從一題多解談向量問題的解決方法

鄒司偉

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215000)

本文利用“一題多解”的理念，從不同角度分析解決一道習(xí)題，旨在幫助學(xué)生總結(jié)歸納向量問題的常用解法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的習(xí)慣和敢于創(chuàng)新的能力.

一、向量分解法

設(shè)∠COA′=α，利用正弦定理得到：

=2cos(60°-α).

于是α=60°時(shí)x+y取最大值2.

或者使用余弦定理：

注意到∠CA′O=60°，從而得到等式：x2+y2-1=xy.

利用基本不等式易得x+y的最大值為2.

二、建系求解法

如圖3建立坐標(biāo)系：

由題意得

解得：

易知當(dāng)α=60°時(shí),x+y取最大值2.

三、內(nèi)積求解法

如果從向量?jī)?nèi)積角度出發(fā)，我們可以通過內(nèi)積的方法，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，從而求解問題.

之后步驟類似方法二.

四、幾何解法

而向量問題往往可以有幾何解釋，我們利用等和線的知識(shí)可以得到另一個(gè)解法：

作出圖形：

本題的幾種解法中，解法一，四比較依賴圖形的幾何性質(zhì)，而解法二，三更偏向于代數(shù).

本題將圓替換為橢圓，圓的優(yōu)良的幾何性質(zhì)丟失了，從而用向量分解或者幾何轉(zhuǎn)化的方法都解決不了.而通過坐標(biāo)系或者內(nèi)積，將問題代數(shù)化仍然有效.

觀察問題，發(fā)現(xiàn)題目中有關(guān)鍵詞“外心”，從而由外心的幾何性質(zhì)，聯(lián)想到使用內(nèi)積的方法將問題代數(shù)化后就能有效解決.

參考文獻(xiàn)：

[1] 任燕.淺談一題多解應(yīng)注意的問題[J].速讀旬刊,2016(10).

[2] 張軒.小議高中數(shù)學(xué)中的一題多解[J].魅力中國,2016(18).