基于角平分線的工程滑移索結(jié)構(gòu)分析方法

于祥敏， 陳德偉， 白植舟， 洪能達(dá)

(1. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 上海 200092； 2. 寧波市江東陽光軟件開發(fā)中心， 浙江 寧波 315040)

工程中經(jīng)常用到滑輪與索形成的組合結(jié)構(gòu)，其中一種為滑移索結(jié)構(gòu)，即滑輪用于索結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)向和支承，索可繞滑輪滑動(dòng)直到達(dá)到平衡狀態(tài).滑移索結(jié)構(gòu)中滑輪兩邊的索段長度會(huì)不斷變化，其內(nèi)力和變形的求解較復(fù)雜，常規(guī)的有限元方法不便于求解，僅有少量研究涉及到滑移索結(jié)構(gòu)的有限元法分析[1-2].郭彥林等[2]提出了冷凍升溫法，通過虛加溫度荷載來調(diào)整滑輪兩側(cè)索單元的長度；Mcdonald等[3]建立了一種新單元模擬索在鏈桿連接的滑輪上滑動(dòng)；唐建民等[4]通過推導(dǎo)索的滑移剛度矩陣來考慮索的滑移；Aufaure[5]采用附加廣義自由度的方法以考慮索的滑移；魏建東等[6]采用二分法調(diào)整滑輪兩側(cè)索的無應(yīng)力長度實(shí)現(xiàn)滑輪處索力連續(xù)性；彭偉賢等[7]提出了拉力分配法，即將不平衡拉力按相應(yīng)的不平衡力分配系數(shù)進(jìn)行分配，直到不平衡拉力為零；Ju等[8]提出一種超級(jí)單元模型以研究索繞多個(gè)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)；Chung等[9]提出一種三維懸鏈線索單元考慮索的滑移效應(yīng)；俞鋒等[10]將索離散成相互聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)集合，通過質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述索滑移.

針對滑移索結(jié)構(gòu)，本文提出一種基于滑輪相鄰索單元角平分線的簡捷分析方法，可有效解決其分析復(fù)雜和困難的難題.計(jì)算示例和工程實(shí)例均驗(yàn)證了該方法的正確性和高效性.

1 基本假定

(1)索為理想柔性且滿足虎克定律，始終處于彈性工作階段.

(2)不計(jì)滑輪與索之間的摩擦力，即平衡狀態(tài)滑輪兩側(cè)的索力大小相等.

(3)滑輪半徑是小量，不計(jì)滑輪半徑的影響，將其簡化為一個(gè)點(diǎn).

2 計(jì)算原理

對于如圖1a所示滑移索結(jié)構(gòu)，當(dāng)繞過滑輪的索在兩側(cè)存在不平衡力F1、F2時(shí)(假定F1

a 滑移索結(jié)構(gòu)

b 簡化模型圖1 滑移索結(jié)構(gòu)及簡化分析模型Fig.1 Sliding cable structure and simplified model

3 計(jì)算方法

采用多段桿單元模擬索，采用固定鉸模擬滑輪對索的約束作用，簡化模型如圖1b所示.其中，O點(diǎn)為滑輪鄰近索單元的切線交點(diǎn)；α1、α2為滑輪處相鄰索單元的水平夾角；β為滑輪處相鄰索單元角平分線的方向角；F1、F2為滑輪處相鄰索單元的最終索力，平衡狀態(tài)時(shí)F1=F2.為敘述方便，后文將沿角平分線方向的約束反力簡稱為徑向反力，而垂直于角平分線方向的約束反力簡稱切向反力.平衡狀態(tài)下固定鉸約束力作用方向與相鄰索單元的角平分線重合，因此其切向反力為零.

3.1 無應(yīng)力長度調(diào)整影響矩陣M

滑移索結(jié)構(gòu)中索單元所承受的自重和外荷載不會(huì)改變索的無應(yīng)力長度，只有給索單元主動(dòng)施加的索力會(huì)改變其無應(yīng)力長度[12].在滑移索結(jié)構(gòu)有限元分析時(shí)，滑輪對索的約束作用簡化為一固定鉸.當(dāng)索繞滑輪滑動(dòng)時(shí)(假設(shè)左側(cè)索滑入右側(cè)索時(shí)滑輪處無應(yīng)力索長調(diào)整量為正，反之為負(fù))，當(dāng)該滑動(dòng)作用導(dǎo)致左側(cè)索無應(yīng)力長度縮短ΔL時(shí)，右側(cè)索無應(yīng)力長度將增長ΔL，顯然通長索整體的無應(yīng)力長度依然保持恒定.

當(dāng)該滑輪處無應(yīng)力長度調(diào)整量為單位長度時(shí)(即ΔL=1)，索主動(dòng)施加的初始索力變化(即名義索力)為

(1)

式中：L1和L2分別為左側(cè)和右側(cè)索的無應(yīng)力索長；E和A分別為索的彈性模量和有效截面積.

在新荷載作用下，問題的求解最后歸結(jié)為每個(gè)滑輪處無應(yīng)力長度調(diào)整量，未知數(shù)個(gè)數(shù)即為滑輪數(shù)量.本文采用影響矩陣法求解，即

Ftar=Mf+Fcon

(2)

式中：M為滑輪無應(yīng)力長度調(diào)整影響矩陣，其子元素Mij代表j滑輪無應(yīng)力長度調(diào)整量為單位長度時(shí)產(chǎn)生的i處滑輪切向反力，顯然，當(dāng)i、j為非相鄰滑輪時(shí)，該子元素為零；f為滑輪無應(yīng)力長度調(diào)整量向量，屬于需要求解的未知數(shù)；Fcon為自重和外荷載等固定荷載作用下滑輪切向反力向量;Ftar為零向量，即所有滑輪處滑輪切向反力為零，由此滿足索力連續(xù)性.求解方程(2)即可得到滑輪無應(yīng)力長度調(diào)整量向量.

在求解得到各滑輪處無應(yīng)力調(diào)整量后，仿照公式(1)對各子索主動(dòng)施加的初始索力進(jìn)行調(diào)整，施加自重和外荷載即可計(jì)算得到無應(yīng)力長度調(diào)整后各子索的線形和內(nèi)力.

3.2 角平分線法迭代過程

角平分線法的流程如圖2所示，具體步驟如下：

(1)建立滑移索結(jié)構(gòu)的有限元模型.

(2)對每根索施加公式(1)的索力變化量，求解得到滑輪單位無應(yīng)力長度調(diào)整影響矩陣M，求解方程(2)得到滑輪無應(yīng)力長度調(diào)整量.

(3)重新計(jì)算各子索的線形，調(diào)整滑輪兩側(cè)索單元角平分線的方向角，按照步驟(2)重新計(jì)算，重復(fù)至全部子索的線形和內(nèi)力收斂.

為方便起見，圖2流程圖僅僅列出以角平分線方向角收斂(即索的線形)為判斷準(zhǔn)則，實(shí)際計(jì)算可同時(shí)應(yīng)用索力收斂判斷，即采用線形和內(nèi)力雙控作為收斂判斷準(zhǔn)則.

圖2 角平分線法流程圖Fig.2 Flowchart of angle bisector method

4 計(jì)算示例

4.1 算例1

滑移索結(jié)構(gòu)的算例1如圖3所示，索單元總無應(yīng)力長度為150 m，其中左邊索的無應(yīng)力長度L1=50 m，角度為45°，劃分為16個(gè)單元；右邊索無應(yīng)力長度L2=100 m，角度為15°，劃分為32個(gè)單元.索單元截面積均為A=0.017 48 m2，彈性模量E=195 GPa，自重γ=96 kN·m-3.

圖3 算例1Fig.3 Sample 1

由于該算例的滑移索結(jié)構(gòu)只有1個(gè)滑輪，因此其影響矩陣M為1階，即1個(gè)數(shù)值.算例1迭代過程的關(guān)鍵結(jié)果列于表1，其中“影響矩陣”和“無應(yīng)力索長調(diào)整量”欄均為當(dāng)前行“角平分線方向角”對應(yīng)的求解值；“最終索力”欄為考慮各子索無應(yīng)力索長調(diào)整后的求解值，下一行的“角平分線方向角”即為該行“最終索力”作用下結(jié)構(gòu)的變形結(jié)果.

由表1可知：①影響矩陣M隨著索形的變化在迭代過程中不斷更新.②迭代過程中，在無應(yīng)力索長調(diào)整后的基礎(chǔ)上計(jì)算索力，可以發(fā)現(xiàn)滑輪處左右側(cè)索力將存在不閉合誤差.該不閉合誤差隨著迭代的進(jìn)行不斷收斂，4步迭代后不閉合誤差僅為0.002%.③迭代過程中角平分線方向角同樣很快收斂，4步前后誤差僅為0.012%，略慢于索力不閉合誤差的收斂速度.

4.2 算例2

文獻(xiàn)[2]的算例為工型截面懸臂鋼梁，通過一根跨過滑輪的鋼索懸掛，其中作用于鋼梁上的均布荷載為3.16 kN·m-1，如圖4所示.索和鋼梁的彈性模量分別為180 GPa和210 GPa，面積分別為3.65 cm2和33.36 cm2.采用本文提出的角平分線法進(jìn)行索滑移的模擬，并與文獻(xiàn)[2]中的冷凍升溫法進(jìn)行對比，計(jì)算結(jié)果見表2.由表2可知：角平分線法與冷凍升溫法相比，索力不閉合誤差更小，收斂速度更快，二者計(jì)算結(jié)果吻合很好.

圖4 斜拉梁算例(單位：mm)Fig.4 Cable-stayed beam(unit: mm)表1 算例1迭代過程Tab.1 Iteration process for sample 1

迭代次數(shù)α/(°)116單元117單元β/(°)βi-βi-1βi()%M/kN無應(yīng)力索長/m最終索力/kN調(diào)整量總長度116單元117單元最終索力不閉合誤差/%145.00015.000105.00039321.5400.01584121501380.2811412.0182.248246.16418.203103.9810.98039439.8190.01633041501406.3291407.2380.065346.14218.214103.9640.01639441.5970.01632431501406.7681407.1590.028446.13018.226103.9520.01239442.8330.01632011501407.0771407.1030.002

表2 算例2結(jié)果比較Tab.2 Result comparison for sample 2

5 工程實(shí)例

貴黔高速上的鴨池河特大橋?yàn)橹骺?00 m的混合梁斜拉橋，主跨為鋼桁梁，邊跨為預(yù)應(yīng)力混凝土梁，其中主跨鋼桁梁采用纜索吊機(jī)懸臂拼裝施工[13].纜索吊機(jī)設(shè)計(jì)起吊能力為350 t，單側(cè)主纜由12根Φ60 mm鋼絲繩組成，左邊和右邊主纜水平投影長度分別為(208.6+800.0+323.1)m、(243.2+800.0+287.4)m，如圖5所示.

纜索吊機(jī)的索鞍為典型的滑移索結(jié)構(gòu)，主要由定滑輪組和鋼框架組成.索鞍固定在主塔橫梁上，主纜可繞滑輪滑動(dòng).為驗(yàn)證纜索吊機(jī)的性能，纜索吊機(jī)在投入使用前進(jìn)行了試吊試驗(yàn).試驗(yàn)過程中，纜索吊機(jī)將251 t試驗(yàn)荷載從貴陽岸的起吊點(diǎn)運(yùn)送到黔西岸卸載，期間測量了主纜力和主塔位移.

圖5 工程實(shí)例(單位：m)Fig.5 Application to engineering (unit: m)

采用本文提出的方法進(jìn)行纜索吊機(jī)仿真分析，有限元模型及單元編號(hào)如圖6所示，其中主塔和主纜分別采用梁單元和多段桿單元模擬，主纜面積為A=0.001 824 m2，彈性模量為E=195 GPa.該纜索吊機(jī)每側(cè)主纜有2個(gè)滑輪，全橋共4個(gè)滑輪，因此其影響矩陣M為4×4階方陣.迭代過程采用線形和索力雙控，誤差控制精度均設(shè)為δ=0.05%.

首先根據(jù)設(shè)計(jì)空纜線形確定主纜的無應(yīng)力長度和索力，即確定結(jié)構(gòu)的初始平衡狀態(tài).試驗(yàn)過程中荷載從貴陽岸移動(dòng)到黔西岸，加載點(diǎn)和計(jì)算工況較多，但分析過程相似.本文僅給出251 t試驗(yàn)荷載位于跨中位置的迭代過程，詳見表3.由表3可知：僅2次迭代即可達(dá)到滑輪兩側(cè)的索力不閉合誤差均小于0.05%的精度，計(jì)算效率很高.最后輸出主纜力和主塔位移等結(jié)果并與荷載試驗(yàn)的現(xiàn)場實(shí)測值進(jìn)行對比，如圖7所示.從圖7可以看出：纜索吊機(jī)的數(shù)值分析結(jié)果與現(xiàn)場實(shí)測值吻合較好，二者誤差小于3.5%，驗(yàn)證了本文提出方法的正確性和可行性.

表3 荷載位于跨中的迭代計(jì)算Tab.3 Iteration process for test load at mid-span

圖6 纜索吊機(jī)有限元模型及單元編號(hào)Fig.6 Finite element model for cable crane andelement number

a 主纜力

b 主塔位移圖7 荷載試驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Results of load test

6 結(jié) 語

滑移索結(jié)構(gòu)中，由于索可繞滑輪滑動(dòng)，因此求解其內(nèi)力和變形非常復(fù)雜.本文提出一種基于角平分線和無應(yīng)力長度調(diào)整影響矩陣的簡捷分析方法，并以計(jì)算示例和工程實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.該方法具有力學(xué)概念清晰、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，文中算例僅需要2～4次迭代即可達(dá)到很高精度的收斂解.

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