”觀看來，“無限”作為一群“客體”的“集合”時，即作為一個“整體”時它是可“完成”的，因為這時“無限”的本質內涵——“惡無限性”——“無限過程”已被完全拋棄，所以它是可以“完成”的（即“思維的無限可超越性”）。“實無限”觀將這種完成性當成了“無限過程可完成”，將無限的客觀存在等同于無限過程，將“真無限”的可完成性當成了“惡無限”的可完成性，用“真無限”完全替代“惡無限”，從而徹底拋棄“有限無限矛盾”，這就是“實無限”觀的錯誤本質?！按嬖谛浴笔且环N客觀，“完成性”是一種主觀，“實無限”觀將兩者混為一談，因而必然走向唯物主義的反面，必然導致不可克服的矛盾。讓我們進一步舉例分析：“一條直線”作為一個“無限整體”是一種客觀存在，因而是一個肯定，是自為的存在，是完成了的質，是一個有限（即一個“真無限”），但是其“無限延展性”卻是一個“惡無限”，因而是抽象的、不可完成的，是自在的存在和知性的存在；而“實無限”觀將前者等同于后者，并用前者來代替后者（用存在性代替完成性），從而讓自己遭受致命的打擊。

這種摒棄了“無限過程”、把思維的產物強加于客觀物質世界身上的“無限觀”必然是一種反馬克思主義的無限觀，是一種實實在在的唯心觀。而黑格爾的無限觀正是既看到了“客觀物質世界的普遍聯(lián)系性（真無限）”，又看到了“無限過程不可完成（惡無限）”的客觀實在性，所以它是一個科學的無限觀，是一個辯證的無限觀，因而也是一個馬克思主義的無限觀。因此，“無限”作為一個“無限過程”，是永恒不滅的，是絕對的，也是不可“完成”的；而當“無限”作為一個整體、作為一個真無限時，即摒棄了“無限過程”時，這個“無限”是可以完成的，因為此時，這個“無限”與其說是一個“無限”，倒不如說是一個實實在在的“有限”。如“自然數(shù)集N”這個概念，是一個“無限客體”，但是其摒棄了“元素之間無限過程”（惡無限性）。這種離開了“無限過程”的“無限客體”已經變成了一個單純的“概念”或“名稱”，已經完全變成了一個“有限”性的事物了。因此，羅素才如此肯定地說“我們必須承認有真實的無窮集合”，而事實上，數(shù)學家們就是這樣干的，而且做得成績輝煌。我們把自然數(shù)集的存在看成是人們的實際現(xiàn)實需要，而這正是辯證無限觀的具體體現(xiàn)。

恩格斯在《反杜林論》中充分批判了像杜林先生那樣將“思維產物強加于外在客觀世界身上”的荒誕觀點，有效揭示了數(shù)學的本質，認為數(shù)學必須正確反映客觀物質世界。他說，“但是在純數(shù)學中悟性絕不能只處理自己的創(chuàng)造物和想象物。數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得來的。和數(shù)的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是在頭腦中由純粹的思維產生出來的。和其他一切科學一樣，數(shù)學是從人的需要中產生的……。但是，正如同在其他一切思維領域中一樣，從現(xiàn)實世界抽象出來的規(guī)律，在一定的發(fā)展階段上就和現(xiàn)實世界脫離，并且作為某種獨立的東西，作為世界必須適應的外來的規(guī)律而與現(xiàn)實世界相對立”（參見恩格斯，1970年，第35～36頁）。

恩格斯對黑格爾的“絕對精神”這一唯心主義思想也進行了有力的批判。他說：“黑格爾的體系作為體系來說，是一次巨大的流產，但也是這類流產中的最后一次。就是說，它還包含著不可救藥的內在矛盾：一方面，它以歷史的觀點作為基本前提，即把人類的歷史看做一個發(fā)展過程，這個過程按其本性來說是不能通過發(fā)現(xiàn)所謂絕對真理來達到其智慧的頂峰的；但是另一方面，它又硬說自己是這個絕對真理的全部內容。包羅萬象的、最終完成的關于自然和歷史的認識的體系，是和辯證思維的基本規(guī)律相矛盾的；但是這決不排斥，反而肯定，對整個外部世界的有系統(tǒng)的認識是可以一代一代地得到巨大發(fā)展的?！保▍⒁姸鞲袼梗?970年，第22頁）。在這兒，恩格斯深刻批判了黑格爾那種具有“實無限”性質的“絕對真理”的思想。

我們所反對的，正是恩格斯在《反杜林論》中所批評的杜林先生的“先驗主義”的“終結真理”；而“實無限”觀本質正是象“先驗主義”一樣的東西，它本質上是認為世界的發(fā)展、運動一定會有個“盡頭”。而“無限”的本質從來就是指“無限的不可窮盡性”，“不可窮盡”即“無限”，“無限”即“不可窮盡”。實無限觀認為“無限”能夠“完成”，這與客觀物質世界直接對立。

恩格斯在《反杜林論》中對這種觀點進行了進一步的批判：“如果在人類發(fā)展的某一時期，這種包括世界所有聯(lián)系——無論是物質的或是精神的和歷史的——的最終完成的體系建立起來了，那么，人的認識的領域就從此完結，而且從社會按照這一體系來安排的時侯起，未來的歷史進展就中斷了——這是荒唐的想法，是純粹的胡說。這樣人們就處于矛盾之中：一方面，要毫無遺漏地從所有的聯(lián)系中去認識世界體系；另一方面，無論是從人們的本性或世界體系的本性來說，這個任務都是永遠不能完成的。我們在前面已經看到，杜林先生是無所不在的——在一切可能的天體之上。現(xiàn)在我們又看到，他是無所不知的。他解決了科學的最終的任務，從而封閉了一切科學走向未來的道路?！保▍⒁姸鞲袼梗?970年，第34頁）。

“存在的無限”不等于“認識了的無限”，客觀的無限不等于主觀的無限，“實無限”既不是惡無限更不是真無限。關于真無限和惡無限，我們可以打一個很形象的比喻：“惡無限”就像被幽禁在封閉盒子里面的一個“魔鬼”，如果我們不打開這個盒子，這個“魔鬼”就永遠不能出來（即無限進展永遠不能完成）。在這個比喻中，“魔鬼永遠不能出來”是一種“惡無限”，而“真無限”則是指這個事件的內在的“質的規(guī)定性”——“封閉的盒子中有一個魔鬼”；將兩者結合起來表述整個事件就是：“封閉的盒子中有一個魔鬼，但是魔鬼永遠不能出來”。前者表示事件的本質，后者表示事件運動、發(fā)展的可能，兩者相互依存但兩者并不等同。更形象的比喻，可以拿黑格爾用來形容“惡無限”的直線來具體說明：直線上的一個點在直線上自由的運動。在這個事件中，“點在直線上”代表了事件的本質、內在的質的規(guī)定性，體現(xiàn)了“點”與“直線”的關系，是一個真無限，而“點在直線上自由運動”則是代表“惡無限”，表明這個“點”可以達到直線上的任意一個位置，但是無論如何自由運動都不可能擺脫這條直線、都不可能改變“點在直線上”這一內在的本質。如果說上述事件的表述還有點模糊，那么讓我們把“直線”換成一個封閉的“圓”再來進行事件的描述，上述事件就轉化為這樣的一個事件：封閉圓上的一個點在圓上自由的運動。同樣，“點在封閉的圓上”代表了事件的內在規(guī)定性，體現(xiàn)了“點”與“圓”的關系，代表了事件的拓撲屬性，因而是一個真無限，而“點在圓上自由運動”則是代表了“惡無限”，表明這個“點”可以在圓上任意移動，但是無論如何自由運動都不可能擺脫這個圓。也就是說，“惡無限”的結果是“真無限”，而不是“實無限”；在這兒，我們找不到“實無限”的任何影子?！皩崯o限”自認為自己已經擺脫了“惡無限”，但仍然在無限進展中；它不是從“質”上思考無限、揚棄無限進展，而是主觀地、一廂情愿地中斷無限進展，用主觀代替客觀，從而是一個自欺欺人的、唯心主義的認識論，是一種變相的“二律背反”。

我們可以處處看到恩格斯批評杜林、所要反對的正是杜林先生的“存在就是被認識了”的觀點。假若說“存在的無限”一旦被“思考”，就被“思考”為“統(tǒng)一的東西”——“完成了的無限”（實無限），那也太滑稽了。恩格斯在《反杜林論》中繼續(xù)論述：“……杜林先生就借助‘我們的統(tǒng)一思想，把存在的唯一性變?yōu)樗慕y(tǒng)一性了。因為一切思維的本質都在于把事物綜合為一個統(tǒng)一體，所以，存在一旦被思考，就被思考為統(tǒng)一的東西……”（參見恩格斯，1970年，第38頁）“企圖以思維和存在的同一性去證明任何思維產物的現(xiàn)實性，這正是一個叫黑格爾的人所說的最荒唐的熱昏的胡話之一?！保▍⒁姸鞲袼梗?970年，第39～40頁）。這兒已經說明：“存在著的無限”一旦被“思維”并不能得到這一“思維產物”——“完成了的無限”（實無限）——的現(xiàn)實性。在這兒，恩格斯無情地批駁了“實無限”觀這種逃避“有限無限矛盾”的唯心主義的思想。

“實無限”觀把自己對“無限”的認識當成了“真實的客觀無限世界”本身，所以它必然走向了辯證唯物主義的對立面。因此，“實無限”本質是一個“有限”觀，它摒棄了“客觀無限世界”與“主觀世界”的差異性，否定了“主觀世界”與“客觀世界”之間的“對立統(tǒng)一關系77——41；有限無限矛盾”（無限進展），從而否定了“主觀世界”的不斷前進性。

（三）堅持辯證唯物主義無限觀

重新定義、認識“實無限”、“潛無限”，充分吸收黑格爾的辯證無限觀思想，回歸科學的無限觀上，即：無限客觀存在，無限可以認識，但是“無限過程”不可以完成，而這就是馬克思主義無限觀（辯證唯物主義的無限觀）。

據(jù)上所述，雖然“潛無限”觀因為“無限過程不可完成”而否認了無限的客觀存在性，這是其錯誤的一面。但是，由于其并沒有逃避“有限無限矛盾”，它客觀地承認了人類認識論上的這種困難、這種無法逾越的矛盾；它承認我們不能夠結束一個“無限過程”而到達其某一終點，它沒有將“客觀存在的無限”思考成“完成了的無限”。因此，數(shù)學中的“潛無限”觀又有其正確的一面，而且這一面是完完全全堅持了唯物辯證法。

而“實無限”觀，表面上承認“客觀物質世界的無限性”，但卻認為“人類可以完全把握、認識無限物質世界”，完成一個無限進展，從而回避了客觀存在的、認識論上的“有限無限矛盾”。因此在本質上，“實無限”觀否定了“客觀物質世界”的“無限性”（惡無限性），而只承認“客觀物質世界”的“有限性”。這就決定了“實無限”觀總是用“有限性”的“方法”去處理、對待一個個“無限性”的客體，從而帶來一個又一個更大、更壞的“矛盾”。我們認為第三次數(shù)學危機其本質就是“實無限”——“窮盡了無限”（窮盡了一個不可窮盡的東西）一一所導致的危機?！白畲笮驍?shù)悖論”、“最大基數(shù)悖論”都集中體現(xiàn)了“實無限”觀的根本錯誤。

上述對“潛無限”、“實無限”觀進行了全面的分析，全面論述了“潛無限”、“實無限”存在的哲學上的錯誤。得出結論：既要承認“有限無限矛盾”的客觀存在性——即無限過程不可能完成，又要承認“無限”客體的客觀實在性；既要承認惡無限，又要承認真無限；既要承認惡無限不可完成，又要承認真無限可以認識、可以完成。因此從數(shù)學上的角度上講，就是承認所有自然數(shù)構成為一個集合N，承認N作為一個“無限客體”的客觀存在性。承認N是一個無限性的集合，并不是否認“惡無限（潛無限）”、否認“無限過程不能完成”。從哲學的角度看，無限客體的存在不以人類的意志為轉移，也就承認了N作為一個“無限客體”的合理性；但是人類的認知能力又是有限的，這就決定了“無限過程”的客觀現(xiàn)實性，也就是承認“無限過程”的不可完成性。這正是馬克思主義哲學對“無限”的最科學的、辯證的解釋。馬克思對“極限”概念的深刻剖析，無疑表明他就是“實無限”的堅定反對者。正如馬克思的至理名言：“人的思維是否具有客觀的真理性，這并不是一個理論的問題，而是一個實踐的問題。人應該在實踐中證明自己思維的真理性，即自己思維的此岸性。關于離開實踐的思維是否現(xiàn)實的爭論，是一個純粹經院哲學的問題”。數(shù)學科學的實踐讓我們認清了“實無限”的本質。

綜上所述，我們全面介紹了黑格爾的辯證無限觀，也介紹了恩格斯對黑格爾無限觀的批判繼承和發(fā)展，還介紹了四種無限觀之間的區(qū)別，并全面分析了“實無限”觀的錯誤，因此現(xiàn)在我們可以自然總結出馬克思主義無限觀（即辯證唯物主義無限觀）就是：無限客觀存在，無限可以認識，但是無限過程不可以完成。因此，正確理解和把握“有限無限矛盾”，是數(shù)學界、哲學界徹底解決“第三次數(shù)學危機”的本質所在，對于徹底認識“羅素悖論”的哲學意義也有著極大的指導意義。

[責任編輯：盛暑寒]