多盤轉子系統(tǒng)的隨機響應靈敏度分析

蘇長青,郭凡逸,潘廣權,藺鵬禹

(1.沈陽航空航天大學 安全工程學院,沈陽 110136; 2.華晨寶馬汽車有限公司 鐵西工廠,沈陽 110143;3.沈陽新松機器人自動化股份有限公司,沈陽 110168)

一般工廠中常見的機器都裝有旋轉部件即轉子,轉子連同它的軸承和支座等統(tǒng)稱為轉子系統(tǒng).隨著轉子轉速的提高,轉子本身具有不平衡質量,所以常常會發(fā)生強迫振動.轉子系統(tǒng)由于強迫振動會產生噪聲,降低工作效率,嚴重的振動會造成機器的損壞,發(fā)生事故.由于轉子有“自對中”的特點,所以轉子系統(tǒng)在工作過程中，振動最劇烈的情況常常發(fā)生在啟動的時刻.

傳統(tǒng)的轉子系統(tǒng)多是采用確定性分析的方法,即在結構分析中涉及的參量都是確定值.實際上,加工轉子零件產生的誤差與材料的性能，具有一定的隨機性及分布規(guī)律.轉子系統(tǒng)的響應受到了很多學者的重視,包括分析質量不平衡及油膜失穩(wěn)條件下的動力學特性[1]、轉子質量不平衡響應[2-3]、汽輪機轉子的隨機動態(tài)響應[4]、航空發(fā)動機雙轉子系統(tǒng)隨機響應[5]等.由于各參數對轉子系統(tǒng)的影響程度不同,隨機參數的靈敏度值越大,表明該參數對于系統(tǒng)的影響越大;反之,隨機參數的靈敏度值越小,則該參數對系統(tǒng)的影響越小.因此，研究轉子系統(tǒng)的響應靈敏度具有重要的意義與價值.

本文以三盤轉子系統(tǒng)為研究對象,建立了轉子的位移響應方程,設置圓盤質量、偏心距、轉軸彈性模量、軸承剛度和阻尼為隨機變量,得到轉子系統(tǒng)徑向位移的均值與標準差,分析了轉子系統(tǒng)徑向位移對隨機參數的響應靈敏度.

1 轉子系統(tǒng)的隨機響應

1.1 剛性圓盤響應方程

該圓盤的質量為m,轉動慣量和極轉動慣量分別為Jd和Jp，偏心距為e,角速度為Ω,其軸心節(jié)點的位移向量為

其運動的微分方程為

(3)

(4)

式中:[Md]為圓盤的質量矩陣;Ω[J]為回轉矩陣.

由于圓盤具有偏心質量,所以轉軸在轉動時會產生不平衡力.圓盤的偏心距為eξ(動坐標系下e在ξ軸的分量)和eη(動坐標系下e在η軸的分量),則不平衡力可表示為

1.2 彈性軸段響應方程

設軸段兩端節(jié)點分別為A與B,則單元的兩端節(jié)點位移向量為

(7)

(8)

其運動微分方程為

(9)

(10)

式中:[Ms]為考慮了慣性矩Jd與極慣性矩Jp的一致質量矩陣;Ω[Js]為回轉矩陣.

當軸段單元存在偏心距eξ(s)與eη(s)時,其廣義力可表示為

eη(s)sinΩt]ds

(11)

eξ(s)sinΩt]ds

(12)

(13)

式中：[N]T為4×1階位移插值函數矩陣.

1.3 系統(tǒng)響應方程

對于轉軸具有n個節(jié)點,其間用n-1個軸段連接而成的轉子系統(tǒng),忽略軸承座的等效質量,則系統(tǒng)的位移向量為

{U1}=[x1,θy1,x2,θy2,…,xyn-1,θyn-1]

(14)

{U2}= [y1,-θx1,y2,-θx2， …,yyn-1,-θxn-1]

(15)

由于滑動軸承的剛度系數相等,則系統(tǒng)的運動方程為

(16)

式中:[M1]為整體質量矩陣;Ω[J1]為回轉矩陣；剛度矩陣[K1]為n-1階的對稱稀疏陣.

2 轉子系統(tǒng)響應靈敏度

設隨機變量X1,X2,…,Xn是一組影響轉子系統(tǒng)功能的相互獨立的隨機變量,對于多元函數S=f(X1,X2,…,Xn),其某一組隨機變量的改變量引起的函數改變量可表達為

(17)

式中:?f/?Xi為隨機變量Xi對函數f(X1,X2,…，Xn)的靈敏度.如要分析某一個隨機變量對于多元函數的影響程度,則需將其余的變量固定.如想探究Xk對函數的影響,則式(17)中除了dXk外,其余的變量均為0,則

式中：ξk為Xk對多元函數f(X1,X2,…,Xn)的靈敏度.當隨機變量為單位改變量時,則

ξk=dS

(20)

在工程分析中利用有限元法求解靈敏度時,先計算Xk時多元函數的改變量v1,再計算Xk增加一個單位時多元函數的改變量v2,則

ξk=v2-v1

(21)

3 數值算例

轉子系統(tǒng)結構圖如圖1所示,滑動軸承用彈簧阻尼器表示.軸承1與軸承3分別位于轉軸的兩端,軸承2位于圓盤2與圓盤3之間.轉子系統(tǒng)幾何參數如表1所示.

由于制造環(huán)境、技術條件、制造和安裝誤差及材料的多相特征等因素,使得轉子系統(tǒng)的材料屬性和幾何尺寸帶有一定的隨機特性.考慮到轉子系統(tǒng)的參數較多,在本文中把轉子系統(tǒng)的主要參數作為隨機參數,3個圓盤的徑向位移為隨機輸出參數.具體的分布如表2所示.

抽樣方法本文選用拉丁超立方抽樣法(LHS).在本文中,轉子系統(tǒng)的各個隨機變量被分為幾個區(qū)間,從一個隨機變量的每個區(qū)間內選取一個數值,這些數值就組成了隨機變量的樣本.

圖1 轉子系統(tǒng)結構簡圖Fig.1 Rotor system structure diagram

幾何參數數值主軸長度/m1．474主軸半徑/m0．045圓盤1偏心質量/kg1．0×10-4圓盤2偏心質量/kg1．5×10-4圓盤3偏心質量/kg1．0×10-4

表2 轉子系統(tǒng)參數分布Tab.2 Rotor system parameter distribution

為了使Monte Carlo法的計算結果達到較高的精度要求,本文取抽樣次數為450次進行循環(huán)仿真分析.

3.1 轉子系統(tǒng)隨機響應結果

本文用Monte Carlo法與有限單元法相結合計算，得到轉子系統(tǒng)的隨機響應結果.經過450次循環(huán)抽樣，得到轉子系統(tǒng)3個圓盤的徑向位移均值與標準差曲線，如圖2～圖7所示.

圖2 圓盤1徑向位移均值曲線Fig.2 The mean value of radial displacementcurve of plate 1

圖3 圓盤1徑向位移標準差曲線Fig.3 The standard deviation radial displacementcurve of plate 1

圖4 圓盤2徑向位移均值曲線Fig.4 The mean value of radial displacementcurve of plate 2

圖5 圓盤2徑向位移標準差曲線Fig.5 The standard deviation radial displacementcurve of plate 2

3.2 轉子系統(tǒng)響應靈敏度結果分析

圖8～圖19為本文三盤轉子系統(tǒng)的3個圓盤徑向位移對11個隨機輸入參數的響應靈敏度.彈性模量這一參數對3個圓盤徑向位移影響較小,暫不考慮轉子系統(tǒng)對其響應靈敏度.

圖6 圓盤3徑向位移均值曲線Fig.6 The mean value of radial displacementcurve of plate 3

圖7 圓盤3徑向位移標準差曲線Fig.7 The standard deviation radial displacementcurve of plate 3

圖8 圓盤1質量響應靈敏度Fig.8 Quality response sensitivity of plate 1

圖9 圓盤2質量響應靈敏度Fig.9 Quality response sensitivity of plate 2

圖10 圓盤3質量響應靈敏度Fig.10 Quality response sensitivity of plate 3

圖11 圓盤1偏心距響應靈敏度Fig.11 Eccentricity response sensitivity of plate 1

圖12 圓盤2偏心距響應靈敏度Fig.12 Eccentricity response sensitivity of plate 2

圖13 圓盤3偏心距響應靈敏度Fig.13 Eccentricity response sensitivity of plate 3

圖14 軸承1 x方向剛度響應靈敏度Fig.14 x-direction stiffness response sensitivity of bearing 1

圖15 軸承1 y方向剛度響應靈敏度Fig.15 y-direction stiffness responsesensitivity of bearing 1

圖16 軸承2 x方向剛度響應靈敏度Fig.16 x-direction stiffness response sensitivity of bearing 2

圖17 軸承2 y方向剛度響應靈敏度Fig.17 y-direction stiffness responsesensitivity of bearing 2

圖18 軸承3 x方向剛度響應靈敏度Fig.18 x-direction stiffness responsesensitivity of bearing 3

圖19 軸承3 y方向剛度響應靈敏度Fig.19 y-direction stiffness responsesensitivity of bearing 3

靈敏度為正值,表明圓盤徑向位移隨著隨機參數的增加而增加;靈敏度為負值,表明圓盤徑向位移隨著隨機參數的減小而減小.由圖8可知,圓盤1質量的響應靈敏度最高;由圖9可知,圓盤2質量的響應靈敏度最高;由圖10可知,圓盤2質量與圓盤3質量的響應靈敏度都較高,其原因是圓盤2的質量較大,對圓盤3的徑向位移影響也較大;同理,3個圓盤的偏心距分別對其自身的徑向位移響應靈敏度較高.而相對于前面的參數而言,軸承的剛度對于轉子徑向位移影響較小.因此,想要控制轉子的徑向位移，應控制好圓盤的質量與偏心距這兩個重要因素.

4 結論

(1) 本文通過考慮圓盤質量、圓盤偏心距、軸承剛度與主軸彈性模量的隨機特性,建立三盤轉子系統(tǒng)的響應方程.采用Monte Carlo法獲得了3個圓盤質心徑向位移的均值與方差曲線,得到轉子系統(tǒng)徑向位移響應峰值的位置與時刻.

(2) 將響應靈敏度理論應用于三盤轉子系統(tǒng)徑向位移響應問題分析中,研究了隨機參數對于轉子系統(tǒng)圓盤質心的徑向位移的響應靈敏度問題,并繪制了各參數響應靈敏度曲線,獲得了隨機參數對于轉子系統(tǒng)徑向位移的影響規(guī)律.

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