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      從一題多解談向量問題的解決方法

      2018-05-09 05:58:19鄒司偉
      數(shù)理化解題研究 2018年4期
      關(guān)鍵詞:內(nèi)積一題等式

      鄒司偉

      (江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215000)

      本文利用“一題多解”的理念,從不同角度分析解決一道習(xí)題,旨在幫助學(xué)生總結(jié)歸納向量問題的常用解法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的習(xí)慣和敢于創(chuàng)新的能力.

      一、向量分解法

      設(shè)∠COA′=α,利用正弦定理得到:

      =2cos(60°-α).

      于是α=60°時(shí)x+y取最大值2.

      或者使用余弦定理:

      注意到∠CA′O=60°,從而得到等式:x2+y2-1=xy.

      利用基本不等式易得x+y的最大值為2.

      二、建系求解法

      如圖3建立坐標(biāo)系:

      由題意得

      解得:

      易知當(dāng)α=60°時(shí),x+y取最大值2.

      三、內(nèi)積求解法

      如果從向量?jī)?nèi)積角度出發(fā),我們可以通過內(nèi)積的方法,將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式,從而求解問題.

      之后步驟類似方法二.

      四、幾何解法

      而向量問題往往可以有幾何解釋,我們利用等和線的知識(shí)可以得到另一個(gè)解法:

      作出圖形:

      本題的幾種解法中,解法一,四比較依賴圖形的幾何性質(zhì),而解法二,三更偏向于代數(shù).

      本題將圓替換為橢圓,圓的優(yōu)良的幾何性質(zhì)丟失了,從而用向量分解或者幾何轉(zhuǎn)化的方法都解決不了.而通過坐標(biāo)系或者內(nèi)積,將問題代數(shù)化仍然有效.

      觀察問題,發(fā)現(xiàn)題目中有關(guān)鍵詞“外心”,從而由外心的幾何性質(zhì),聯(lián)想到使用內(nèi)積的方法將問題代數(shù)化后就能有效解決.

      參考文獻(xiàn):

      [1] 任燕.淺談一題多解應(yīng)注意的問題[J].速讀旬刊,2016(10).

      [2] 張軒.小議高中數(shù)學(xué)中的一題多解[J].魅力中國,2016(18).

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