數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用探究

■河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 殷珂宇

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開基本的思想方法,解數(shù)學(xué)高考題更要講究思想方法,否則寸步難行。數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)的基本方法之一,“考綱”不僅要求我們掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及其步驟,還要求我們能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。那么,什么是數(shù)學(xué)歸納法呢?

一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N+)時(shí)命題成立;

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N+)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法。

那么,數(shù)學(xué)歸納法能幫助我們破解哪些問題呢?

一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

例1 已知n∈N+,證明:1

思路分析：等式的左邊有2n項(xiàng),右邊有n項(xiàng),左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數(shù),末項(xiàng)與n有關(guān),右邊的分母是從n+1到n+n的連續(xù)正整數(shù),首、末項(xiàng)都與n有關(guān)。

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)等式成立,即:

那么當(dāng)n=k+1時(shí):

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

綜合①②知對(duì)一切n∈N+,等式都成立。

感悟與總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意:明確初始值n0的取值并驗(yàn)證n=n0時(shí)命題的真假(必不可少)?！凹僭O(shè)n=k(k∈N+且k≥n0)時(shí)命題正確”,寫出命題形式,分析“n=k+1時(shí)”命題是什么,并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別。弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng),明確等式左端變形目標(biāo),掌握恒等式變形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等。

二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

思路分析：由“an+1=f(an),數(shù)列 {bn} 滿足”找到bn與bn+1之間的關(guān)系。

感悟與總結(jié)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意兩個(gè)問題:(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),若應(yīng)用其他方法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時(shí)成立,推證n=k+1時(shí)也成立,證明時(shí)用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明。

三、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除,其中n為正整數(shù)。

思路分析：當(dāng)n=k+1時(shí),把42(k+1)+1+3k+3配湊成42k+1+3k+2的形式是解題的關(guān)鍵。

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),42×1+1+31+2=91能被13整除。

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),42k+1+3k+2能被13整除,則當(dāng)n=k+1時(shí):

所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

由(1)(2)知,當(dāng)n∈N*時(shí),42n+1+3n+2能被13整除。

感悟與總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí),P(k)?P(k+1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn),可找出它們之間的差異,然后將P(k+1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式,也可運(yùn)用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除”。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題主要分為兩類:一是整除數(shù),二是整除代數(shù)式。這兩類證明最關(guān)鍵的問題是“配湊”要證的式子(或是叫作“提公因式”),即當(dāng)n=k+1時(shí),將n=k時(shí)假設(shè)的式子提出來,再變形,然后進(jìn)行證明。

四、用數(shù)學(xué)歸納法破解“歸納—猜想—證明”問題

例4 已知數(shù)列{an}中,a1=5,Sn-1=an(n≥2且n∈N*)。

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達(dá)式。

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式。

思路分析：可以先從觀察入手,發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn),以形成解決問題的初步思路,然后用歸納的方法進(jìn)行試探,提出猜想,最后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。

解：(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=20。

猜想:an=5×2n-2(n≥2,n∈N*)。

(2)證明:①當(dāng)n=2時(shí),a2=5×22-2=5成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,即ak=5×2k-2(k≥2且k∈N*),則n=k+1時(shí),ak+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+5+10+…+5×

故當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立。

由①②可知,對(duì)n≥2且n∈N*,都有an=5×2n-2。

感悟與總結(jié)：解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納—猜想—證明”問題及不等式證明時(shí),以下幾點(diǎn)容易造成失分,我們應(yīng)高度重視:

(1)歸納整理不到位得不出正確結(jié)果,從而給猜想造成困難。

(2)證明n=k到n=k+1這一步時(shí),忽略了假設(shè)條件去證明,造成使用的不是純正的數(shù)學(xué)歸納法。

(3)不等式證明過程中,不能正確合理地運(yùn)用分析法、綜合法來求證。

實(shí)際上,只要我們理解和掌握了基礎(chǔ)知識(shí),多思考,多探究,熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法中幾種常見的推證技巧,就能快速正確地解決問題。