基于GARCH族模型的道瓊斯指數(shù)收益率波動(dòng)性及VaR度量研究

郭新艷

本文運(yùn)用當(dāng)今金融領(lǐng)域描述條件方差最典型的GARCH族模型及其衍生模型PARCH和EGARCH模型，分別在正態(tài)分布及能刻畫(huà)其尖峰厚尾特征的分布（GED分布和t分布）假定下，對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率的波動(dòng)性進(jìn)行實(shí)證分析，并將結(jié)果做了對(duì)比分析，最終選定了在t、GED、正態(tài)分布下的擬合最有效的EGAECH模型進(jìn)行VaR值的計(jì)算，采用失敗頻率檢驗(yàn)法對(duì)基于EGARCH-GED、EGARCH-t 、EGARCH-n分布模型的VaR 方法作出評(píng)價(jià)。

一、研究背景

道瓊斯指數(shù)是在歷史上最先發(fā)明的股票指數(shù)，早在1884年，道瓊斯公司的創(chuàng)辦人查爾斯.亨利.道就開(kāi)始編制它，它是一種算數(shù)平均數(shù)股價(jià)指數(shù)。在金融市場(chǎng)中，股票的價(jià)格會(huì)出現(xiàn)一定程度的波動(dòng)，而且顯現(xiàn)出波動(dòng)集群的特點(diǎn)，即在一段時(shí)間內(nèi)波動(dòng)幅度非常之大，但在一段時(shí)間內(nèi)幾乎沒(méi)有變化，呈現(xiàn)出明顯的異方差性。因此，精確地度量道瓊斯指數(shù)投資的風(fēng)險(xiǎn)、收益對(duì)投資者決策具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

二、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源

通過(guò)登錄investing.com網(wǎng)站獲取2008年1月2日到2017年12月15日的道瓊斯指數(shù)每個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)，數(shù)據(jù)單位為美元，共有2580個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)。

（二）數(shù)據(jù)處理

道瓊斯指數(shù)的收益率形式。道瓊斯指數(shù)收益率采取自然對(duì)數(shù)收益率的形式，即：

rt=lnpt-lnpt-1

其中，pt道瓊斯指數(shù)每日收盤(pán)價(jià)；pt-1為道瓊斯指數(shù)前一日收盤(pán)價(jià)。

（三）數(shù)據(jù)基本分析

1.道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率的基本統(tǒng)計(jì)特征。利用Eviews7.0可以做出道瓊斯對(duì)數(shù)日收益率的對(duì)數(shù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)下圖，可以得到樣本期收益率的期望為0.0237%，偏度為0.251671， 峰度為19.96258，JB 檢驗(yàn)值為30946.11，概率p值為0.000，表明樣本期內(nèi)收益率序列分布在極的的置信水平下異于正態(tài)分布，而且表現(xiàn)出明顯的尖峰和肥尾特征。

2.數(shù)據(jù)的其他特征分析。

（1）道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的時(shí)間序列特征分析。從圖中能夠看出收益率序列存在波動(dòng)集群效應(yīng)（一次大的變動(dòng)后往往伴隨著大的變動(dòng)，而一次小的變動(dòng)后對(duì)應(yīng)小的變動(dòng)）。

（2）道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率的時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

從檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率在95%的置信水平下是非常平穩(wěn)的。

（3）道瓊斯對(duì)數(shù)日收益率序列的自相關(guān)檢驗(yàn)（Q檢驗(yàn)）。

對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率滯后5階進(jìn)行檢驗(yàn)，從自相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率有明顯的自相關(guān)。

（4）道瓊斯對(duì)數(shù)日收益率序列的異方差檢驗(yàn)（道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率的平方序列的Q檢驗(yàn)）。

對(duì)道瓊斯對(duì)數(shù)日收益率的平方序列就進(jìn)行Q檢驗(yàn)，即對(duì)道瓊斯指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)道瓊斯對(duì)數(shù)收益率序列存在顯著的異方差，而且是存在高階的異方差。

（四）GARCH族模型的建立

該金融時(shí)間序列既存在自相關(guān)也存在異方差，由于異方差特征更為明顯，其自相關(guān)可能是由于異方差引起的，故考慮先對(duì)異方差進(jìn)行處理。（注：嘗試先對(duì)序列建立AR（3）消除自相關(guān)后再對(duì)異方差進(jìn)行處理建立GARCH族模型，然而發(fā)現(xiàn)GARCH族模型中AR（3）的參數(shù)檢驗(yàn)均未通過(guò)，參數(shù)均不顯著，故最終選擇直接建立收益方程后建立GARCH族模型）。由Q檢驗(yàn)可以看出道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率平方項(xiàng)序列存在高階自相關(guān)，為了避免產(chǎn)生更高的移動(dòng)平均階數(shù)并保證模型的擬合精度，直接開(kāi)始構(gòu)建低階的GARCH族模型。

（1）基于正態(tài)分布的GARCH族模型的建立。

先對(duì)收益率序列建立收益方程，假定殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再對(duì)建立GARCH族模型，得到參數(shù)值和顯著性水平如下圖：

從模型估計(jì)的參數(shù)結(jié)果中可以看出，在95%的置信水平下，GARCH和EGARCH模型的各個(gè)參數(shù)均顯著。再對(duì)模型殘差序列做Q自相關(guān)檢驗(yàn)和殘差平方序列做自相關(guān)Q檢驗(yàn)，即異方差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果略去，發(fā)現(xiàn)模型已經(jīng)顯著消除了自相關(guān)和異方差效應(yīng)，模型擬合良好。

GARCH 模型的系數(shù)在1% 顯著性水平上不為零 ，表明存在道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率具有長(zhǎng)期記憶性 ，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率的相應(yīng)系數(shù)β_1為0.821679，小于 1，表示收益率波動(dòng)率前期波動(dòng)對(duì)本期波動(dòng)的影響呈衰減趨勢(shì)。從長(zhǎng)期效應(yīng)來(lái)說(shuō)，ARCH和GARCH各系數(shù)小于1，說(shuō)明條件異方差平穩(wěn)自身能保持平穩(wěn) ，不需要外力的干擾 。

綜合參數(shù)顯著性水平和比較AIC值的大小，發(fā)現(xiàn)EGARCH模型參數(shù)顯著，且擬合最優(yōu)。寫(xiě)出EGARCH模型的表達(dá)式如下：

rt=0.000327+εt

EGARCH模型中的γ1=-0.15312，小于0，當(dāng)出現(xiàn)正新息時(shí)，則方差會(huì)變小，波動(dòng)會(huì)變小，當(dāng)出現(xiàn)負(fù)新息時(shí)，波動(dòng)會(huì)變大，相同單位的正新息沖擊的波動(dòng)影響比負(fù)新息

的沖擊要大，說(shuō)明新息對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率的變動(dòng)具有不對(duì)稱(chēng)性。而PARCH模型，γ_1不為0，表明系統(tǒng)中有杠桿效應(yīng)，與EGARCH模型結(jié)果相互印證。

（2）基于t分布的GARCH族模型的建立。

先建立收益率序列的收益方程，假定殘差服從t分布，再對(duì)建立GARCH族模型，得到參數(shù)值和顯著性水平如下圖：

從模型估計(jì)的參數(shù)結(jié)果中可以看出，在1%的顯著水平上，GARCH和EGARCH模型的各個(gè)參數(shù)均顯著。再對(duì)殘差做Q自相關(guān)檢驗(yàn)和殘差平方序列做自相關(guān)Q檢驗(yàn)，即異方差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果略去，發(fā)現(xiàn)模型已經(jīng)顯著消除了自相關(guān)和異方差效應(yīng)，模型擬合良好。綜合參數(shù)顯著性水平和比較AIC值的大小，發(fā)現(xiàn)EGARCH模型參數(shù)顯著，且擬合最優(yōu)。同上，EGARCH和PARCH說(shuō)明系統(tǒng)存在杠桿效應(yīng)。

（3）基于GED分布的GARCH族模型的建立。

先對(duì)收益率序列建立收益方程，假定殘差服從GED分布，再對(duì)建立GARCH族模型，得到參數(shù)值和顯著性水平如下圖：

從模型估計(jì)的參數(shù)結(jié)果中可以看出，在5%的顯著水平上，GARCH和EGARCH模型的各個(gè)參數(shù)均顯著。再對(duì)殘差做Q自相關(guān)檢驗(yàn)和殘差平方序列做自相關(guān)Q檢驗(yàn)，即異方差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果略去，發(fā)現(xiàn)模型已經(jīng)顯著消除了自相關(guān)和異方差效應(yīng)，模型擬合良好?？梢钥吹紾ED中自由度顯著小于2，印證了假定殘差序列服從GED分布的合理性。綜合參數(shù)顯著性水平和比較AIC值的大小，發(fā)現(xiàn)EGARCH模型參數(shù)通過(guò)檢驗(yàn)，且擬合最優(yōu)。同上，EGARCH和PARCH表明系統(tǒng)存在杠桿效應(yīng)。

（五）VaR值的計(jì)算

綜合上面9個(gè)模型，可以發(fā)現(xiàn)模型中殘差服從GED、t和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的EGARCH模型擬合最優(yōu)，且參數(shù)全部顯著，故使用從GED、t和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的EGARCH模型進(jìn)行VaR值的計(jì)算，從公式可知，要計(jì)算日VaR_t值，還需求出均值u，條件方差標(biāo)準(zhǔn)差和給定置信水平下GED 分布、t和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。在EGARCH（1，1）-GED模型，可以直接得到均值u；標(biāo)準(zhǔn)差（T = 2，3，4，…2580，）序列，可利用Eviews7.0 生成GARCH 方差序列，得到條件方差σ_t^2后，再對(duì)其開(kāi)方獲得條件標(biāo)準(zhǔn)差；分別給定置信水平為95%，運(yùn)用Eviews7.0的逆累積分布函數(shù)，通過(guò)執(zhí)行語(yǔ)句scalar s=@qged（0.05，1.236233）可獲得自由度為1.236233的GED 分布的置信水平為95%的分位數(shù)，同理可得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布以及t分布的分位數(shù)。再通過(guò)公式計(jì)算可以得到2008年1月3日到2017年12月05日的每日VaR值序列，共有2579個(gè)數(shù)據(jù)。其中VaR值基本信息如下圖所示。

（六）模型的檢驗(yàn)

在95%置信水平下，比較估計(jì)的VaR值和 對(duì)數(shù)日收益率在第t 天的實(shí)際損失值，若實(shí)際損失值大于VaR 值，則計(jì)作失??；對(duì)2579天的失敗數(shù)加總，可得到道瓊斯指數(shù)收益率返回檢驗(yàn)的失敗個(gè)數(shù)，檢驗(yàn)結(jié)果下圖 所示。

直觀上可以觀察到GED分布和正態(tài)分布假定下的失敗率均接近5%，擬合良好。通過(guò)失敗頻率檢驗(yàn)法來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，GED分布通過(guò)計(jì)算置信水平為95%的LR統(tǒng)計(jì)量為3.4446，小于自由度為1的x2統(tǒng)計(jì)量3.841，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為失敗率等于預(yù)先設(shè)定的VaR 置信度5%，認(rèn)為該檢驗(yàn)有效。t分布LR 統(tǒng)計(jì)量為7.334883，大于自由度為1的x2統(tǒng)計(jì)量3.841拒絕原假設(shè)，認(rèn)為失敗率不等于預(yù)先設(shè)定的VaR 置信度5%，模型擬合無(wú)效。正態(tài)分布LR 統(tǒng)計(jì)量1.784545，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為失敗率等于預(yù)先設(shè)定的VaR 顯著性水平5%，模型擬合良好。故最終認(rèn)為在本案例研究中，GED分布和正態(tài)分布對(duì)VaR值擬合較好。

三、結(jié)語(yǔ)

第一，本文的研究表明道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率具有波動(dòng)集聚性。一次大的變動(dòng)后面往往也會(huì)引致大的變動(dòng)，一次小的變動(dòng)后面則容易產(chǎn)生較小的波動(dòng)，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率呈現(xiàn)尖峰肥尾的特征。

第二，道瓊斯指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列存在明顯的杠桿效應(yīng)，負(fù)新息引起的波動(dòng)比同樣大小的正新息更大些。其中，在對(duì)杠桿效應(yīng)進(jìn)行擬合的模型中，EGARCH模型比PARCH模型更好。

第三，在不同分布假定中的對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率的擬合中，比較模型的AIC值，可以發(fā)現(xiàn)，GED分布擬合優(yōu)于t分布擬合，t分布擬合比正態(tài)分布擬合更精準(zhǔn)，說(shuō)明采用尖峰肥尾分布的模型能更好的刻畫(huà)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)日收益率。

第四，在對(duì)VaR值度量時(shí)，發(fā)現(xiàn)殘差序列在尖峰厚尾的分布下，用正態(tài)分布擬合的VaR值也有效，甚至比反映殘差的尖峰肥尾特征的t分布和GED分布還要好，可能與案例研究選取的樣本數(shù)據(jù)時(shí)間和道瓊斯指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率風(fēng)險(xiǎn)大小有關(guān)?？傮w上，EGARCH模型對(duì)VaR值的擬合最佳。（作者單位為鄭州大學(xué)新校區(qū)）