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    數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

    2018-05-14 13:52:16孫美玲
    關(guān)鍵詞:歸納法交點命題

    孫美玲

    [摘 要] 數(shù)學(xué)歸納法是一種非常有用的數(shù)學(xué)方法,它不但對民族地區(qū)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著很大的幫助,而且在今后大學(xué)數(shù)學(xué)課程中也是一種重要的方法,數(shù)學(xué)歸納法對公式的正確性檢驗中也有著很大的應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是將無限化為有限的媒介,主要從幾何、數(shù)列、證明不等式、證明整除等幾個方面來印證數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的地位,目的是通過運用數(shù)學(xué)歸納法來解題,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等能力。

    [關(guān) 鍵 詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)歸納法;問題分析

    [中圖分類號] G632 [文獻標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603(2018)05-0124-01

    數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種證明方法,它是以皮亞諾公理自然數(shù)公理中的歸納公理為大前提、以證明過程中的(1)(2)為小前提的三段論形式的演繹法。合理地運用數(shù)學(xué)歸納法解決問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的一個重要內(nèi)容。

    一、妙用數(shù)學(xué)歸納法解幾何問題

    細細體會數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵:由“n=k時命題成立”,到“n=k+1時命題成立”。這句話可理解為由k個幾何元素又增加了一個元素到k+1個,要找出增加的元素與原來的k個幾何元素彼此間的關(guān)系及其引起的幾何元素的變化,最終找到f(k+1)與f(k)的關(guān)系。

    例1:平面上有n條直線,其沒有兩條平行,也沒有三條直線交于一點,求證這n條直線共有pn=■n(n-1)個交點。

    證明:(1)易知當(dāng)n=2,p2=1,命題成立;

    (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>2)時,命題成立。即k條直線有pk=■k(k-1)個交點。當(dāng)n=k+1時,增加了一條直線,由于沒有兩條直線平行,也沒有三條直線相交于一點,所以新增加的直線與原來k條直線各有一個交點,就是比n=k條直線時增加了k個交點,即

    pk+1=pk+k(即f(k+1)=f(k)+k)=■k(k-1)+k

    =■k[(k-1)+2]=■k(k+1)[(k+1)-1]

    所以當(dāng)n=k+1時,命題也成立。

    由(1)和(2)知,對任意自然數(shù)n命題都成立。

    二、巧用數(shù)學(xué)歸納法解數(shù)列問題

    大家都很熟悉,數(shù)列是一種特殊的函數(shù),它與自然數(shù)有著直接的關(guān)系,所以,在證明數(shù)列問題中自然也會想到用數(shù)學(xué)歸納法對其進行證明。

    例2:已知數(shù)列{an}的通項公式an=■,數(shù)列{bn}的通項滿足bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)。用數(shù)學(xué)歸納法證明:bn=■。

    證明:(1)當(dāng)n=1時,b1=(1-a1)=(1-4)=-3=■=-3成立;

    (2)假設(shè)bk=■,則bk+1=■(1-ak+1)=■1-■=■=■。

    即n=k+1時命題成立。

    由(1)和(2)知,對任意自然數(shù)n命題都成立。

    三、愛用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題

    與自然數(shù)有關(guān)的不等式,我們也可以運用數(shù)學(xué)歸納法對其進行證明。值得注意的是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,在假設(shè)f(k)成立到f(k+1)時,為了利用歸納假設(shè),在變形中常會用替換法放縮不等式。

    例3:用數(shù)學(xué)歸納法證明:

    1+■+■+…+■<2-■(n≥2)

    證明:(1)當(dāng)n=2時,1+■=■<2-■=■,命題成立。

    (2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,即1+■+■+…+■<2-■

    當(dāng)n=k+1時,1+■+■+…+■+■<2-■+■<2-■+■=2-■+■-■=2-■,命題成立。

    由(1)和(2)知,原不等式在n≥2時均成立。

    四、活用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

    在整除性問題,因其與自然數(shù)也密不可分,所以我們也常用數(shù)學(xué)歸納法對其進行證明。在假設(shè)f(k)成立到f(k+1)時,一般的“變形”是將f(k+1)變化表示為f(k+1)=g(k)f(k)+h(k)的形式(必須變?yōu)檫@種形式,才能利用歸納假設(shè)),由歸納假設(shè)知g(k)f(k)能被整除,關(guān)鍵是h(k)也要能被整除即可。

    例4:用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于所有的正整數(shù)n,8n-1都能被7整除。

    證明:(1)當(dāng)n=1時,7能被7整除,原命題成立。

    (2)假設(shè)當(dāng)n=k時,原命題也成立,即8k-1=7t(t為整數(shù)),當(dāng)n=k+1時,8k+1-1=8k+1-8+7=8(8k-1)+7,8(8k-1)+7=56t+7,顯然8n-1也能被7整除。

    由(1)和(2)知,對任意自然數(shù)n命題都成立。

    總之,數(shù)學(xué)歸納法在高中教學(xué)過程中的運用非常廣泛,可以說凡是與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論都可以用它來證明。但是用數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)題的過程中,學(xué)生往往會遇到很多問題,比如式子的變形、放縮等都使學(xué)生無從下手,基于此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生耐心的指導(dǎo),教其會用觀察—猜測—論證的方法來分析問題、解決問題,并且在學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法有了一定認識的基礎(chǔ)上,再給學(xué)生上一堂數(shù)學(xué)歸納法錯誤分析課,這樣會使學(xué)生能夠更加深刻地理解數(shù)學(xué)歸納法,進而更好地掌握它并能很好地把它運用到數(shù)學(xué)解題過程中。數(shù)學(xué)歸納法能夠培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、觀察能力、數(shù)學(xué)化能力、邏輯思維推理能力和解決綜合性問題的能力。另外,它也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的一條紐帶,是初等數(shù)學(xué)中不可或缺的一部分。

    參考文獻:

    [1]蔣文蔚.數(shù)學(xué)歸納法[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1985-06:122-124.

    [2]孫德菊.累計數(shù)學(xué)歸納法[J].數(shù)學(xué)通報,2001(5).

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