鄧克利法求解基頻的精度研究

張 翔,楊 怡,張 紅

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣州 510640)

線性多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)問題可以簡(jiǎn)化為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的廣義本征值問題.系統(tǒng)的自由度越多,本征值問題的計(jì)算量就越大,可以通過計(jì)算機(jī)作數(shù)值計(jì)算以得到準(zhǔn)確的結(jié)果;同時(shí),出于工程計(jì)算的實(shí)用性,可對(duì)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)特性作近似估算[1].常用的近似計(jì)算方法有鄧克利法、瑞利法、里茲法、矩陣迭代法、子空間迭代法等,基于這些近似算法,學(xué)者們[2-4]也提出了一些改進(jìn)方法.這些方法全部是從原方法理論推導(dǎo)著手,通過優(yōu)化其中推導(dǎo)過程減小誤差,從而達(dá)到改進(jìn)的目的.

在以上方法中,鄧克利法是最為簡(jiǎn)單的一種計(jì)算方法.作為一種振動(dòng)特性的近似估算方法,鄧克利法給出了系統(tǒng)基頻的下限,可以對(duì)鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的基頻作近似估算,應(yīng)用于土木工程、航空航天、機(jī)械汽車等多個(gè)領(lǐng)域.在國內(nèi)研究領(lǐng)域,王開宇等[5]運(yùn)用鄧克利法估算離心式,給水泵中轉(zhuǎn)子自激勵(lì)振動(dòng)頻率,判斷數(shù)值解的可靠性.黃震等[6]運(yùn)用鄧克利法建立了高頻響測(cè)力儀的簡(jiǎn)化模型,推導(dǎo)了固有頻率的解析解.朱成實(shí)等[7]對(duì)數(shù)控機(jī)床主軸的力學(xué)模型應(yīng)用鄧克利法,計(jì)算得到一階固有頻率近似值.石元華等[8]以飛機(jī)的整體結(jié)構(gòu)頻率為目標(biāo),基于鄧克利法和瑞利法估計(jì)夾具的基頻范圍,以確定夾具的結(jié)構(gòu)形式.在國際研究領(lǐng)域,Levy[9]對(duì)有關(guān)鄧克利法估算基頻的迭代法進(jìn)行了研究.Low[10]對(duì)鄧克利法在建筑領(lǐng)域集中質(zhì)量梁模型的基頻估算方面進(jìn)行了一定的方法研究和改進(jìn).

鄧克利法雖然簡(jiǎn)單方便,但同時(shí)也是計(jì)算誤差最大的一種方法.為了降低該方法的誤差,推廣其應(yīng)用范圍,不少研究者[11-12]對(duì)鄧克利法計(jì)算公式進(jìn)行了修正,給出了改進(jìn)的鄧克利公式.這些工作集中于20世紀(jì)末,對(duì)于鄧克利法估算誤差改進(jìn)的工作，大多只是在鄧克利法公式中稍作理論計(jì)算的優(yōu)化近似,從而得到改進(jìn)后的鄧克利法,受計(jì)算機(jī)條件限制,無法在大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，對(duì)鄧克利法準(zhǔn)確度影響因素的系統(tǒng)研究,也沒有建立在對(duì)基頻估算誤差系統(tǒng)分析基礎(chǔ)上對(duì)鄧克利法的改進(jìn).本文針對(duì)集中質(zhì)量梁模型和質(zhì)量彈簧模型,在不同的約束條件和自由度情況下，研究鄧克利法基頻解的誤差變化規(guī)律,討論鄧克利法精確度的影響因素,并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)值擬合,給出改進(jìn)的鄧克利法計(jì)算公式.

1 集中質(zhì)量梁模型

考慮如圖1所示的集中質(zhì)量梁模型，梁段的剛度和長(zhǎng)度為EI和L,所有質(zhì)量都集中在質(zhì)點(diǎn)m.為簡(jiǎn)單起見,假設(shè)所有梁段和質(zhì)點(diǎn)具有相同的力學(xué)屬性.圖1(a)為懸臂梁,圖1(b)為簡(jiǎn)支梁.用鄧克利法求解這兩種梁模型的基頻與解析解的誤差.

圖1 集中質(zhì)量梁模型Fig.1 Beams with lumped mass

令模型自由度從1～10變化,分別運(yùn)用鄧克利法和普通解析法,求解懸臂梁模型、簡(jiǎn)支梁模型的基頻估算值和精確值,具體計(jì)算方法可見文獻(xiàn)[1].對(duì)比基頻的鄧克利法解和解析解,結(jié)果如表1和表2所示.為簡(jiǎn)化表達(dá)式,令EI/(m3l)=1.

表1 懸臂梁模型的基頻計(jì)算結(jié)果Tab.1 Basic frequencies of cantilever beams

表2 簡(jiǎn)支梁模型的基頻計(jì)算結(jié)果Tab.2 Basic frequencies of simply supported beams

由表1和表2可知:鄧克利解都小于解析解,隨著自由度的增加,鄧克利解的誤差逐步增大;而且在相同自由度下,簡(jiǎn)支梁模型鄧克利解的誤差大于懸臂梁模型,這是因?yàn)閼冶哿旱?階和第2階頻率的平方倒數(shù)之差要比簡(jiǎn)支梁的大,鄧克利法計(jì)算的基頻與精確值的誤差就會(huì)比較小.

2 質(zhì)量彈簧模型

考慮如圖2所示的質(zhì)量彈簧模型.彈簧段的剛度為k,其質(zhì)量不計(jì),所有質(zhì)量都集中在質(zhì)點(diǎn)m,忽略系統(tǒng)的阻尼.圖2(a)為左端約束,圖2(b)為兩端約束.

令系統(tǒng)的自由度從1～10變化,分別運(yùn)用鄧克利法和普通解析法求解圖2(a)和圖2(b)兩種模型的基頻,計(jì)算結(jié)果見表3和表4.為簡(jiǎn)化表達(dá)式,令k/m=1.

由表3和表4可知：對(duì)于一端約束和兩端約束的質(zhì)量彈簧系統(tǒng),隨著自由度的增加,鄧克利解的誤差逐步增大;而且在相同自由度下,兩端約束模型鄧克利解的誤差要遠(yuǎn)大于一端約束模型,超過其誤差的2倍.通過對(duì)固有頻率解析解的分析,發(fā)現(xiàn)第1階頻率平方的倒數(shù)在所有頻率平方的倒數(shù)和中所占的比例隨著自由度的增加而增大,且一端約束模型的這個(gè)比例值比兩端約束模型要高出10%,所以前者的鄧克利解誤差就比后者小很多.

圖2 質(zhì)量彈簧模型Fig.2 Mass-spring system

3 結(jié)果分析

3.1 誤差分析

圖3是前面所用梁模型和質(zhì)量彈簧模型,用鄧克利法計(jì)算其基頻的結(jié)果誤差隨自由度的變化曲線圖.可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于各類模型運(yùn)用鄧克利法進(jìn)行基頻估算時(shí),誤差會(huì)隨系統(tǒng)自由度的增加而增大,在低自由度時(shí)誤差增長(zhǎng)較快,在高自由度時(shí)誤差變化趨于平緩,并近似于線性變化.在相同自由度下,簡(jiǎn)支梁的誤差大于懸臂梁,雙約束質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的誤差大于單約束模型,模型的約束越多,鄧克利法解的誤差就越大,且梁模型的誤差比質(zhì)量彈簧模型要小很多.

表3 左端約束質(zhì)量彈簧模型的基頻計(jì)算結(jié)果Tab.3 Basic frequencies of mass-spring models with left end restrained

表4 兩端約束質(zhì)量彈簧模型的基頻計(jì)算結(jié)果Tab.4 Basic frequencies of mass-spring models with two ends restrained

圖3 各類模型鄧克利法的計(jì)算誤差Fig.3 The calculation errors of the basic frequency

3.2 數(shù)值擬合

由3.1節(jié)中給出的用鄧克利法計(jì)算4種模型的基頻誤差隨自由度的變化曲線,可以發(fā)現(xiàn),誤差值在最初1,2或3自由度時(shí)變化較大,在之后隨著系統(tǒng)的自由度增加,誤差值的增大基本趨于線性變化,但不同系統(tǒng)誤差趨于線性變化時(shí),對(duì)應(yīng)的自由度開始點(diǎn)不同.故在圖3的誤差曲線中,取接近于直線的部分進(jìn)行線性擬合,以對(duì)自由度在10以上時(shí)的誤差進(jìn)行估算.擬合結(jié)果如圖4所示.

在圖4中,各模型的線性擬合方程分別為

懸臂梁:

(1)

簡(jiǎn)支梁:

(2)

左端約束彈簧系統(tǒng):

(3)

兩端約束彈簧系統(tǒng):

(4)

式中:y為誤差值;n為自由度;R2為擬合度.

圖4 各類模型鄧克利法估算誤差的線性擬合Fig.4 Linear fitting of the calculation errors

3.3 誤差修正

根據(jù)3.2節(jié)給出的線性擬合方程,可以對(duì)各模型鄧克利解進(jìn)行修正,以提高自由度大于10以后的基頻解的精度.設(shè)各個(gè)模型的基頻解析值為f0,普通鄧克利法估算基頻為f1,普通鄧克利法估算誤差隨自由度變化的擬合線性函數(shù)為y(n),改進(jìn)鄧克利法基頻解為f2.

普通鄧克利法基頻解的誤差為

(5)

由誤差線性擬合方程可知,改進(jìn)后鄧克利法解應(yīng)滿足

(6)

于是,得到鄧克利法的改進(jìn)公式為

(7)

將改進(jìn)鄧克利公式(7)代入方程(1)～(4),可以寫出4種模型的改進(jìn)鄧克利法基頻解：

懸臂梁:

(8)

簡(jiǎn)支梁:

(9)

左端約束彈簧系統(tǒng):

(10)

兩端約束彈簧系統(tǒng):

(11)

為驗(yàn)證式(8)～(11)的精度,對(duì)各模型分別取自由度為11～14,采用解析法、普通鄧克利法和改進(jìn)鄧克利法計(jì)算其基頻,并分析誤差,計(jì)算結(jié)果如表5所示.

表5 自由度為11～14時(shí)系統(tǒng)的基頻Tab.5 The basic frequencies of the systems when degree-of-freedom equals 11 to 14

注:括號(hào)內(nèi)數(shù)值表示鄧克利解的誤差.

由表5可以發(fā)現(xiàn)：改進(jìn)鄧克利法在大自由度下,可大大降低基頻的誤差值,對(duì)于集中質(zhì)量梁結(jié)構(gòu),誤差只在萬分之一量級(jí);對(duì)于質(zhì)量彈簧系統(tǒng),誤差不超過2%,主要是因?yàn)楦倪M(jìn)鄧克利法需要以普通鄧克利法為基礎(chǔ),而此時(shí)普通鄧克利解的誤差偏大,使得改進(jìn)鄧克利解的誤差增大.由此可見,改進(jìn)鄧克利法有效提高了鄧克利法在系統(tǒng)大自由度下對(duì)基頻估算的精確度.

4 結(jié)論

本文對(duì)鄧克利法在集中質(zhì)量梁結(jié)構(gòu)和質(zhì)量彈簧系統(tǒng)中求解基頻的精度進(jìn)行了研究,討論了結(jié)構(gòu)形式和自由度數(shù)目對(duì)鄧克利解精度的影響,并對(duì)誤差進(jìn)行了分析,提出改進(jìn)鄧克利法的求解公式.主要結(jié)論有:

(1) 相同自由度下,同一類模型中約束較多的系統(tǒng)鄧克利法的誤差較大.簡(jiǎn)支梁的誤差比懸臂梁大,兩端約束質(zhì)量彈簧系統(tǒng)比一端約束系統(tǒng)大.

(2) 對(duì)同一個(gè)模型,隨著自由度的增加,鄧克利法的誤差逐漸增大;在低自由度時(shí),誤差增大明顯,在自由度較大時(shí)誤差增大趨緩.

(3) 利用文中給出的改進(jìn)鄧克利法公式,對(duì)高自由度系統(tǒng)進(jìn)行基頻計(jì)算,能大大提高鄧克利解的精度.

(4) 在相同的約束個(gè)數(shù)和自由度下,質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的鄧克利法估算誤差大于集中質(zhì)量梁系統(tǒng).可見在實(shí)際工程中,相同工況下可選用鄧克利法優(yōu)先精確估算梁系統(tǒng)基頻.

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