求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間易錯(cuò)點(diǎn)剖析

■華騰飛

在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),由于對(duì)概念和法則理解不清、把握不準(zhǔn),常常會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生。下面舉例分類剖析,希望能引起同學(xué)們的注意,以避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生。

一、忽視基本函數(shù)致錯(cuò)

剖析:要參照基本函數(shù)y=sinx,就必須把自變量x的系數(shù)化為正數(shù),這是因?yàn)榍€y=sin(-3x)已由曲線y=sinx經(jīng)過了沿x軸的翻折變換。

注意:上述兩種解法的結(jié)果看似不同,這只不過是形式不同而已,其實(shí)質(zhì)上是相同的。

二、忽視函數(shù)的定義域致錯(cuò)

錯(cuò)解:因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=lgz是單調(diào)遞增函數(shù),所以只需求出z=sin(3x -)的單調(diào)遞增區(qū)間即可。

剖析:求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),不能忽視函數(shù)的定義域。

三、忽視復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間致錯(cuò)

四、忽視題設(shè)條件致錯(cuò)

剖析:由題意可知,只需求出區(qū)間(-2π,2π)內(nèi)的遞增區(qū)間即可。

五、忽視參數(shù)的取值符號(hào)致錯(cuò)

例5 討論函數(shù)y=acosx+b的單調(diào)區(qū)間。

錯(cuò)解:當(dāng)函數(shù)y=cosx單調(diào)遞增,即x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)時(shí),所求函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)函數(shù)y=cosx單調(diào)遞減,即x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)時(shí),所求函數(shù)單調(diào)遞減。

剖析:對(duì)含參數(shù)問題,若參數(shù)的取值符號(hào)不確定,則必須對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。上述解法是由于想當(dāng)然地認(rèn)為a＞0導(dǎo)致錯(cuò)解的。

正解:當(dāng)a=0時(shí),y=b為常函數(shù),這時(shí)沒有單調(diào)區(qū)間;

當(dāng)a＞0時(shí),所求函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-π,2kπ](k∈Z),遞減區(qū)間為[2kπ,2kπ+π](k∈Z);

當(dāng)a＜0時(shí),所求函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ,2kπ+π](k∈Z),遞減區(qū)間為[2kπ-π,2kπ](k∈Z)。