基于優(yōu)化模型的太陽影子定位技術(shù)研究

張向秀，李一萌，陶源盛，張 勇

(1.電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院，四川 成都 611731；2.電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731；3.電子科技大學(xué) 大數(shù)據(jù)研究中心，四川 成都 611731)

在野外活動(dòng)中，定位技術(shù)對于野外工作人員來說已經(jīng)成為一種必不可少的技術(shù)。在地質(zhì)勘測、登山探險(xiǎn)和考古等野外活動(dòng)中，為確保按照預(yù)定路線行進(jìn)，必須能夠正確判斷所處位置和行進(jìn)方向，否則會(huì)導(dǎo)致任務(wù)失敗甚至發(fā)生危險(xiǎn)。常見的羅盤、指南針僅能在方向判斷上給出指示，而GPS等電子定位系統(tǒng)在野外惡劣環(huán)境下可能會(huì)受信號或設(shè)備電量等限制而無法使用。因此，研究設(shè)備簡單、結(jié)果可靠及應(yīng)急使用的定位技術(shù)對保證野外工作的順利進(jìn)行具有重要意義。

太陽光照射在物體上會(huì)形成影子，影子的長度取決于物體的地理位置及太陽方向與影子投射地平面的幾何關(guān)系[1]，文獻(xiàn)[2－5]中就坐標(biāo)系建立、影子長度變化與各因素的關(guān)系作了詳細(xì)闡述。基于太陽影子攜帶地理信息的原理，文獻(xiàn)[1－2]中利用拍攝物體影子和相關(guān)算法成功實(shí)現(xiàn)了照相機(jī)的地理位置和拍攝日期的標(biāo)定。本文提出了一種利用太陽影子軌跡的新型定位技術(shù)，對測量硬件設(shè)備要求相對較低，結(jié)果較為準(zhǔn)確。

1 太陽影子定位技術(shù)的操作流程

太陽影子定位技術(shù)是一種基于測量物體一段時(shí)間內(nèi)在太陽光下產(chǎn)生影子的長度變化情況進(jìn)行定位的技術(shù)，采用該技術(shù)進(jìn)行定位的流程如下:

1)檢查測量地點(diǎn)的環(huán)境條件是否符合要求，該技術(shù)要求光照良好，物體能夠產(chǎn)生清晰可測的影子；同時(shí)要求地面平坦，以免地面起伏對影子長度測量產(chǎn)生影響；

2)擺放直桿，每隔一段時(shí)間測量影子長度并加以記錄；

3)建立基于太陽影子長度確定測量地點(diǎn)的優(yōu)化模型；

4)利用一組測量數(shù)據(jù)，借助計(jì)算機(jī)求解上述優(yōu)化模型，即可得到較為精確的經(jīng)緯度結(jié)果。

2 太陽影子長度的計(jì)算

影子長度與太陽視運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)。用來描述太陽視運(yùn)動(dòng)的模型通常是以地平坐標(biāo)系或赤道坐標(biāo)系為基礎(chǔ)建立的[3－5]，現(xiàn)將二者結(jié)合起來，通過簡單的推算推導(dǎo)出影子長度關(guān)于各個(gè)參數(shù)，如緯度、經(jīng)度、日期和時(shí)刻等的變化規(guī)律。

2.1 太陽影子形成原理

一根直桿在太陽的照射下，其影子的位置在一天中隨太陽的位置不斷變化。假設(shè)在一天中不同時(shí)刻的太陽位置及影子頂點(diǎn)軌跡如圖1所示，立于地面上的桿為OP，某一時(shí)刻太陽光線通過桿頂P點(diǎn)，在水平地面上形成影子，影子頂點(diǎn)為P′。定義太陽光線與地面的夾角∠PP′O＝β，則根據(jù)幾何關(guān)系[6]可得:

式中，L為影子OP′的長度，H為直桿OP的高度。

2.2 坐標(biāo)系建立

在研究桿影的變化時(shí)，為了便于描述太陽相對于地球的運(yùn)動(dòng)位置，以桿頂在陽光下產(chǎn)生的影子頂點(diǎn)移動(dòng)的軌跡代替太陽運(yùn)行軌跡，被稱為太陽的視運(yùn)動(dòng)[3]。在描述太陽的視運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常采用地平坐標(biāo)系和赤道坐標(biāo)系。

圖1 太陽位置與影子頂點(diǎn)軌跡線示意圖

地平坐標(biāo)系是利用太陽方位角和太陽高度角兩個(gè)參數(shù)來描述太陽的位置，如圖2所示。

圖2 地平坐標(biāo)系中的太陽位置

赤道坐標(biāo)系是利用赤經(jīng)和赤緯兩個(gè)參數(shù)來描述太陽的位置，如圖3所示。

圖3 赤道坐標(biāo)系中的太陽位置

2.3 各參數(shù)確定

2.3.1 時(shí)角ω

地方時(shí)[7]的計(jì)算公式如下:

式中，Sbj和Fbj分別為北京時(shí)間的小時(shí)和分鐘，λD和λF分別為被測點(diǎn)的經(jīng)度和經(jīng)分，即一經(jīng)度相當(dāng)于4 min。

時(shí)角的計(jì)算公式如下:

2.3.2 赤緯角的計(jì)算

赤緯角(如圖3中的δ所示)[8]計(jì)算公式近似為:

式中，n為日期序號，如1月1日為n＝1，3月22日為n＝81。

2.3.3 太陽高度角的計(jì)算

太陽高度角(如圖2中的h)[9]點(diǎn)的切平面與某時(shí)刻此點(diǎn)和太陽連線的夾角，對應(yīng)2.1節(jié)中太陽光線與地面的夾角β。太陽高度角h滿足:

式中，?為被測點(diǎn)的緯度。

2.4 太陽影子長度的計(jì)算

根據(jù)式(1)和各參數(shù)的計(jì)算式(2)～式(5)，可以建立影子長度與太陽位置和桿高及各參數(shù)的關(guān)系，導(dǎo)出影子長度L的計(jì)算公式為[10－11]:

3 優(yōu)化模型的建立

為了確定被測地點(diǎn)的經(jīng)緯度和日期，將測量時(shí)間段內(nèi)的影子長度數(shù)據(jù)作為參考序列，利用任意給定的經(jīng)緯度和日期數(shù)據(jù)，代入式(6)計(jì)算出對應(yīng)時(shí)間段內(nèi)的影子長度數(shù)據(jù)，作為待選序列。顯然與被測地點(diǎn)的經(jīng)緯度和日期越接近，利用該數(shù)據(jù)計(jì)算得到的待選序列和參考序列的差別越小。

參考最小二乘擬合[12]思想，以參考序列和待選序列對應(yīng)時(shí)刻的影子長度差的平方和最小作為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)測量時(shí)間段內(nèi)的影長數(shù)據(jù)可以對經(jīng)緯度進(jìn)行約束，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解對應(yīng)的經(jīng)緯度即為直桿所在地點(diǎn)的經(jīng)緯度。

3.1 目標(biāo)函數(shù)

考慮到直桿高度未知，需對參考序列與待選序列的影子長度數(shù)據(jù)統(tǒng)一進(jìn)行歸一化處理，歸一化公式如下[11]:

目標(biāo)函數(shù)的形式為:

式中，L′(k)為待選序列中第k時(shí)刻的歸一化影子長度，L0′(k)為參考序列中第k時(shí)刻的歸一化影子長度。

3.2 約束條件

考慮對經(jīng)度進(jìn)行約束，由于時(shí)區(qū)的差異，當(dāng)北京時(shí)間為某一時(shí)刻時(shí)，只有當(dāng)?shù)貢r(shí)間處于6∶00～18∶00之間，才可能有陽光照射，因此當(dāng)?shù)貢r(shí)間應(yīng)滿足tsun初≥6 和tsun末≤18，其中，tsun初和tsun末為測量時(shí)間段的初、末時(shí)刻對應(yīng)的當(dāng)?shù)貢r(shí)間。

此外，通過測量的影子長度的變化趨勢可以對經(jīng)度范圍作進(jìn)一步的限定，根據(jù)影子長度 “早晚長，正午短”的變化規(guī)律，在正午之前，影子長度遞減，在正午之后，影子長度遞增，可分為以下3種情況:

1)若影子長度遞減，則變化的末時(shí)刻在正午十二點(diǎn)之前，即滿足tsun末≤12；

2)若影子長度遞增，則變化的初時(shí)刻在正午十二點(diǎn)之后，即滿足tsun初≥12；

3)若影子長度先遞減后遞增，則變化的初時(shí)刻在正午十二點(diǎn)之前，即滿足tsun初＜12，變化的末時(shí)刻在正午十二點(diǎn)之后，即滿足tsun末＞12。

根據(jù)當(dāng)?shù)貢r(shí)間的計(jì)算式(2)可反解出經(jīng)度λ的范圍。

緯度有自然約束，取值范圍為－90°≤?≤90°。

4 基于搜索算法的模型求解

求解算法的總體思想是對日期、經(jīng)度及緯度進(jìn)行遍歷，尋找最優(yōu)的日期和經(jīng)緯度組合作為目標(biāo)解。以精細(xì)步長進(jìn)行大范圍搜索，計(jì)算耗時(shí)非常大，不利于實(shí)際應(yīng)用，由粗到精的搜索算法，在保證搜索精度的前提下可有效提高運(yùn)算效率。因此綜合考慮求解的準(zhǔn)確度和效率問題，設(shè)計(jì)了粗略搜索算法＋窮舉法組合的求解算法。

4.1 粗略搜索算法

基于二分法的思想，逐步縮小搜索區(qū)間及步長進(jìn)行多次搜索，快速得到低精度目標(biāo)解。

4.2 窮舉法

在包含低精度目標(biāo)解的小范圍內(nèi)，利用窮舉法以精細(xì)步長進(jìn)行搜索，得到高精度目標(biāo)解。

下面給出粗搜索過程的算法流程:

1)確定初始搜索區(qū)間。日期n滿足{n?N＋，1≤n≤365}；地理緯度?滿足－90°≤?≤90°，地理經(jīng)度λ滿足－180°≤λ≤180°；

2)設(shè)置日期、經(jīng)度、緯度的初始搜索步長為各自搜索區(qū)間長度的1/N1、1/N2、1/N3；

3)按照設(shè)定的搜索區(qū)間和步長進(jìn)行遍歷，得到初始目標(biāo)解 (nobj1，?obj1，λobj1)；

4)根據(jù)上輪搜索得到的目標(biāo)解確定該輪搜索的區(qū)間，日期區(qū)間為[n0＋(nobj1－n0)β，nend－(nobj1－n0)β]，其中0＜β＜1，經(jīng)度及緯度的確定與日期相同；

5)設(shè)置新一輪搜索步長為新搜索區(qū)間長度的1/N1、 1/N2、 1/N3；

6)按照新搜索區(qū)間和步長進(jìn)行遍歷，得到下一個(gè)目標(biāo)解 (nobj2，?obj2，λobj2)；

7)重復(fù)4)～6)，直至搜索步長小于設(shè)定精度結(jié)束搜索，最終得到粗略目標(biāo)解為 (nobjn，?objn，λobjn)；

8) 對得到的最終目標(biāo)解 (nobjn，?objn，λobjn)進(jìn)行適度擴(kuò)展，即可得到待求地點(diǎn)的大致區(qū)間為[nobjn－Δn，nobjn＋Δn]、 [?objn－Δ?，?objn＋Δ?]、[λobjn－Δλ，λobjn＋Δλ]，該區(qū)間作為第二步精搜索的輸入。

5 求解示例

世界某地在12∶41～13∶38時(shí)間段內(nèi)的一組影子長度數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 世界某地12∶41－13∶38時(shí)間段內(nèi)太陽影子長度

利用第4節(jié)設(shè)計(jì)的求解算法和表1提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解。設(shè)定粗略搜索算法的參數(shù)為N1＝10，N2＝20，N3＝40，β＝0.2，至日期、經(jīng)度和緯度的搜索步長均小于1時(shí)結(jié)束搜索。

考慮到南北半球的求解具有對稱性，因此分別對南北半球進(jìn)行搜索。北半球得到的粗略目標(biāo)解為北緯40度、東經(jīng)80度、某年第147天。在包含粗略目標(biāo)解的較小區(qū)間[39°，41°]，[79°，81°]，[142，152]范圍內(nèi)，設(shè)置經(jīng)度、緯度與日期的步長分別為0.01°、0.01°和1天進(jìn)行窮舉搜索，得到的高精度定位結(jié)果如表2所示。

表2 求解結(jié)果(北半球)

為了驗(yàn)證算法的可靠性和準(zhǔn)確性，現(xiàn)對求解結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，給出各個(gè)地點(diǎn)的歸一化影長殘差隨時(shí)間的變化曲線，如圖4所示。

圖4 各求解地點(diǎn)影長殘差圖

由圖4可看出，各個(gè)地點(diǎn)的影長殘差控制在10－4內(nèi)，表明將求解地點(diǎn)與對應(yīng)日期代入影子長度公式，所得影長序列與原始數(shù)據(jù)基本吻合，可見算法比較可行。另外，表1中太陽影子長度的數(shù)據(jù)來源為(79.75°E，39.52°N)，日期為 7月 20日，可見經(jīng)緯度的數(shù)值誤差很小，日期存在較大誤差，可能的原因是5月24日與7月20日基本上關(guān)于夏至日(6月22日)對稱，影長變化存在相似性，若利用角度和方位信息，日期可唯一確定。

6 結(jié)束語

根據(jù)上述討論，不難發(fā)現(xiàn)太陽影子定位技術(shù)的原理簡單、測量設(shè)備要求低、結(jié)果較為準(zhǔn)確，在環(huán)境條件允許的情況下可作為應(yīng)急測量方案?；诒疚牡膬?yōu)化模型與搜索算法可開發(fā)出在移動(dòng)設(shè)備上使用的軟件，用戶只需將自行測量的數(shù)據(jù)及參數(shù)輸入即可較為快速精確地計(jì)算得到經(jīng)緯度等位置信息。此外，通過結(jié)合計(jì)算機(jī)視覺和圖像處理技術(shù)，可對拍攝視頻中物體影子變化進(jìn)行研究，進(jìn)而確定視頻的拍攝地點(diǎn)，使得該項(xiàng)技術(shù)將在刑偵、反恐、偵查等方面的各領(lǐng)域內(nèi)有著更加廣泛的應(yīng)用。

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