基于改進(jìn)的正則化子空間追蹤算法的ISAR成像

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(大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622)

0 引言

逆合成孔徑雷達(dá)(Inverse Synthetic Aperture Radar, ISAR)具有全天時(shí)遠(yuǎn)距離目標(biāo)成像的優(yōu)勢(shì)，已被廣泛應(yīng)用于軍事及民用等領(lǐng)域[1]。傳統(tǒng)的FFT成像方法，成像分辨率受發(fā)射信號(hào)帶寬和目標(biāo)轉(zhuǎn)角的限制[2]，而發(fā)射大帶寬信號(hào)以及增加相干處理時(shí)間會(huì)產(chǎn)生龐大的數(shù)據(jù)，對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)的A/D轉(zhuǎn)換速率、數(shù)據(jù)傳輸及存儲(chǔ)等有較高的要求[3]。因此，有必要研究一種以較少的觀測(cè)樣本實(shí)現(xiàn)高精度ISAR成像的算法。

近年來發(fā)展迅速的壓縮感知(Compressive Sensing, CS)理論[4]指出，當(dāng)信號(hào)或信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏的，就可通過求解一個(gè)最優(yōu)化問題，以少量的信號(hào)測(cè)量值通過稀疏恢復(fù)算法高概率的恢復(fù)出原始信號(hào)。而對(duì)于ISAR成像而言，目標(biāo)回波由目標(biāo)上所有散射點(diǎn)回波疊加而成[5]，其中強(qiáng)散射點(diǎn)起主導(dǎo)作用，其數(shù)目遠(yuǎn)小于回波采樣點(diǎn)數(shù)，滿足稀疏信號(hào)的特征[6]，因此可以將CS應(yīng)用于ISAR成像領(lǐng)域，緩解傳統(tǒng)成像方法帶來的超大數(shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)和傳輸壓力。

將CS理論應(yīng)用于ISAR成像[7]的關(guān)鍵在于根據(jù)具體情況選擇或設(shè)計(jì)一種快速有效的重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的精確重構(gòu)。近年來眾多的綜述類文章都對(duì)稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行了歸納和分類[8]。凸優(yōu)化和貪婪追蹤算法是目前被廣泛使用的兩類算法。凸優(yōu)化算法重構(gòu)精度高，但計(jì)算比較復(fù)雜；相比之下，貪婪類算法在重構(gòu)精度和計(jì)算量之間取得了較好的平衡，迅速成為研究的熱點(diǎn)之一[9]。貪婪類算法的代表性算法為正交匹配追蹤算法(OMP)[10]。目前大多數(shù)的貪婪類算法都是對(duì)OMP算法加以改進(jìn)，以提高算法的重構(gòu)精度與計(jì)算效率。例如StOMP算法是對(duì)原子識(shí)別步驟的改進(jìn)[11]，而SP[12]和CoSaMp[13]等算法則是在原子識(shí)別步驟改進(jìn)的基礎(chǔ)上，增加了冗余原子修剪的步驟，來遞歸的進(jìn)行重構(gòu)支撐集選擇。對(duì)于雷達(dá)信號(hào)而言，由于不同目標(biāo)散射點(diǎn)的散射強(qiáng)度不同，故信號(hào)幅度往往是隨機(jī)起伏的，對(duì)于這一類信號(hào)，若直接使用上述的OMP或SP等算法進(jìn)行重構(gòu)，則會(huì)產(chǎn)生兩類重構(gòu)錯(cuò)誤問題：一類是幅度相對(duì)小的信號(hào)分量不能被正確重構(gòu)；第二類是幅度相對(duì)較大的信號(hào)附近會(huì)產(chǎn)生“虛假”重構(gòu)信號(hào)[14]。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于感知階段無法選出正確的原子，或是選出的原子不能很好地表達(dá)原信號(hào)，最終導(dǎo)致重構(gòu)失敗[15]?；诖?，本文提出基于改進(jìn)的正則化子空間追蹤算法(MRSP)的ISAR成像方法。

1 壓縮感知ISAR成像模型

ISAR成像實(shí)質(zhì)上是用成像算法將回波中包含的散射點(diǎn)的位置和強(qiáng)度以圖像的方式表示。若雷達(dá)與目標(biāo)間平動(dòng)分量已經(jīng)被補(bǔ)償?shù)?，則ISAR目標(biāo)成像等效為轉(zhuǎn)臺(tái)模型[16]。假設(shè)雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻信號(hào)：

(1)

其中，tr是快時(shí)間，fc是載頻，γ是調(diào)頻率，Tp是脈沖寬度。距離脈沖壓縮后，忽略二次項(xiàng)與常數(shù)相位項(xiàng)，則目標(biāo)上某散射點(diǎn)p(xp,yp)的回波信號(hào)表達(dá)式近似為：

(2)

其中，A表示回波信號(hào)幅度，Ta為觀測(cè)時(shí)間，λ為波長(zhǎng)，c為光速。假設(shè)觀測(cè)時(shí)間內(nèi)目標(biāo)轉(zhuǎn)角較小，則R(tm)≈R0+yp+xpωtm，R0為雷達(dá)與目標(biāo)基準(zhǔn)點(diǎn)的距離。根據(jù)式(2)所示脈沖壓縮后的信號(hào)，假設(shè)某距離單元包含K個(gè)較強(qiáng)的散射點(diǎn)，并考慮加性噪聲，則此單元的回波信號(hào)表示為：

(3)

其中，Bk和fk分別表示第k個(gè)散射點(diǎn)的散射系數(shù)和多普勒頻率。

ISAR數(shù)據(jù)中的強(qiáng)散射點(diǎn)數(shù)相對(duì)于全部數(shù)據(jù)來說具有稀疏特性，因此原始數(shù)據(jù)圖像可以通過CS技術(shù)進(jìn)行感知重構(gòu)[17]。定義時(shí)間向量t=[1∶N]TΔt，N=Ta/Δt為脈沖數(shù)量，Δt=1/fr表示時(shí)間分辨率，fr為脈沖重復(fù)頻率。定義多普勒頻域的頻率分辨率為Δf，因此，離散的多普勒向量可以定義為fd=1：NTΔf。因此，構(gòu)建一個(gè)傅里葉基為：

此時(shí)，將式(3)某個(gè)距離單元的回波信號(hào)寫成矩陣形式為：

s=Ψα+n

(4)

其中，α為信號(hào)s在Ψ域的稀疏表示向量，其非零分量對(duì)應(yīng)于K個(gè)最大散射點(diǎn)的復(fù)幅度。

在基于壓縮感知的ISAR數(shù)據(jù)成像中，測(cè)量矩陣Φ∈RM×N(M

y=ΦΨα+n′=Θα+n′

(5)

考慮加性噪聲，ISAR信號(hào)重構(gòu)優(yōu)化問題可以寫為：

(6)

式中，ε為噪聲門限，Θ=φΨ為感知矩陣。如何設(shè)計(jì)有效的重構(gòu)算法重構(gòu)式(6)，避免重構(gòu)錯(cuò)誤問題，提高重構(gòu)效率是本文的主要目的。

2 基于改進(jìn)的正則化子空間追蹤算法的ISAR成像

2.1 改進(jìn)的正則化子空間追蹤算法(MRSP)

OMP算法作為最早的貪婪算法之一，其對(duì)于之后的各種改良算法和新提出的算法都具有重要的指導(dǎo)意義。從現(xiàn)有的研究結(jié)果來看，對(duì)OMP計(jì)算量的改善通常以損失些許重構(gòu)性能為代價(jià)，而性能的改善則以較高的運(yùn)算量或存儲(chǔ)量為成本[18]。對(duì)比之下，SP算法具有較好的計(jì)算速度和重構(gòu)概率，但是SP算法在每次回溯時(shí)，強(qiáng)信號(hào)分量總是得到保留，以至于在后續(xù)的回溯中，強(qiáng)信號(hào)分量遮擋弱信號(hào)分量，出現(xiàn)重構(gòu)錯(cuò)誤現(xiàn)象[14]?？紤]實(shí)際應(yīng)用，本文提出MRSP算法，采用黃金比例分割法(0.618法)[19]確定正則化過程實(shí)現(xiàn)支撐集的二次篩選，以及回溯反饋的思路來更加準(zhǔn)確地估計(jì)、擴(kuò)充目標(biāo)信號(hào)的真實(shí)支撐域，最終重構(gòu)出稀疏信號(hào)，使得壓縮感知重構(gòu)算法更具實(shí)用性。

MRSP算法在每次迭代過程中，首先計(jì)算殘差r，然后求殘差與感知矩陣Θ中各個(gè)原子(本文所提“原子”指組成感知矩陣Θ的各個(gè)列向量)之間的相關(guān)系數(shù)u，從u中挑選出絕對(duì)值最大的K(K為信號(hào)的稀疏度)個(gè)原子的索引值存入索引集J，然后采用正則化過程繼續(xù)篩選原子，根據(jù)式0.618|u(i)|≤|u(j)|，i，j∈J，將J中索引值所對(duì)應(yīng)的原子的相關(guān)系數(shù)分成若干組，選取能量最大的一組相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)的原子的索引值存入J0中，完成正則化過程；然后將該索引集J0并入當(dāng)前支撐集索引Λ中，更新支撐集T并利用最小二乘法進(jìn)行信號(hào)估計(jì)，再根據(jù)回溯思想，選取前m(m

值得注意的是，現(xiàn)有的重構(gòu)算法中涉及到正則化優(yōu)選原子的文獻(xiàn)都是根據(jù)式0.5|u(i)|≤|u(j)|,i,j∈J進(jìn)行原子篩選，而本文所提算法采用黃金比例分割法確定正則化過程，根據(jù)式0.618|u(i)|≤|u(j)|,i,j∈J進(jìn)行正則化識(shí)別候選集中能量最大的部分原子。黃金比例分割法是一種經(jīng)典的優(yōu)化算法，能夠以盡可能少的試驗(yàn)次數(shù)盡快找到實(shí)驗(yàn)中的最優(yōu)方案，故本文采用此種方法來確定正則化過程能更加精確快速的優(yōu)選出真實(shí)原子，提高支撐集的可靠性。此外，本文所提算法在回溯反饋時(shí)，只選取前m(m

輸入：測(cè)量向量y，感知矩陣Θ，稀疏度K；

1)初始化：迭代次數(shù)t=1；殘差ro=y；索引值集合J=?，Λ=?；支撐集T=?；

2)計(jì)算相關(guān)系數(shù)u=abs[ΘTrt-1](即計(jì)算〈rt-1，θj〉，1≤j≤N)，并將u中絕對(duì)值最大的K個(gè)值所對(duì)應(yīng)的索引值存入J；

3)正則化：根據(jù)式0.618|u(i)|≤|u(j)|，i，j∈J，將J中索引值所對(duì)應(yīng)的原子的相關(guān)系數(shù)分成若干組，找出能量最大的子集J0；

4)更新Λt=Λt-1∪J0，Tt=Tt-1∪θj(j∈J0)；

6)更新殘差

7)t=t+1，如果t≤K則返回第(2)步繼續(xù)迭代；如果t>K或‖rt-rt-1‖2≤ε則停止迭代；

2.2 基于MRSP算法的CS-ISAR成像

基于本文所提MRSP算法的CS-ISAR成像算法步驟可以描述如下：

1)對(duì)雷達(dá)回波信號(hào)進(jìn)行脈沖壓縮得到頻域上的稀疏信號(hào)；

2)設(shè)計(jì)測(cè)量矩陣Θ。為了能精確重建出原始信號(hào)，測(cè)量矩陣Θ與稀疏基Ψ需要滿足不相關(guān)的要求，故測(cè)量矩陣Θ采用隨機(jī)高斯矩陣，矩陣滿足均值為0，方差為1的正態(tài)分布。

3)稀疏采樣。測(cè)量矩陣在方位向總的N個(gè)脈沖中隨機(jī)抽取M個(gè)脈沖，即N維的回波信號(hào)經(jīng)測(cè)量矩陣Θ降維處理得到M維的觀測(cè)信號(hào)y，這個(gè)低維的觀測(cè)信號(hào)包含了重構(gòu)信號(hào)的絕大部分信息。

4)信號(hào)重構(gòu)。采用重構(gòu)算法MRSP對(duì)觀測(cè)信號(hào)y進(jìn)行重構(gòu)。選定閾值ε，當(dāng)殘差‖rt-rt-1‖2≤ε時(shí)停止迭代，否則繼續(xù)迭代過程。

5)雷達(dá)圖像后處理。將重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行適當(dāng)組合即可得到雷達(dá)圖像。

3 仿真及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

3.1 MRSP算法重構(gòu)性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證該算法的有效性與可行性，分別選取兩種信號(hào)對(duì)該算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。定義壓縮率γ=M/B，M為觀測(cè)數(shù)，N為原始信號(hào)長(zhǎng)度。

1)隨機(jī)信號(hào)壓縮重構(gòu)

隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度N=256，稀疏度K=12的隨機(jī)信號(hào)。采用高斯隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣，利用MRSP算法對(duì)該隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)中選擇壓縮率γ=0.25，即測(cè)量點(diǎn)數(shù)M=64。重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的對(duì)比如圖1所示，重構(gòu)誤差如圖2所示。

2)線性調(diào)頻信號(hào)壓縮重構(gòu)

選擇線性調(diào)頻信號(hào)s(t)=exp(1.5×1012jπt2)，信號(hào)長(zhǎng)度取N=1 024。采用離散傅里葉變換構(gòu)成的正交基作為稀疏基，采用高斯隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣，利用MRSP算法對(duì)調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)中選擇壓縮率γ=0.5，即測(cè)量點(diǎn)數(shù)M=512，重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的對(duì)比以及重構(gòu)誤差如圖3所示。

從以上仿真可以看出使用MRSP算法重建的信號(hào)能夠較好地反映原始信號(hào)，重構(gòu)誤差較小，故MRSP算法重構(gòu)性能較好，是一種有效可行的重構(gòu)算法。

3.2 重建性能比較

本部分利用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證OMP、SP、MRSP三種算法的信號(hào)重建性能。仿真實(shí)驗(yàn)選取一個(gè)長(zhǎng)度為256的稀疏信號(hào)，稀疏度為 12，即包含 12個(gè)非零隨機(jī)數(shù)，其他元素全部為0。測(cè)量矩陣采用高斯隨機(jī)矩陣。仿真過程中，當(dāng)殘差小于1×10-6時(shí)，表示信號(hào)重建成功，停止迭代。

為驗(yàn)證測(cè)量數(shù)M變化對(duì)三種算法重建性能的影響，設(shè)定量測(cè)數(shù)從24以等間隔5增加到 256，每個(gè)測(cè)量數(shù)下進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，三種算法重建成功概率結(jié)果如圖4所示。

可見，當(dāng)測(cè)量數(shù)較少時(shí)，三種算法的重建概率都較低；隨著測(cè)量數(shù)的增加，三種算法重建概率都逐漸增大。對(duì)比來講，隨著測(cè)量數(shù)的增多，MRSP算法重建成功概率要高于OMP、SP算法。

接下來驗(yàn)證信號(hào)稀疏度K變化對(duì)三種算法重建性能的影響。設(shè)定稀疏度從1以等間隔5增加到70，每個(gè)稀疏度下進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，重建成功概率結(jié)果如圖5所示。

由圖5可得，當(dāng)稀疏度K>16時(shí)，OMP算法重建概率開始下降；當(dāng)K>36時(shí)，SP、MRSP算法的重建概率開始下降，但SP算法重建概率下降速度較快，而MRSP算法下降速度較平緩。由此可知，隨著信號(hào)稀疏度的增加，MRSP算法性能更加穩(wěn)定、準(zhǔn)確重建效果較OMP算法、SP算法更好。

3.3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)成像

本節(jié)選取YaK-42飛機(jī)的一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文所提算法成像性能。其相關(guān)的雷達(dá)參數(shù)為：載頻5.52 GHz，脈寬25.6 μs，脈沖重復(fù)頻率400 Hz。實(shí)驗(yàn)中選取256個(gè)脈沖序列作為全孔徑數(shù)據(jù)量。

為驗(yàn)證本文所提算法的成像性能，對(duì)回波信號(hào)分別進(jìn)行傳統(tǒng)R-D成像、OMP算法、SP算法以及本文所提MRSP算法成像。仿真時(shí)，傳統(tǒng)R-D算法利用256個(gè)全回波數(shù)據(jù)進(jìn)行成像；基于壓縮感知的OMP算法、SP算法以及本文所提算法成像時(shí)，采用離散傅里葉變換構(gòu)成的正交基作為稀疏基，采用高斯隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣，選擇壓縮率γ=2/3，即測(cè)量回波脈沖個(gè)數(shù)為M=170。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6(a)是利用256個(gè)回波的R-D成像結(jié)果，圖6(b)—(d)是基于CS算法的成像結(jié)果。比較可見，利用CS成像算法，僅需170個(gè)回波脈沖即可得到相應(yīng)的成像效果，甚至更少的回波都能得到有效成像，說明壓縮感知方法是有效可行的，能夠利用較少的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行有效成像，在數(shù)據(jù)完整性、傳輸以及存儲(chǔ)空間等方面具有很高的優(yōu)越性。

比較圖6(b)—(d)成像結(jié)果，相同運(yùn)行環(huán)境，相同回波脈沖個(gè)數(shù)條件下，MRSP算法較OMP算法、SP算法得到的成像結(jié)果聚焦性更好、更加清晰。對(duì)比這三種成像算法的峰值信噪比PSNR和運(yùn)行時(shí)間：OMP算法的PSNR為5.474 3 dB，運(yùn)行時(shí)間為12.246 1 s；SP算法的PSNR為4.407 8 dB，運(yùn)行時(shí)間為10.420 9 s；MRSP算法的PSNR為5.662 9 dB，運(yùn)行時(shí)間為7.238 4 s；與SP算法相比，MRSP算法成像結(jié)果峰值信噪比PSNR提高了約1.2 dB，運(yùn)行時(shí)間提高約30%；與OMP算法相比，MRSP算法成像結(jié)果峰值信噪比PSNR提高了約0.2 dB，運(yùn)行時(shí)間提高約40%。由此可以得出，本文提出的MRSP算法與OMP、SP算法相比，成像效果更好、運(yùn)行時(shí)間更短，具有更好的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文提出了基于改進(jìn)的正則化子空間追蹤算法的ISAR成像方法。該方法采用壓縮感知理論，將SP算法與正則化思想結(jié)合，采用回溯反饋和貪婪精選的方法進(jìn)行支撐集選擇，并利用黃金比例分割法確定正則化過程實(shí)現(xiàn)支撐集的二次篩選，提高了對(duì)稀疏信號(hào)支撐集的估計(jì)精度；減少了傳統(tǒng)ISAR成像中對(duì)大數(shù)據(jù)的要求，降低了雷達(dá)成像系統(tǒng)的復(fù)雜性，以較少的觀測(cè)信息獲得較高質(zhì)量的目標(biāo)圖像，在一定程度上解決了大量數(shù)據(jù)傳輸及存儲(chǔ)的難題。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法對(duì)較少的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，既能獲得更加清晰的成像結(jié)果，又能進(jìn)一步提高運(yùn)算速度，是一種有效可行的重構(gòu)算法。

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