一種基于空間稀疏重構(gòu)的匹配場(chǎng)定位方法

陳迎春，蔣亞立

（江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003）

水下聲源定位分為主動(dòng)與被動(dòng)聲納定位。被動(dòng)定位具有高安全性、高隱蔽性、探測(cè)距離遠(yuǎn)的優(yōu)點(diǎn)。匹配場(chǎng)處理（Matched Field Processing，簡(jiǎn)稱MFP）是被動(dòng)目標(biāo)源探測(cè)的重要方法之一。匹配場(chǎng)處理充分利用了陣列信號(hào)處理和聲波在海洋中的傳播特點(diǎn)，定位性能得到大大改善[1]。

近年來，匹配場(chǎng)處理技術(shù)在被動(dòng)聲源定位、水下目標(biāo)檢測(cè)等領(lǐng)域引起熱烈的關(guān)注。提高分辨力一直是匹配場(chǎng)處理研究學(xué)者的一個(gè)重要努力方向。Bartlett處理器（常規(guī)匹配場(chǎng)處理）是由Baggeroer提出的，它是一種典型的線性匹配場(chǎng)方法。如果對(duì)多個(gè)單頻匹配場(chǎng)處理結(jié)果進(jìn)行非相干平均可以達(dá)到降低定位模糊度的效果[2]。匹配場(chǎng)處理根據(jù)權(quán)向量是否依賴于測(cè)量數(shù)據(jù)，可以分為線性匹配場(chǎng)處理和自適應(yīng)匹配場(chǎng)處理兩類[3]。線性匹配場(chǎng)處理方法的典型代表是Bartlett處理器。自適應(yīng)匹配場(chǎng)處理方法的典型代表是MVDR（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）處理器。Bartlett處理器具有較好的寬容性，對(duì)環(huán)境參數(shù)失配等變化不敏感。但是，在后續(xù)研究者使用過程中發(fā)現(xiàn)，用Bartlett處理器處理匹配場(chǎng)問題時(shí)會(huì)出現(xiàn)旁瓣較高的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致定位結(jié)果的模糊區(qū)域較大。最小方差無畸變（MVDR）處理器是自適應(yīng)匹配場(chǎng)處理中最具典型代表性的，由Capon提出。MVDR處理器的優(yōu)點(diǎn)是：能夠很好地抑制旁瓣以及噪聲信號(hào)的擾亂，較好地改善了Bartlett處理器定位模糊的問題。但是，MVDR處理器需要精準(zhǔn)的環(huán)境參數(shù)以及大量的快拍數(shù)，因此MVDR處理器對(duì)軟硬件的要求高，并且對(duì)環(huán)境失配敏感。因此，傳統(tǒng)匹配場(chǎng)處理都存在一些缺點(diǎn)。為了克服這些缺點(diǎn)，本文提出一種匹配場(chǎng)聲源定位方法，它基于空間稀疏重構(gòu)，可以在快拍數(shù)較少的情況下，改善定位模糊問題，實(shí)現(xiàn)更高精度的目標(biāo)源定位。

1 基本原理

1.1 壓縮感知基本理論

壓縮感知[4]是一種不同于傳統(tǒng)信號(hào)采樣定理的方法。它突破了奈奎斯特采樣定理的極限，在采樣的同時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮，一定程度上緩解了數(shù)據(jù)采集和存儲(chǔ)的壓力。壓縮感知理論的誘人應(yīng)用價(jià)值凸顯。目前，壓縮感知技術(shù)已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。壓縮感知表述的內(nèi)容如下：“如果信號(hào)是可壓縮或稀疏的，那么可以將信號(hào)的壓縮采樣和稀疏重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非確定線性觀測(cè)方程數(shù)學(xué)求解的問題[5]。”壓縮感知的三要素是稀疏表示、壓縮采樣和重構(gòu)算法，具體的步驟如下：

1）選取合理的稀疏變換基或者構(gòu)建合理的冗余字典，構(gòu)建稀疏信號(hào)模型[6]，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的稀疏表示；

2）設(shè)計(jì)合理的測(cè)量矩陣，對(duì)信號(hào)壓縮采樣；

3）根據(jù)壓縮采樣所得的數(shù)據(jù)，利用重構(gòu)算法恢復(fù)出原始的信號(hào)。

由壓縮感應(yīng)我們可以知道，陣列在采樣初始信號(hào)的過程中就已經(jīng)進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。如果將水下搜索平面看做一個(gè)二維坐標(biāo)平面，兩個(gè)坐標(biāo)系分別是深度和距離，水下目標(biāo)所在的位置就是坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)。那么，在水下同時(shí)輻射信號(hào)的目標(biāo)源相對(duì)于搜索平面來看是稀疏的。因此，我們說水下目標(biāo)源是稀疏的。在對(duì)目標(biāo)信號(hào)稀疏表示之后，接收陣列采集到的信號(hào)可以表示為：

其中，A是P×H維的投影矩陣。B（l）是H×1維的稀疏向量，并且其中只有少數(shù)的非零元素。C（l）是P×1維的壓縮采樣后的數(shù)據(jù)，N（l）是P×1維的噪聲矢量。

要想求解式（1），可以采用下式：

要想求解式（2）是困難的，它是一個(gè)NP-hard問題。當(dāng)H值很大時(shí)，計(jì)算量巨大，數(shù)值計(jì)算難以實(shí)現(xiàn)[7]。因此目前廣泛采用的方法是以BP為代表的基追蹤算法、以O(shè)MP為代表的貪婪算法等[8]。

1.2 匹配場(chǎng)聲源定位的稀疏表示

如圖1，假設(shè)要搜索的區(qū)域是一個(gè)二維平面區(qū)域。左邊黑色圓點(diǎn)代表接收陣列，接收陣列垂直放置，右邊是搜索區(qū)域，即目標(biāo)源所在的區(qū)域。首先，對(duì)搜索區(qū)域進(jìn)行離散化處理，便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。將該區(qū)域劃分成若干個(gè)用白色圓圈表示的柵格點(diǎn)，柵格點(diǎn)盡可能多，使的離散化處理更加細(xì)密。圖中，右側(cè)灰色實(shí)心點(diǎn)代表聲源的真正位置（圖1中實(shí)際聲源個(gè)數(shù)為D=1）。假設(shè)柵格點(diǎn)之間的間距比較小，那么聲源就會(huì)恰好出現(xiàn)在某一柵格點(diǎn)上[9]。在水下，由于同時(shí)發(fā)出聲音的物體比較少，因此聲源信號(hào)在水下環(huán)境中可以看做空間域里的稀疏信號(hào)，實(shí)現(xiàn)稀疏表示的方法是空間網(wǎng)格劃。然后將信號(hào)源與其空間的位置進(jìn)行對(duì)應(yīng)再進(jìn)行壓縮采樣，最終重構(gòu)出信號(hào)本身進(jìn)而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)聲源定位[10]。

圖1 搜索區(qū)域離散化示意圖

通過以上分析，我們可以使用下面的稀疏表示模型：首先，將目標(biāo)搜索的大概區(qū)域離散化成H個(gè)柵格點(diǎn)，柵格點(diǎn)盡量密，足以使目標(biāo)源恰好落在柵格點(diǎn)上。將它們記作{r1，r2，…rh}。用向量b表示柵格點(diǎn)上的信號(hào)脈沖，b是一個(gè)H×1維的向量，其中的第n個(gè)元素?cái)?shù)值大小代表rn處的柵格點(diǎn)的信號(hào)脈沖強(qiáng)度的大小。如果這里無聲源，那么信號(hào)脈沖強(qiáng)度為0，也就是元素值為0[11]。

假設(shè)接收陣元數(shù)是P，搜索區(qū)域內(nèi)有D個(gè)目標(biāo)源（即b矢量含有非零元素D個(gè)），那么在l時(shí)刻的陣列接收數(shù)據(jù)[12]如下：

其中，A是觀測(cè)矩陣，且A=[a（ω0，r1）a（ω0，r2）…a（ω0，rh）]。a（ω0，rh）是觀測(cè)矩陣中的列向量，a（ω0，rh）=[a1（ω0，rh）a2（ω0，rh）…aP（ω0，rh）]T，h=1，2，…H。ai（ω0，rh），（i=1，2，…P）是從位置rh到第i個(gè)陣元間的格林函數(shù)，也就是信道傳遞函數(shù)。P是接收陣陣元個(gè)數(shù)。D是搜索區(qū)域內(nèi)目標(biāo)源的實(shí)際個(gè)數(shù)，H是搜索區(qū)域內(nèi)柵格點(diǎn)總數(shù)，一般地，H≥D。L代表快拍數(shù)，b（l）∈CH是第l時(shí)刻聲源的發(fā)射信號(hào)，元素的大小對(duì)應(yīng)著發(fā)射信號(hào)的信號(hào)強(qiáng)度，n（l）是l時(shí)刻噪聲強(qiáng)度[13]。

1.3 基于壓縮感知的匹配場(chǎng)聲源定位模型

匹配場(chǎng)定位的基本原理是：“充分利用水聲環(huán)境信息，根據(jù)聲音信號(hào)在水下多徑傳播等特點(diǎn)來確定聲場(chǎng)傳播模型，采用該模型計(jì)算拷貝場(chǎng)向量，將拷貝向量與測(cè)量場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配，從而實(shí)現(xiàn)水下的定位[14]。”

根據(jù)壓縮感知理論可知，基于壓縮感知的匹配場(chǎng)源定位問題可以表示如下：

其中A是P×N維的測(cè)量矩陣，b（l）是稀疏向量。由式（4）可看出，陣列輸出c（l）是一個(gè)P×1階矢量。通常，c（l）比傳統(tǒng)陣列輸出值的階數(shù)要小，也就是說減少了陣列總的輸出數(shù)據(jù)量，這就是壓縮采樣的作用，減少數(shù)據(jù)存儲(chǔ)傳輸量。最終，減小了數(shù)據(jù)計(jì)算量同時(shí)降低了對(duì)接收陣的硬件要求。

為提高估計(jì)的準(zhǔn)確性，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行多次快拍采樣，那么式（4）可以改寫為以下形式：

C=[c（1），c（2），…c（L）]，N=[n（1），n（2），…n（L）]。B=[b（1），b（2），…b（L）]，是待求解的N×L維稀疏矩陣。L是快拍采樣次數(shù)。為求得式（5）的最優(yōu)解，需多次測(cè)量并用如下最優(yōu)化方式：

我們知道這是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式難題，無法獲得最優(yōu)解。廣泛使用的解決辦法是使用重構(gòu)算法?？梢圆捎寐?lián)合重構(gòu)算法。本文采用的是凸松弛混合范數(shù)算法，它類屬于聯(lián)合重構(gòu)算法。

1.4 聯(lián)合重構(gòu)求解匹配場(chǎng)定位模型

為求解式（6），本文采用的聯(lián)合重構(gòu)算法是凸松弛混合范數(shù)算法。當(dāng)ε=0時(shí)，式（6）可以改寫為：

利用聯(lián)合重構(gòu)算法進(jìn)行匹配場(chǎng)定位的步驟是先求解式（7）得到稀疏向量b（l），也就得到了b（l）中非零元素位置，然后結(jié)合信號(hào)空間稀疏模型，根據(jù)每個(gè)b（l）中非零元素位置確定匹配場(chǎng)源定位的結(jié)果[15-17]。

綜上所述，本文所提出的基于空間稀疏重構(gòu)的匹配場(chǎng)源定位的步驟可以歸納為:

1）將搜索的區(qū)域離散化成H個(gè)柵格點(diǎn)，柵格劃分足夠細(xì)密。假設(shè)所有目標(biāo)源都在這些離散的柵格點(diǎn)上面，那么目標(biāo)源的位置就與空間劃分的位置對(duì)應(yīng)起來。

2）根據(jù)公式（1），可以得到陣列接收信號(hào)的空間域稀疏表示模型，選取合適的測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮采樣，從而得到陣列輸出信號(hào)，即式（3）；

3）運(yùn)用類屬聯(lián)合重構(gòu)算法的凸松弛混合范數(shù)算法求解式（7），分析稀疏向量b（l）中非零元素對(duì)應(yīng)的位置，最終實(shí)現(xiàn)匹配場(chǎng)聲源的定位估計(jì)[18-19]。

2 仿真結(jié)果分析

在以上理論推導(dǎo)之下，本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證本文所提的基于空間稀疏重構(gòu)的匹配場(chǎng)聲源定位方法的有效性與可行性。仿真環(huán)境假定為：海水密度是1.0 g/cm3，海水聲速是1 500 m/s，海底介質(zhì)密度是1.8 g/cm3，海底聲速是1 800 m/s。搜索區(qū)域柵格點(diǎn)數(shù)目H=5 000，掃描步長(zhǎng)是1 m，水平和垂直掃描范圍為0～100 m和0～50 m。陣列采用均勻垂直水聽器陣列，陣元個(gè)數(shù)為P=7。仿真中加入輸入信噪比為SNR=10 dB的高斯白噪聲。真正的聲源位置坐標(biāo)是（40，25）和（80，25）。

2.1 可行性分析

在以上實(shí)驗(yàn)條件下，對(duì)本文所提的基于空間稀疏重構(gòu)的匹配場(chǎng)聲源定位方法進(jìn)行仿真試驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖2所示。可見，本文所提的方法在快拍數(shù)較少的情況下能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行定位，定位結(jié)果是（40，25）和（80，25）。因此本文所提的方法具有可行性。

圖2 本文所提方法實(shí)現(xiàn)定位的結(jié)果圖

2.2 單次快拍定位

由于進(jìn)行MVDR要求信號(hào)的協(xié)方差矩陣滿秩，而單次快拍僅進(jìn)行一次快拍采樣，不能滿足要求。所以，此處不討論MVDR算法，而僅比較bartlett算法及聯(lián)合重構(gòu)算法的定位性能。仿真的結(jié)果如圖3圖4所示。圖3是聯(lián)合重構(gòu)算法的匹配場(chǎng)定位結(jié)果圖，定位結(jié)果為（40，25）和（80，25）。此時(shí)的水平定位誤差以及垂直定位誤差都是0，所以聯(lián)合重構(gòu)算法可以對(duì)聲源位置進(jìn)行精確的定位。圖4是bartlett算法定位結(jié)果圖，從中可以看到僅僅能明顯定位出位置（80，25）處的聲源，而且位置略有偏差而且旁瓣很高。

圖3 聯(lián)合重構(gòu)算法的匹配場(chǎng)源定位結(jié)果

圖4 bartlett算法的匹配場(chǎng)源定位結(jié)果

2.3 多次快拍定位

多次快拍時(shí)，信號(hào)的協(xié)方差矩陣可以滿秩。所以在多塊拍定位時(shí)，仿真比較bartlett、MVDR和聯(lián)合重構(gòu)3種算法的定位性能。仿真結(jié)果分別見圖5、圖6和圖7。從圖中可以看出bartlett和MVDR的定位結(jié)果存在較大旁瓣，定位的模糊區(qū)域較大，定位效果不理想。然而基于聯(lián)合重構(gòu)算法的匹配場(chǎng)定位結(jié)果模糊區(qū)域很小，定位精度較高，定位的結(jié)果為（40，25）和（80，25）。

圖5 bartlett算法的匹配場(chǎng)源定位結(jié)果

圖6 MVDR算法的匹配場(chǎng)源定位結(jié)果

圖7 聯(lián)合重構(gòu)算法的匹配場(chǎng)源定位結(jié)果

3 結(jié) 論

本文在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上提出一種新的匹配場(chǎng)源定位方法，即基于空間稀疏重構(gòu)匹配場(chǎng)源定位方法。這種方法能有效地克服bartlett、MVDR等匹配場(chǎng)定位方法旁瓣較高，定位模糊區(qū)域較大的缺點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)較高精度源定位。仿真實(shí)驗(yàn)證明：本文所提的方法能夠在陣元數(shù)目較少的情況下對(duì)水下目標(biāo)聲源進(jìn)行高精度的定位。為解決匹配場(chǎng)聲源定位問題提供了一種新的有效的途徑。

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