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      修正Durrmeyer型Bernstein-Stancu算子的逼近

      2018-05-08 02:21:46徐華錢程
      關(guān)鍵詞:師范大學(xué)情形算子

      徐華,錢程

      (1. 杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院, 浙江 杭州 310036; 2. 杭州師范大學(xué) 理學(xué)院, 浙江 杭州 311121)

      0 引 言

      以C[0,1]表示定義在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)函數(shù)的全體,對(duì)于任意f∈C[0,1]的函數(shù),其對(duì)應(yīng)的Bernstein算子和Bernstein-Durrmeyer算子分別定義如下:

      其中,

      這2類算子在逼近論和計(jì)算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有許多重要的應(yīng)用,對(duì)其逼近性質(zhì)的研究也已經(jīng)相當(dāng)廣泛. 2010年,GADJIEV等[1]定義了以下推廣形式的Bernstein-Durrmeyer型算子:

      其中,αk,βk,k=1,2為滿足以下條件的正常數(shù): 0≤α1≤β1,0≤α2≤β2,而

      最近,DONG等[4]引入了下列基于Sn,α,β(f,x)的Durrmeyer型算子:

      其中,

      由于(lemma 1[3])

      (1)

      t4/(2-λ)‖g″‖},

      (2)

      (3)

      其中x~y意為存在正常數(shù)c使得c-1y≤x≤cy.

      本文的主要結(jié)論為:

      定理1設(shè)f為[0,1]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),0≤λ≤1. 則存在一個(gè)僅依賴于λ,α1,α2,β1,β2的正常數(shù)C,使得

      其中,

      而ω(f,t)為f在[0,1]上的通常連續(xù)模.

      文中,C總表示一個(gè)絕對(duì)正常數(shù)或僅依賴于某些參數(shù)(除f,n和x以外)的正常數(shù),其值在不同地方可以不同.

      定理2設(shè)f為[0,1]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),0<α<2/(2-λ),0≤λ≤1,則

      意味著

      (ii)ω(f,t)=O(tα(1-λ/2)).

      1 引理及證明

      引理1對(duì)于任意γ≥0,有

      x∈[0,1].

      證明利用文獻(xiàn)[3]中的引理1,對(duì)任意γ≥0,有

      因此,

      由此,引理1得證.

      引理2對(duì)任意x∈[0,1],有

      證明記

      由文獻(xiàn)[6]有

      且有

      (5)

      注意到(見文獻(xiàn)[4]):

      Δn(x)~δn(x),x∈[0,1].

      (6)

      由式(5)即得

      引理2得證.

      引理3對(duì)任意x∈[0,1],有

      (7)

      (8)

      證明直接計(jì)算,得

      又因?yàn)?/p>

      第2階段,繼續(xù)推進(jìn)“四同步”工作機(jī)制,以副中心道路新建、改建和擴(kuò)建為契機(jī),全面推進(jìn)城市副中心新城155 km2智慧交通管理科技系統(tǒng)建設(shè).

      所以

      由此,

      (9)

      若x∈[0,1]An,不妨設(shè)

      (10)

      若x∈An,則有

      (11)

      綜合式(9)~(11),即得式(9).

      下證式(8).由式(6)知:

      因此,

      Cα,λ={f∈C([0,1]),‖f‖0<+};

      引理4如果0≤λ≤1,0<α<2,則

      (12)

      (13)

      證明分2種情形證明式(12).

      Δn(x)~φ(x),x∈Bn.

      (14)

      通過簡單計(jì)算可得

      (15)

      其中,

      (16)

      由式(13)~(16)得

      由引理1和引理3,得

      情形2

      此時(shí),顯然有

      注意到

      其中,qn-1,-1(x)=qn-1,n(x)=0,故有

      利用式(16)并使用H?lder不等式2次,得到

      上式第4個(gè)不等式利用了以下事實(shí)(由類似于式(7)的推導(dǎo)可得):

      綜合情形1和2的討論,式(12)獲證.

      現(xiàn)在,證明式(13). 如果

      則使用H?lder不等式2次,可得

      C‖f‖1.

      上式最后一個(gè)不等式用到了式(8).

      類似于引理4的證明,可以得到:

      引理5若0≤λ≤1,0<α<2,那么

      x∈[0,1],β<2,則有

      x∈[0,1],0≤β≤2,則有

      2 定理的證明

      定理1的證明定義輔助算子

      (17)

      其中,

      易知

      (18)

      Sn,α,β(1,x)=1,Sn,α,β(t-x,x)=0,

      (19)

      ‖Sn,α,β‖≤3.

      (20)

      由式(18)可知,

      (21)

      (22)

      (23)

      (24)

      由式(20)和(21)有

      |Sn,α,β(f,x)-f(x)|≤|Sn,α,β(f-g,x)|+

      |f(x)-g(x)|+|Sn,α,β(g,x)-g(x)|≤

      4‖f-g‖+|Sn,α,β(g,x)-g(x)|≤

      (25)

      注意到φ2λ(x)與Δ2λ(x)在[0,1]上是凹函數(shù),對(duì)于任意的t,x∈[0,1],以及介于x與t之間的u,令

      u=θx+(1-θ)t, 0≤θ≤1,

      則有

      (26)

      (27)

      利用Taylor公式:

      以及式(19)與(27),有

      當(dāng)x∈Bn時(shí),由式(14)、(26)、(18)、引理2和式(23),得

      Cn-1Δ2-2λ(x)‖φ2λg″‖≤

      (28)

      (29)

      上式最后一個(gè)不等式利用了式(23)和(24).

      結(jié)合式(17)、(21)、(25)、(28)與(29),定理1得證.

      定理2的證明由引理4~引理7,按照文獻(xiàn)[7]中的方法可證得定理2,此證明略.

      參考文獻(xiàn)(References):

      [1] GADJIEV A D, GHORBANALIZACH A M. Approximation properties of a new type Bernstein-Stancu polynomials of one and two variables[J].AppliedMathematicsComputation, 2010, 216(3): 890-901.

      [2] STANCU D D. Approximation of functions by a new class of linear polynomial operators[J].RevueRoumainedeMathematiquesPuresetAppliquees, 1968, 13(8): 1173-1194.

      [3] WANG M L, YU D S,ZHOU P.On the approximation by operators of Bernstein-Stancu types[J].AppliedMathematicsComputation, 2014, 246(11): 79-87.

      [4] DONG L X, YU D S, ZHOU P. Pointwise approximation by a Durrmeyer variant of Bernstein-Stancu operators [J].JournalofInequalityApplications, 2017(1): 28.Doi: 10.1186/S13660-016-1291-x.

      [5] DITZIAN Z, TOTIK V.ModuliofSmoothness[M]. Berlin/New York: Springer-Verlag, 1987.

      [6] ACAR T, ARAL A, GUPTA V. On approximation properties of a new type Bernstein-Durrmeyer operators[J].MatheticalSlovaca, 2015,65(5): 1107-1122.

      [7] GUO S, LIU L. The pointwise estimate for modified Bernstein operators[J].StudiaScientiarumMathematicarumHungarica, 2001, 37(1): 69-81.

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