研究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊愛(ài)芳

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)解題中常用的思想，本文現(xiàn)探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，希望能為進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力提供幫助。

隨著新課改的不斷推進(jìn)，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，現(xiàn)階段，進(jìn)一步研究數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)揮其在初中數(shù)學(xué)解題中的作用，是每位初中數(shù)學(xué)教師共同的議題。

1 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的重要作用

數(shù)形結(jié)合思想從字面意思上理解，就是數(shù)字、數(shù)學(xué)公式通圖形、圖像結(jié)合起來(lái)，用以解決一些抽象的、難以理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生的解題速度和解題質(zhì)量都將大幅度提升，教師的教學(xué)難度也將降低。數(shù)形結(jié)合思想有以下幾點(diǎn)作用：第一，增強(qiáng)數(shù)學(xué)公式的直觀性；第二，豐富學(xué)生的解題思路；第三，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維；第四，提升學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。

數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。如某些代數(shù)問(wèn)題、三角問(wèn)題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問(wèn)題；而某些幾何問(wèn)題也往往可以通過(guò)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)的方法去解決。因此數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)問(wèn)題的解決有舉足輕重的作用。

2 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)例應(yīng)用

2.1 數(shù)形結(jié)合思想適用的題型范圍

1、幾何圖形與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合：幾何中的計(jì)算與證明問(wèn)題，常常根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)挖掘蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系；一些數(shù)量關(guān)系的比較問(wèn)題，常常構(gòu)造出由數(shù)量關(guān)系反映出的幾何圖形，根據(jù)圖形的直觀性尋求解決。

2、函數(shù)圖象與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合：數(shù)軸使實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，平面直角坐標(biāo)系使有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造了充分的條件函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系的位置及變化趨勢(shì)，為研究函數(shù)的性質(zhì)提供了直觀、形象的依據(jù)，反過(guò)來(lái)，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)又能推斷函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系屮的位置及變化情況，數(shù)形結(jié)合成為研究解決函數(shù)問(wèn)題的重要思想方法。

3、圖形的運(yùn)動(dòng)變化與函數(shù)問(wèn)題的結(jié)合：函數(shù)建立起兩個(gè)變量之間的關(guān)系，運(yùn)動(dòng)變化便進(jìn)入了數(shù)學(xué)，運(yùn)動(dòng)改變了圖形的位置、形狀，其中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系也會(huì)發(fā)生變化，研究圖形運(yùn)動(dòng)變化體現(xiàn)出來(lái)的函數(shù)關(guān)系，使數(shù)形結(jié)合更具活力，更豐富多彩。

2.2 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則

1、等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系所帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)；

2、雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)；

3、簡(jiǎn)單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線為佳。

2.3 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方式

1、建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，如解析幾何；

2、構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

3、構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。

2.4 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用實(shí)例（題目+解析）

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何形式巧妙、和諧的結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”，尋求解題思路，使問(wèn)題得以解決.

數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以數(shù)解形，以形助數(shù)”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問(wèn)題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和靈活性的有機(jī)結(jié)合。

1、以數(shù)解形

要在解題中有效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見(jiàn)的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來(lái)看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題代數(shù)化；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等。

例題如下：

如圖，在正△ABC的三邊AB、BC、CA上分別有點(diǎn)D、E、F。若DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB同時(shí)成立，求點(diǎn)D在AB上的位置。

解析：由圖可知，△AFD、△CFE、△EDB均為直角三角形，則以△AFD為例，根據(jù)勾股定理可知，F(xiàn)D^2+AD^2=AF^2，其他兩個(gè)三角形（△CFE、△EDB也有這樣的等式規(guī)律。）此時(shí)我們有兩種解決方法，第一種是選擇最常用的溝三股四弦五方法，即把FD^2+AD^2=AF^2帶入數(shù)（4，3，5）得到4^2+3^2=5^2，等式成立，則FD=4，AD=3，AF=5，又因?yàn)椤鰽BC是正三角形且若DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB同時(shí)成立，所以△AFD、△CFE、△EDB三個(gè)三角形相同，所以BD=AF=5，所以AB=AD+BD=8，所以D在AB上的位置為AD/AB=3/8。

2、以形助數(shù)

幾何圖形在數(shù)學(xué)中所具有的最大的優(yōu)勢(shì)就是直觀易懂，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”思想時(shí)，就更偏好于“以形助數(shù)”的方法，利用幾何圖形解決相關(guān)不易求解的代數(shù)問(wèn)題。幾何圖形直觀的運(yùn)用于代數(shù)中主要體現(xiàn)在幾個(gè)方面：

（1）利用相關(guān)的幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：完全平方公式與平方差公式；（2）利用數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，進(jìn)而幫助求解相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算。

例題如下：

如圖一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與點(diǎn)B重合.

若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為20；若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為5（單位：cm），由此可得到木棒長(zhǎng)為多少cm.

解析：由題目和圖形可知，5～20CM之間的長(zhǎng)度為15CM，而由上述題目條件（當(dāng)它的左端移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為20；若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為5（單位：cm））可知，5～A=A～B=B～20，所以木棒AB的長(zhǎng)度=15/3=5CM.

當(dāng)然，由題（1）的啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)了“數(shù)軸” 以形助數(shù)的重要作用，同樣的，我們還可以借助“數(shù)軸”這個(gè)工具解決許多生活問(wèn)題。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想主要有三大應(yīng)用途徑，即韋恩圖在集合中的應(yīng)用、利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題、依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答三部分，本文通過(guò)闡述教學(xué)實(shí)例，闡述了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，希望能對(duì)提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)水平提供幫助。

（作者單位：蘇州市相城區(qū)蠡口中學(xué)）