立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡度量問(wèn)題的探究

吳成強(qiáng) 劉恒榮

立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是一個(gè)有趣和值得研究的問(wèn)題，在高考中也注重考查.關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度、面積、體積及它們的最值等度量問(wèn)題的求解，不少學(xué)生還是感到有一些困難，其主要原因是對(duì)軌跡圖形難以弄清.而要明了軌跡圖形的形狀，需要有一定的空間想象能力和邏輯推理能力，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)，掌握一定的技巧和方法.本文對(duì)立體幾何中軌跡度量問(wèn)題做一些探究，起一點(diǎn)拋磚引玉的作用.

1動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度

動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度計(jì)算，關(guān)鍵是要弄清軌跡圖形的形狀.常見(jiàn)軌跡圖形的長(zhǎng)度計(jì)算，主要是線段、圓（或圓?。┑拈L(zhǎng)度的計(jì)算.

例1已知四面體ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點(diǎn)A的距離是233的點(diǎn)形成一條曲線，這條曲線長(zhǎng)度是（）

A.32πB.3πC.536πD.33π

所以∠DAH=π6，所以∠EAH=π4-π6=π12.

同理∠GAF=π12，動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡圖形為EF，F(xiàn)G，GH，HE，其中EF，EH，F(xiàn)G均是以A為圓心的圓弧，GH是以D為圓心的圓弧，軌跡長(zhǎng)度為l=（π3+π12+π12）·233+π2·33=32π，故選A.

評(píng)注學(xué)生做這道題普遍感到困難的是弄不清軌跡圖形的形狀，尤其是GH弧，它是以D為圓心、DH為半徑的圓弧，學(xué)生容易出錯(cuò).這道題對(duì)空間想象能力有較高的要求.

圖2例2正方體的棱長(zhǎng)為3，A為頂點(diǎn)，P點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，PA=2，求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度.

解析如圖2所示，軌跡圖形是由6條圓弧組成，不含A點(diǎn)的正方體三個(gè)面上運(yùn)動(dòng)軌跡為EN，F(xiàn)G，MH，其長(zhǎng)度均為π2·1=π2，含A點(diǎn)的正方體三個(gè)面上運(yùn)動(dòng)軌跡為EF，GH，MN，其長(zhǎng)度均為π6·2=π3，所以所求軌跡圖形的長(zhǎng)度為l=3×π2+3×π3=5π2.

評(píng)注本題用到分類討論思想，分含A點(diǎn)的正方體三個(gè)面上運(yùn)動(dòng)軌跡和不含A點(diǎn)的正方體三個(gè)面上運(yùn)動(dòng)軌跡.含A點(diǎn)的正方體三個(gè)面上運(yùn)動(dòng)軌跡是以A點(diǎn)為圓心，圓心角均為π6，不含A點(diǎn)的正方體三個(gè)面上運(yùn)動(dòng)軌跡不是以A點(diǎn)為圓心，而是分別以另外三個(gè)直角頂點(diǎn)為圓心，圓心角均為π2.學(xué)生對(duì)這些軌跡圖形容易搞錯(cuò)，這需要有一定的空間想象能力和邏輯推理能力.

圖3例3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為BC的中點(diǎn)，P為正方體內(nèi)切球球面上任一點(diǎn)，C1M⊥DP，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圖形的長(zhǎng)度.

解析如圖3，取AA1中點(diǎn)E，BB1中點(diǎn)F，易知C1M⊥平面CDEF，所以P點(diǎn)的軌跡就是平面CDEF截正方體內(nèi)切球所得的截面圓，易知正方體內(nèi)切球半徑R=1，設(shè)BC1∩B1C=O1，則O1點(diǎn)到FC的距離d即為球心O到平面CDEF的距離.

根據(jù)面積關(guān)系，得12×1×2=12×CF×CB1×sin∠FCB1=12×5×22×sin∠FCB1，所以sin∠FCB1=110，d=O1C·sin∠FCB1=2×110=15.

所以截面圓的半徑r=R2-d2=1-15=255，所以P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為2πr=455π.

評(píng)注 P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，直線DP是動(dòng)直線，而直線C1M是定直線，因此要保證C1M⊥DP，就必須滿足定直線C1M垂直于動(dòng)直線DP所掃過(guò)的平面，這個(gè)平面就是CDEF平面，又P為正方體內(nèi)切球球面上任一點(diǎn)，所以P點(diǎn)的軌跡圖形就是平面CDEF截球面所得的小圓，而要求小圓的半徑，就是要求出球心到截面圓的距離d，學(xué)生對(duì)這種層層逼近、不斷深入的思維過(guò)程往往感到有些困難，對(duì)學(xué)生空間想象能力和合理運(yùn)算能力也有較高的要求.

圖4例4如圖4，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE的沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中：

①BM是定值；②點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；③存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE；④動(dòng)點(diǎn)A1的軌跡為球面上的一個(gè)小圓，其長(zhǎng)度為2π.其中正確的命題是.

解析坐標(biāo)系建立如圖所示，易知A1點(diǎn)的軌跡是yoz坐標(biāo)平面上以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓，其坐標(biāo)為（0，2cosθ，2sinθ），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，22，0），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（22，2+22cosθ，22sinθ），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（22，2，0），易得BM=3222+22cosθ2+22sinθ2=5，由此可知BM是定值，所以①正確；點(diǎn)M在以B為球心，以為5半徑球面上運(yùn)動(dòng)，所以②正確；取線段A1D的中點(diǎn)N，則MN是△A1CD的中位線，MN∥CD，所以MN∥BE且有MN=BE，所以四邊形BMNE為平行四邊形，所以MB∥NE，又NE在平面A1DE內(nèi)，所以存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE，故③正確；

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），則有x=22， y=2+22cosθ，z=22sinθ，

所以有（y-2）2+z2=22cosθ2+22sinθ2=12，故點(diǎn)的軌跡是半徑為22的圓，其長(zhǎng)度為2π，故④正確.

評(píng)注本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量和坐標(biāo)法的思想巧妙解決問(wèn)題.本題也可以先驗(yàn)證③正確，再根據(jù)③得出①與②是正確的.

2動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度的最值

動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度最值問(wèn)題，常常需要利用幾何體的側(cè)面（或表面）展開(kāi)圖，或者將有關(guān)的平面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使一個(gè)平面處在另一個(gè)平面延展面的位置，然后再利用幾何中最小長(zhǎng)度原理（即平面上連接兩點(diǎn)間的直線段最短）求解.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是要會(huì)利用幾何體的展開(kāi)圖，教師要強(qiáng)化學(xué)生利用側(cè)面（或表面）展開(kāi)圖解決最值問(wèn)題的意識(shí)，使學(xué)生熟練地掌握這一方法.

例5已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)均為a為，∠APB=∠APC=∠BPC=40°，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周回到A點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M軌跡長(zhǎng)度的最小值.

圖5 解析如圖5所示，將三棱錐沿側(cè)棱PA剪開(kāi)攤平得到側(cè)面展開(kāi)圖，易知∠APA′=120°，PA=PA′=a，線段AA′即為動(dòng)點(diǎn)M軌跡長(zhǎng)度最小值，易得AA′=3a，所以動(dòng)點(diǎn)M軌跡長(zhǎng)度最小 值為3a.

評(píng)注解決本題的關(guān)鍵是利用側(cè)面展開(kāi)圖，這是求側(cè)面上軌跡圖形長(zhǎng)度最值問(wèn)題的最有效、最簡(jiǎn)便的方法，要訓(xùn)練學(xué)生牢固掌握這一方法.

例6已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2cm，4cm，AB是側(cè)面上的母線，AB=6cm，一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)B繞側(cè)面一周運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的最小值.

圖6解析如圖6，把 圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，沿母線SAB剪開(kāi)攤平，側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，易知∠BSB′=2π3，線段BA′與AA′相交，設(shè)M為AA′上任一點(diǎn)，∠BSM=x，則∠A′SM=2π3-x，SA′=6，SB=12，y=BM+MA′=180-144cosx+6·（2π3-x），y′=144sinx2180-144cosx-6.

由y′=0得2sinx=5-4cosx，4cos2x-4cosx+1=0，cosx=12，x=π3，易知y在[0，π3] 遞減，在[π3，2π3]遞增，所以當(dāng)x=π3時(shí)，ymin=63+2π.

易知，此時(shí)BM為AA′的切線，M為切點(diǎn).

評(píng)注因?yàn)榫€段BA′ 與AA′ 弧相交，所以直接求線段BA′ 的長(zhǎng)度是錯(cuò)誤的，而這恰恰是很多學(xué)生所容易犯的錯(cuò)誤.運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度要想最小，質(zhì)點(diǎn)必須從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AA′ 弧上一點(diǎn)M處，再?gòu)腗點(diǎn)沿MA′ 弧運(yùn)動(dòng)到A′點(diǎn).M點(diǎn)在AA′ 弧上的何處，需要通過(guò)列函數(shù)式求解.求解的結(jié)果可以看出，BM與AA′ 弧相切，這是一個(gè)很好的結(jié)論，值得體會(huì).

3動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形的面積

動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形面積問(wèn)題，一般是動(dòng)直線所掃過(guò)的圖形，求解關(guān)鍵是要弄清動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線所掃過(guò)的軌跡圖形的形狀，這需要有一定的空間想象能力和邏輯推理能力.常見(jiàn)的軌跡圖形主要是三角形、四邊形、圓面、球面等.

例7在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是線段AD1和B1C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP=B1Q，P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線段PQ在平面BCC1B1內(nèi)的射影所形成的面積.

解析如圖7，易知P點(diǎn)在平面BCC1B1內(nèi)的射影P′ 落在線段BC1上，且BP′=AP=B1Q，所以P′Q∥BB1，圖7所以PQ在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中射影P′Q形成的軌跡圖形為△OBB1和△OCC1，所以所求軌跡圖形面積為S=12×1×1=12.

評(píng)注本題解決的關(guān)鍵是要弄清P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ在平面BCC1B1內(nèi)的射影圖形是什么形狀，從教學(xué)實(shí)踐情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)PQ在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中射影P′Q滿足P′Q∥BB1感到有一點(diǎn)困難.

例8已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，長(zhǎng)為2的線段的兩端點(diǎn)P、Q分別在棱DD1上和面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求PQ中點(diǎn)M形成的軌跡圖形的面積.

所以M點(diǎn)形成的軌跡圖形是以D為球心，1為半徑的18球面.

S=18×4π×12=π2.

評(píng)注解決這類問(wèn)題要用到立體幾何線面垂直的有關(guān)性質(zhì)得出PD⊥DQ，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得出DM=1，從而得出M點(diǎn)形成的軌跡圖形是以D為球心，1為半徑的18球面，問(wèn)題迎刃而解.

4動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形的面積的最值

動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形面積最值問(wèn)題的求解，首先需要弄清動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線所掃過(guò)的軌跡圖形的形狀，然后列出面積關(guān)系式，再根據(jù)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求得面積的最值.有些問(wèn)題可直接根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，得出面積的最值.

例9已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=1，F(xiàn)為AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=λAD（0≤λ≤12），E為底面ABCD的中心，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足A1P=xAF+yAE（x，y∈R），求動(dòng)直線A1P所掃過(guò)的平面圖形面積的最小值.

圖9解析如圖9所示，易知A1P所掃過(guò)平面圖形為平行四邊行A1FMG，建立空間直角坐標(biāo)系， 易知A1（0，0，0），F(xiàn)（0，4λ，1），E（2，2，1）

a=A1F=（0，4λ，1），

b=AG=FM=2FE=2（2，2-4λ，0）

a·b=16λ-32λ2，a2=16λ2+1，b2=32（2λ2-2λ+1）.

設(shè)a與b夾角為θ，則

S=a·b·sinθ=a·b·1-cos2θ

=a2·b2-（a·b）2

=（16λ2+1）·32·（2λ2-2λ+1）-（16λ-32λ2）2

=420λ2-4λ+2=420（λ-110）2+95

因?yàn)?≤λ≤12，所以當(dāng)λ=110時(shí)，Smin=495=1255.

評(píng)注本題解決的關(guān)鍵是要弄清動(dòng)直線A1P所掃過(guò)的平面圖形的形狀，而面積關(guān)系式則通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的辦法得出，這一方法對(duì)本題的求解顯得比較巧妙，值得體會(huì)和總結(jié).

5動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形的體積或體積的最值

動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形的體積或體積的最值問(wèn)題，需要分析幾何體的形狀，恰當(dāng)選擇幾何體的底面和高，使問(wèn)題求解變得簡(jiǎn)便.

例10在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P1、P2分別是線段AB和BD1上的動(dòng)點(diǎn)，且不包括端點(diǎn)，在P1、P2運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖10線段P1P2始終平行于平面A1ADD1，求動(dòng)點(diǎn)P1、P2和定點(diǎn)A、B1所形成的幾何體P1P2AB1體積的最大值.

解析如圖10，作P2O⊥平面ABB1A1，O為垂足，設(shè)AP1=x，則P1B=1-x，由△BP1P2∽△BAD1得P1P2AD1=P1BBA=1-x，由△OP1P2∽△A1AD1得OP2A1D1=P1P2AD1=1-x，所以O(shè)P2=（1-x）A1D1=1-x，VP2-P1AB1=13·S△P1AB1·OP2=13·12·x·1·（1-x）=16x（1-x）≤16·（x+1-x2）2=124.

等號(hào)成立的條件為x=1-x，即x=12.

評(píng)注解決本題的關(guān)鍵是要列出體積關(guān)系式.抓住動(dòng)線段P1P2始終平行于平面A1ADD1這一條件，得出△OP1P2∽△A1AD1，從而找到相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，再選擇以P2為頂點(diǎn)，△P1AB1為底面，則容易列出體積關(guān)系式.根據(jù)體積關(guān)系式，不難求出體積的最大值.

例11已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，空間有一點(diǎn)M（不在平面ABCD內(nèi)），滿足MA+MB=10，求三棱錐M—ABC的體積的最大值.

解析由MA+MB=10知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢球面，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=5，短半軸長(zhǎng)b=4，動(dòng)點(diǎn)M到底面ABC距離的最大值為橢圓的短半軸長(zhǎng)4，所以體積的最大值為

Vmax=13·12·6·6·4=24.

評(píng)注本題動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是根據(jù)橢圓定義得出的，體現(xiàn)了立體幾何與解析幾何交匯，是高考命題的新動(dòng)向，也對(duì)考生的綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求.

立體幾何中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題還有很多方面，它們往往比較新穎靈活，對(duì)空間想象能力和邏輯推理能力有較高要求，也需要有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí).數(shù)學(xué)之魅力，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)有很強(qiáng)的內(nèi)在規(guī)律，教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)中所隱含的內(nèi)在規(guī)律，使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)的思想方法，理解數(shù)學(xué)的精髓，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，并在問(wèn)題的解決中體驗(yàn)成功的快樂(lè)，激發(fā)探究的熱情和動(dòng)力，不斷發(fā)展創(chuàng)造力.

作者簡(jiǎn)介吳成強(qiáng)（1963—），男，正高級(jí)教師，安徽省特級(jí)教師，安徽省池州市首屆拔尖人才，池州市首批名師工作室主持人，池州市學(xué)科帶頭人，池州市優(yōu)秀教師，十佳教師，安徽省教壇新星，安徽省先進(jìn)工作者（省勞模），全國(guó)五一勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)芦@得者，第十屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)獲得者，2014年安徽省教育年度人物.在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等省級(jí)以上刊物發(fā)表學(xué)術(shù)論文70多篇，有兩篇論文被中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.