特征值與特征向量在工科專業(yè)中的應(yīng)用

楊寒彪 梁婷婷

[摘 要] 特征值與特征向量在現(xiàn)代科學(xué)中有十分重要的應(yīng)用，作為線性代數(shù)的基礎(chǔ)，它在理論和實際生活中都有著重要的作用，很多理工學(xué)科都和它息息相關(guān)。介紹特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上給出了特征值與特征向量在理工科領(lǐng)域中的應(yīng)用，如求主應(yīng)力和K-L變換的人臉識別中的應(yīng)用。當(dāng)然，矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容很廣泛，僅就特征值和特征向量的一些應(yīng)用展開研究。

[關(guān) 鍵 詞] 特征值；特征向量；K-L變換；主應(yīng)力

[中圖分類號] O151.21 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）19-0107-03

第1章 特征值與特征向量的定義和性質(zhì)（來源為《線性代數(shù)》，同濟大學(xué)，p9）

“特征”詞匯來自于德語的eigen。1904年數(shù)學(xué)家希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早數(shù)學(xué)家亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下引用過該詞。eigen一詞也可翻譯為“自身的”“特定于……”“有特征的”或者“個體”——這強調(diào)特征值對定義特定的變換有多么重要。假設(shè)A是p階方陣，若對一個數(shù)λ，存在一個p維非零向量x，使Ax=λx。則稱λ為A的一個特征值或特征根，則稱x為A的屬于特征值λ的一個特征向量。則依該定義有（A-λI）x=0，而x≠0，則故必有

上圖畫出某一數(shù)據(jù)集上各個本征值大小的例子，我們可以看到前三個本征值即前三個主成分的方差占了全部方差的大部分，我們可以根據(jù)這樣的本征值圖譜來決定選擇幾個主成分來代表全部數(shù)據(jù)。很多情況下，可以事先確定希望新特征所能代表的數(shù)據(jù)總方差的比例，然后根據(jù)式（2-20）來試算出適當(dāng)?shù)膋。

選擇相對較少的主成分來表示數(shù)據(jù)，不僅可以用作特征的降維，還用來消除數(shù)據(jù)中的噪聲。一般在本征值譜中排列在后面的主成分（有人稱之為次成分）一般代表著數(shù)據(jù)中的隨機噪聲。此時若把ξ中對應(yīng)本征值的很小的成分當(dāng)做0，再用式反變換回原空間，則實現(xiàn)了對原始數(shù)據(jù)的降噪。PCA（主成分分析）可以將n個特征降維到k個，可以用來進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，例如100維的向量最后可以用10維來表示，那么可知壓縮率為90%。

（三）K-L變換用于人臉識別

在圖像處理技術(shù)中，臉部圖像的處理可以看作分量為每個像素輝度的向量。該向量空間中的維數(shù)是像素的個數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)化面部圖形的一個大型數(shù)據(jù)集合的協(xié)變矩陣的特征向量稱為特征臉。它們對將任何面部圖像表達(dá)為它們的線性組合都非常有用。特征臉提供了一種用于識別目的的數(shù)據(jù)壓縮的方式。這個應(yīng)用中，通常只取最大那些特征值所對應(yīng)的特征臉。

在圖像處理問題中用K-L變換或主成分分析來進(jìn)行提取特征。人臉識別是指通過人臉的圖像在一組候選的人中識別出這個人是誰。下面介紹本征臉方法，這個方法由Turk和Pentland提出。

并從前向后選取所希望數(shù)目的本征臉，也就構(gòu)成了新的特征空間。原圖像樣本在這些新特征方向上的投影構(gòu)成了對原圖像的降維表示。根據(jù)K-L變換的性質(zhì)，當(dāng)前這種降維表示是在所有相同維數(shù)的線性表示中誤差最小的。

一般，選取本征向量的個數(shù)k可以根據(jù)上式的比例來確定。若要保持原數(shù)據(jù)中90%的信息，則我們可以從1漸增到k，直到α大于等于90%為止。對128×128像素的人臉圖像我們只需要很少幾個本征臉就能比較好地表示和分類，這里大大壓縮了特征維數(shù)。每幅圖像在這k個本征臉上的投影系數(shù)就是樣本的新特征，我們可以通過后續(xù)的操作實現(xiàn)對人臉的識別。

設(shè)樣本xi在本征臉空間中的表示是yi= [yi1，…，yik] T，μ是原空間中樣本的均值向量，則由所選擇的k個本征臉可以重構(gòu)出原始的圖像。

第3章 應(yīng)用分析

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一種統(tǒng)計方法。通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。整個PCA的過程就是求協(xié)方差的特征值和特征向量，然后做數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。在模式識別問題中應(yīng)用主成分分析方法，我們知道每一個主成分所提取的信息量可用其方差來度量，其方差Var（ ）越大，表示該特征包含的信息越多。所以首先使用樣本估算協(xié)方差矩陣，求解其特征方程，得到特征值與特征向量，協(xié)方差矩陣的特征根是主成分的方差，而特征向量的方向即為各個主成分方向，選擇適當(dāng)?shù)闹鞒煞肿鳛闃颖镜男绿卣鳎瑢颖就队暗竭@些主成分方向上進(jìn)行分類或聚類。在特征提取中，K-L變換的最基本形式的原理與主成分分析是相同的，但K-L變換能考慮到不同的分類信息，實現(xiàn)監(jiān)督的特征提取。主成分分析可以用來進(jìn)行降維、消除數(shù)據(jù)中的噪聲，并進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。

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