基礎(chǔ)沉降計(jì)算的數(shù)值積分算法

許德勝

(上海同豪土木工程咨詢有限公司，上海市 200092)

0 引言

基礎(chǔ)在承受上部結(jié)構(gòu)荷載后會(huì)發(fā)生沉降，基礎(chǔ)的沉降必然會(huì)引起上部結(jié)構(gòu)下沉，從而影響結(jié)構(gòu)的正常使用。基礎(chǔ)沉降對超靜定結(jié)構(gòu)還會(huì)引起結(jié)構(gòu)的附加內(nèi)力，影響結(jié)構(gòu)的安全性[1]。

基礎(chǔ)沉降的計(jì)算方法主要有以下三類：彈性力學(xué)方法、分層總和法和地基規(guī)范法[2,3]。彈性力學(xué)方法基于均質(zhì)半空間假設(shè)的Boussinesq位移解進(jìn)行計(jì)算,由于實(shí)際地基為非均質(zhì)成層土，導(dǎo)致該方法得到的基礎(chǔ)沉降量比實(shí)際沉降量偏大。分層總和法把地基土視為線性變形體，假定外載作用下的地基變形僅發(fā)生在有限厚度的壓縮層，通過將壓縮層分層并求解各層附加應(yīng)力，利用土的側(cè)限壓縮曲線分別求得各層的壓縮量，并將分層的壓縮量求和計(jì)算基礎(chǔ)的最終沉降。分層總和法通?？傻玫奖葟椥粤W(xué)方法更接近實(shí)際的解答，但為保證計(jì)算精度，對土層的分層厚度有嚴(yán)格要求，計(jì)算工作量較大[4]。地基規(guī)范法是目前《建筑地基基礎(chǔ)規(guī)范》推薦的計(jì)算方法[5]，是對分層總和法的改進(jìn)和簡化，通過采用平均附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算基礎(chǔ)沉降量，該方法與實(shí)際情況吻合較好?，F(xiàn)行規(guī)范給出了矩形基礎(chǔ)的平均附加應(yīng)力系數(shù)表格，對任意形狀基礎(chǔ)的沉降計(jì)算需采用角點(diǎn)法，簡化為相應(yīng)矩形基礎(chǔ)才能計(jì)算，對基礎(chǔ)荷載的分布情況在使用上也存在限制。

本文基于Boussinesq應(yīng)力解答，通過將基礎(chǔ)所在區(qū)域做網(wǎng)格離散，利用二維高斯數(shù)值積分計(jì)算各土層的附加應(yīng)力。其后，沿土層厚度方向?qū)λ酶郊討?yīng)力做一維高斯數(shù)值積分，可直接計(jì)算基礎(chǔ)沉降量，無需平均附加應(yīng)力系數(shù)的計(jì)算。文中方法本質(zhì)上為規(guī)范基礎(chǔ)沉降計(jì)算方法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)，但該算法可適用于任意的基礎(chǔ)形式，可精確考慮任意荷載分布，更便于計(jì)算機(jī)程序的實(shí)現(xiàn)。

1 土層附加應(yīng)力計(jì)算

圖1所示彈性半空間表面作用豎向集中力P時(shí)，半空間內(nèi)任意點(diǎn)處豎向附加應(yīng)力的彈性力學(xué)解答可由Boussinesq解答得到[3]，

圖1 集中力P作用下的彈性半空間中任意點(diǎn)M

對任意分布荷載p（x，y），在任意點(diǎn)M處豎向附加應(yīng)力可通過積分表達(dá)為：

其中，Ω為荷載的分布區(qū)域，若要考慮相鄰基礎(chǔ)或臺(tái)背路基填土等其他荷載的影響，則這些區(qū)域也應(yīng)計(jì)入該積分域。

本文采用高斯數(shù)值積分方法計(jì)算（2）式表達(dá)的附加應(yīng)力。為此，將求解域Ω離散為若干四邊形單元，三角形單元可視為具有共節(jié)點(diǎn)的四邊形單元的退化形式，見圖2。若存在相鄰基礎(chǔ)或其他臨近荷載，則相鄰基礎(chǔ)或附加荷載所在區(qū)域同樣要做網(wǎng)格劃分。網(wǎng)格離散后引入有限單元法中平面四節(jié)點(diǎn)等參元的等參變換[6,7]。

其中，Nk=（1+ζkζ）（1+ηkη），k=1～4 為四節(jié)點(diǎn)等參單元的插值形函數(shù)，對單元域內(nèi)任意點(diǎn)的荷載集度p（x,y）可采用相同的插值函數(shù)進(jìn)行插值。

此時(shí)，任意空間點(diǎn)M處的附加應(yīng)力可按式（4）進(jìn)行計(jì)算：

式中：ne為劃分的單元數(shù)；nx和ny為單元內(nèi)沿x向和y向布置的高斯點(diǎn)數(shù)；wj和wk為求積系數(shù)；f（ξj,ηk）為式（2）中在積分點(diǎn)位置的被積函數(shù)；J1為式（3）坐標(biāo)變換所定義的雅可比矩陣。利用式（4）即可計(jì)算得到任意分布的基底壓力p（x,y）作用下，在不同位置處的附加應(yīng)力值。

2 基礎(chǔ)沉降計(jì)算

《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》給出的基礎(chǔ)沉降量計(jì)算公式為[5]：

式中：s為地基最終沉降量;ψs為沉降計(jì)算經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，可由當(dāng)量壓縮模量確定；n為地基沉降計(jì)算深度范圍內(nèi)的土層數(shù)；p0為準(zhǔn)永久組合時(shí)的基底壓力分布；Esi為第i層土壓縮模量，可由土的壓縮曲線得到；zi和zi-1為基礎(chǔ)底面至第i層土和第i-1層土底面的距離；αi和αi-1為基礎(chǔ)底面至第i層土和第i-1層土底面范圍內(nèi)的平均附加應(yīng)力系數(shù)。

根據(jù)平均附加應(yīng)力系數(shù)的定義[3,8]，式（5）可表達(dá)為下述積分形式：

對任意給定的基礎(chǔ)沉降計(jì)算點(diǎn)S（x,y），其下任意深度z處的附加應(yīng)力σz（z）可由式（4）進(jìn)行計(jì)算，而任意深度z處的壓縮模量Es（z）可直接由土的側(cè)限壓縮曲線得到，為準(zhǔn)確計(jì)算積分點(diǎn)位置的壓縮模量，本文采用了文獻(xiàn)[9]中的非線性擬合方法。

為計(jì)算式（6），引入一維等參變換[6,7]，

其中，插值形函數(shù) Nj=（1+ζjζ）/2；不難看出，該插值形函數(shù)與兩節(jié)點(diǎn)桿單元的形函數(shù)完全相同。式（6）的積分同樣可用高斯積分表達(dá)為：

其中，J2為式（7）坐標(biāo)變換定義的的雅可比矩陣。需要指出，上式中沉降計(jì)算經(jīng)驗(yàn)系數(shù)ψs需采用壓縮模量當(dāng)量值查規(guī)范表格得到，而當(dāng)量壓縮模量的計(jì)算表達(dá)式同樣可通過高斯積分計(jì)算，過程與式（8）的推導(dǎo)類似，不再贅述。

3 程序?qū)崿F(xiàn)流程

為考核本文計(jì)算方法的有效性，按圖3所示流程編制了相應(yīng)的計(jì)算程序。需要指出，在深度方向僅設(shè)置一個(gè)高斯積分點(diǎn)時(shí)，本文方法可直接退化為規(guī)范給出的計(jì)算方法，即使對厚度比較大的土層也無需對土層進(jìn)行細(xì)分，只需按照土層的天然分層性，沿深度方向適當(dāng)提高積分點(diǎn)數(shù)即可獲得滿意的計(jì)算精度。本文在分析時(shí)在平面和深度方向均采用了兩點(diǎn)高斯積分進(jìn)行計(jì)算。

4 算例

基礎(chǔ)沉降量的計(jì)算依賴于其下臥層附加應(yīng)力的確定，附加應(yīng)力的計(jì)算能否適應(yīng)任意的基礎(chǔ)形狀以及任意分布的荷載情況是本文基礎(chǔ)沉降算法具有廣泛適應(yīng)性的前提。為考察本文方法的適用性及計(jì)算效率，選取相關(guān)文獻(xiàn)中的若干算例[2,3]進(jìn)行計(jì)算，并與參考解進(jìn)行比較。

4.1 圓形基礎(chǔ)附加應(yīng)力分析

考察半徑為2 m的圓形基礎(chǔ)，其上作用中心荷載Q=150 kN，計(jì)算基礎(chǔ)邊緣下的豎向附加應(yīng)力分布。采用本文方法計(jì)算時(shí)共劃分了360個(gè)單元，表1給出了采用不同高斯積分點(diǎn)數(shù)時(shí)附加應(yīng)力σz的分布。本例用于考察本文方法對任意形狀基礎(chǔ)的適用性以及算法的收斂性。

圖3 基礎(chǔ)沉降計(jì)算流程

表1 圓形基礎(chǔ)邊緣點(diǎn)附加應(yīng)力分布 kPa

4.2 三角形分布荷載下的附加應(yīng)力分析

圖4所示尺寸為5 m×3 m的矩形基礎(chǔ)上作用三角形分布荷載，荷載最大值p=100 kPa，計(jì)算在矩形面積內(nèi)o點(diǎn)下深度z=3 m處M點(diǎn)的豎向應(yīng)力σz值。本例用于考察本文算法對任意分布荷載的適用性。

圖4 三角形分布荷載作用下的矩形基礎(chǔ)

為計(jì)算M點(diǎn)的附加應(yīng)力，文獻(xiàn)[2]中進(jìn)行了兩次疊加計(jì)算：第一次是荷載作用面積的疊加，將基礎(chǔ)轉(zhuǎn)換為4個(gè)矩形計(jì)算域；第二次是荷載分布圖形的疊加，將三角分布荷載轉(zhuǎn)換為1個(gè)均勻分布的荷載和2個(gè)三角形荷載，計(jì)算過程相當(dāng)繁瑣，且不便于編制程序利用計(jì)算機(jī)求解。本文計(jì)算時(shí)，僅需將基礎(chǔ)離散為16個(gè)三角形單元即可。計(jì)算結(jié)果見表2，可見本文算法具有較高的計(jì)算精度。

表2 三角分布荷載下M點(diǎn)附加應(yīng)力計(jì)算結(jié)果 kPa

4.3 條形基礎(chǔ)梯形荷載下的附加應(yīng)力分析

圖5 路堤填土引起的附加應(yīng)力

表3 條形基礎(chǔ)下M點(diǎn)附加應(yīng)力計(jì)算結(jié)果 kPa

需要指出，采用本文方法計(jì)算時(shí)建立了長為200 m寬為20 m的矩形基礎(chǔ)模擬圖5中的條形基礎(chǔ)。表3所列參考解基于《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》中附錄K計(jì)算得到。

4.4 考慮相鄰基礎(chǔ)影響的基礎(chǔ)沉降量分析

為考察相鄰基礎(chǔ)的影響，計(jì)算圖6中基礎(chǔ)甲的沉降量，并考慮兩側(cè)相鄰基礎(chǔ)乙的影響。作用于各基礎(chǔ)的外荷載均為1 940 kN，地下水位標(biāo)高-3.5m，基礎(chǔ)底面標(biāo)高-1.5 m。土層壓縮曲線見文獻(xiàn)[3]，土層的其他地質(zhì)參數(shù)列于表4。

表5給出了計(jì)算深度范圍內(nèi)的附加應(yīng)力計(jì)算結(jié)果，計(jì)算時(shí)三個(gè)基礎(chǔ)共劃分了479個(gè)三角形單元。不難看出，本文方法有較高的計(jì)算精度。

圖6 基礎(chǔ)幾何尺寸

表4 土層地質(zhì)參數(shù)

表6給出了基礎(chǔ)甲中心點(diǎn)位置處沉降量的計(jì)算值及壓縮模量當(dāng)量值。需要指出，本例沉降計(jì)算時(shí)，本文采用了土層的天然分層，文獻(xiàn)中的參考解采用2 m層厚進(jìn)行分層計(jì)算得到。

表6 基礎(chǔ)沉降量及壓縮模量當(dāng)量值

5 結(jié)論

（1）本文基于Boussinesq應(yīng)力解，引入四節(jié)點(diǎn)單元的等參變換，采用數(shù)值積分的方法計(jì)算土層附加應(yīng)力，可適應(yīng)任意基礎(chǔ)形式和任意基底壓力分布的復(fù)雜情況，對考慮相鄰基礎(chǔ)的影響也十分簡便。

（2）通過直接對附加應(yīng)力沿土層厚度方向進(jìn)行數(shù)值積分，避免了平均附加應(yīng)力系數(shù)的計(jì)算，增加沿厚度方向的積分點(diǎn)數(shù)，可避免對厚度較大的土層做細(xì)分。

（3）算例表明本文方法具有較高的計(jì)算精度，易于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，便于在工程中應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]JTG D63-2007,公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[2]高大釗.土力學(xué)與基礎(chǔ)工程[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1998.

[3]華南理工大學(xué),等.地基及基礎(chǔ)[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1991.

[4]徐金明,湯永凈.分層總和法計(jì)算沉降的幾點(diǎn)改進(jìn)[J].巖土力學(xué),2003,24(8):518-521.

[5]GB 50007-2011,建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[6]Zenkiewicz O C,Taylor R L.The finite element method [M].McGraw-Hill,New York,2005.

[7]王勖成,邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,1997.

[8]趙明華,李剛,曹喜仁,等.土力學(xué)地基與基礎(chǔ)疑難釋義[M].北 京:中國建筑工業(yè)出版社,2003.

[9]杜秀忠,楊光華.軟土e-p曲線的分析、擬合及應(yīng)用[J].廣東水利水電,2005(6):20-23.