基于折扣高斯粒子濾波器的橋梁可靠性動態(tài)預測

劉月飛， 樊學平

(1. 蘭州大學 西部災害與環(huán)境力學教育部重點實驗室， 甘肅 蘭州 730000；2. 蘭州大學 土木工程與力學學院， 甘肅 蘭州 730000)

橋梁健康監(jiān)測(BHM)是保障橋梁結(jié)構(gòu)安全的重要技術(shù)，通常包括數(shù)據(jù)采集和監(jiān)測數(shù)據(jù)的合理應(yīng)用兩方面內(nèi)容.數(shù)據(jù)采集方面主要包括監(jiān)測系統(tǒng)組裝技術(shù)[1]、數(shù)據(jù)壓縮[2-3]和數(shù)據(jù)恢復[4]方法等，目前已處于相對成熟階段.監(jiān)測數(shù)據(jù)處理主要集中在模態(tài)分析、損傷識別、損傷評估、可靠性評估以及模型修正等領(lǐng)域[5-9]，目前研究結(jié)果仍難以有效預測結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠性.因此如何有效利用BHM信息預測結(jié)構(gòu)可靠性仍是BHM領(lǐng)域備受關(guān)注的研究難點.

考慮到橋梁有限元建模和模型更新的復雜性和困難性，采用無需模型的分析方法逐漸成為BHM領(lǐng)域的研究趨勢.基于實際監(jiān)測數(shù)據(jù)，采用無需模型的分析方法預測橋梁的動態(tài)可靠性已取得一些研究成果.Frangopol等[10-11]提出了基于監(jiān)測極值的橋梁性能的可靠性預測方法，并與同年提出了基于貝葉斯更新的橋梁可靠性預測方法，兩種方法分析過程中分別采用一次回歸函數(shù)和常值函數(shù)進行可靠性預測，均未考慮監(jiān)測變量的動態(tài)隨機性.趙卓[12]采用自回歸滑動平均(ARMA)模型動態(tài)預測了長春伊通河橋構(gòu)件的荷載效應(yīng)(撓度、加速度以及索力等)，并基于此進行了可靠性評估，分析過程中亦未考慮監(jiān)測變量的動態(tài)隨機性，且存在模型長期預測精度不高的問題.樊學平等[13-16]利用BHM數(shù)據(jù)，研究了基于貝葉斯動態(tài)線性模型和貝葉斯動態(tài)非線性模型的橋梁構(gòu)件可靠性動態(tài)預測方法，分析過程中將非線性模型近似轉(zhuǎn)化為線性模型來處理，但貝葉斯動態(tài)線性模型存在對狀態(tài)方程和觀測方程依賴性高的問題，對此，樊學平等進一步研究了基于高斯粒子濾波器的橋梁構(gòu)件可靠性動態(tài)預測方法，在分析過程中，雖然解決了對狀態(tài)空間模型依賴性強的問題，但又存在高斯粒子濾波器重要性函數(shù)的合理選擇問題，于是又進行了橋梁極值應(yīng)力的改進高斯混合粒子濾波器預測算法研究，但分析過程中存在如何使動態(tài)線性模型合理簡單化和折扣因子如何選擇的問題.

綜上所述，考慮到貝葉斯動態(tài)線性模型和高斯粒子濾波器中動態(tài)模型的復雜性，本文作者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)以下問題需要解決：①如何確定合理的折扣因子和建立監(jiān)測數(shù)據(jù)簡單可行的動態(tài)模型；② 如何基于折扣高斯粒子濾波器算法和BHM數(shù)據(jù)建立橋梁動態(tài)可靠性預測方法.

鑒于上述問題，本文研究了折扣高斯粒子濾波器和BHM數(shù)據(jù)相結(jié)合的橋梁構(gòu)件動態(tài)可靠性預測方法，具體研究步驟為：①以在役BHM系統(tǒng)歷史監(jiān)測的大量日常極值應(yīng)力信息為一個時間序列，建立極值應(yīng)力的折扣動態(tài)線性模型；②基于建立的動態(tài)線性模型和實時監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)合高斯粒子濾波器算法不斷動態(tài)預測極值應(yīng)力信息，給出影響預測精度的合理折扣因子區(qū)間和最優(yōu)折扣高斯粒子濾波器預測算法；③研究最優(yōu)折扣高斯粒子濾波器算法和一次二階矩(FOSM)可靠性方法相結(jié)合的橋梁動態(tài)可靠性預測方法，并通過實際橋梁的監(jiān)測數(shù)據(jù)驗證所提方法的合理性和適用性.

1 橋梁日常監(jiān)測極值應(yīng)力的動態(tài)線性模型

動態(tài)線性模型由線性觀測方程、線性狀態(tài)方程以及初始狀態(tài)信息3部分組成.狀態(tài)方程反映了監(jiān)測變量和系統(tǒng)隨時間變化的水平，觀測方程反映了監(jiān)測變量和狀態(tài)變量之間的關(guān)系.本文主要通過橋梁歷史日常監(jiān)測極值應(yīng)力數(shù)據(jù)建立動態(tài)線性模型，如圖1所示.

1.1 狀態(tài)方程的建立

由圖1可知，狀態(tài)方程可以由初始狀態(tài)信息得到，如圖2所示.

圖1 動態(tài)線性模型的建立Fig.1 Building of dynamic linear model

圖2 狀態(tài)方程的建立Fig.2 Building of state equation

狀態(tài)方程的詳細建立步驟如下：

(1)利用五點三次平滑處理方法[12]，對歷史監(jiān)測日常極值應(yīng)力數(shù)據(jù)進行重采樣，近似得到初始狀態(tài)數(shù)據(jù).

(2)對初始狀態(tài)數(shù)據(jù)進行一階差分處理，差分值的平均值或中位值作為初始狀態(tài)的平均變化水平.

(3)利用所得的狀態(tài)值和差分值，建立狀態(tài)方程.

基于圖2和詳細建立步驟，所建立的狀態(tài)方程為

θt+1=θt+E(Δt)(或M(Δt))+ωt，

ωt～N(0,Wt)

(1)

式中：θt為t時刻的狀態(tài)值；Δt為t時刻及以前的狀態(tài)數(shù)據(jù)差分集合；E(Δt)和M(Δt)分別為Δt的平均值和中位值；N(·)為高斯概率密度函數(shù)；ωt為t時刻的狀態(tài)誤差；Wt為狀態(tài)誤差的方差.

1.2 觀測方程的建立

觀測方程可以用監(jiān)測數(shù)據(jù)和狀態(tài)變量來表示，考慮到監(jiān)測極值數(shù)據(jù)的不確定性和隨機性，建立的觀測方程為

yt+1=θt+1+νt+1,νt+1～N(0,Vt+1)

(2)

式中：yt+1為t+1時刻的監(jiān)測值；νt+1為監(jiān)測誤差，且服從方差為Vt+1的正態(tài)分布.

基于1.1節(jié)和1.2節(jié)，本文建立的動態(tài)線性模型如下：

觀測方程為

yt+1=θt+1+νt+1,νt+1～N(0,Vt+1)

(3)

狀態(tài)方程為

θt+1=θt+E(Δt)(或M(Δt))+ωt,

ωt～N(0,Wt)

(4)

初始狀態(tài)信息為

θt|Dt～N(θt|mt,Ct,Dt)

(5)

式中：mt為點估計得到的θt的平均值；Ct為θt的方差；Dt為t時刻及以前的監(jiān)測數(shù)據(jù)集，即Dt={yt,Dt-1}.

動態(tài)線性模型中，θt、νt+1以及ωt+1之間相互獨立，且各自獨立.

1.3 動態(tài)線性模型中主要概率參數(shù)的確定

動態(tài)線性模型中需要確定的主要概率參數(shù)包括Vt+1、Wt+1、mt和Ct，這些參數(shù)的確定方法如下：

Vt+1可以通過θt+1和yt+1之間差值的方差近似估計得到.由文獻[13,17-18]可知，Wt+1可利用折扣因子近似表達，即

(6)

式中：δ是折扣因子.為了提高動態(tài)線性模型的預測精度，將在下文詳細討論確定合理的折扣因子預測值及區(qū)間.

mt和Ct可由t時刻及以前監(jiān)測值的重采樣數(shù)據(jù)近似估計得到[16].

相對于文獻[16]所建立的非線性動態(tài)模型，本文建立的動態(tài)線性模型(主要包括線性觀測方程和線性狀態(tài)方程)更簡化，而且建模過程更詳實.

2 高斯粒子濾波器及概率遞推過程

考慮到卡爾曼濾波器離線預測、短期預測以及預測精度不高的局限性[13]，本文基于所建立的折扣動態(tài)線性模型，采用高斯粒子濾波器[19-20]在線動態(tài)預測日常極值應(yīng)力，概率模擬遞推流程框圖如圖3所示.

動態(tài)線性模型相關(guān)的理論概率遞推過程可參考文獻[16]，如式(7)～(9)所示.

θt+1的先驗概率分布函數(shù)為

(7)

一步向前預測分布函數(shù)為

(8)

圖3 基于高斯粒子濾波器的概率模擬遞推過程Fig.3 Probability recursive processes basedon Gaussian particle filter

利用Bayes方法，結(jié)合式(7)、式(8)，可得θt+1的后驗分布函數(shù)為

(9)

結(jié)合式(7)～(9)，利用高斯粒子濾波器，在線粒子模擬預測詳細過程如下：

(1)p(θt+1|Dt+1)的粒子模擬遞推

Step 2 當獲得新的監(jiān)測值yt+1時，計算每個粒子的權(quán)重.

(10)

(11)

Step 3 權(quán)重的標準化.

(12)

(13)

(14)

(2)p(θt+2|Dt+1)的粒子模擬遞推

Step 3 利用式(15)和式(16)，可以得到p(θt+2|Dt+1)的概率統(tǒng)計參數(shù)(平均值和方差).

(15)

(16)

(3)p(yt+2|Dt+1)的粒子模擬遞推

Step 3 利用式(17)和式(18)，可以得到p(yt+2|Dt+1)的平均值和方差，即

(17)

(18)

第(1)步至第(3)步在時變監(jiān)測數(shù)據(jù)下，不斷地循環(huán)模擬遞推即可實現(xiàn)圖3所示的基于高斯粒子濾波器的概率模擬遞推過程.

相對于文獻[16]所建立的非線性動態(tài)模型而言，本文建立的動態(tài)線性模型概率遞推過程更簡化，更有利于BHM大量數(shù)據(jù)的不斷修正.

3 基于折扣高斯粒子濾波器的橋梁構(gòu)件可靠性動態(tài)預測算例分析

3.1 基于折扣高斯粒子濾波器的橋梁構(gòu)件極值荷載效應(yīng)動態(tài)預測

美國I-39北橋建于1961年，是一座五跨連續(xù)鋼板梁橋，總長度為188.81 m.橋梁監(jiān)測項目包括結(jié)構(gòu)特定構(gòu)件的應(yīng)力和應(yīng)變評估等[10-11,13, 21].關(guān)于檢測項目的詳細內(nèi)容和目的，參見文獻[21].此項目對橫向第二跨鋼板的跨中梁底極值應(yīng)力進行了83 d的監(jiān)測，由文獻[10-11,13-14,16]可知，這些監(jiān)測數(shù)據(jù)可以反應(yīng)橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)的變化趨勢.

83 d的監(jiān)測數(shù)據(jù)只考慮了由車輛荷載、溫度荷載、收縮徐變和結(jié)構(gòu)變化引起的應(yīng)力的變異性，由鋼板和混凝土恒載引起的應(yīng)力信息不包括在內(nèi).現(xiàn)利用前60 d的監(jiān)測極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，建立極值應(yīng)力的動態(tài)線性模型.

基于圖1、圖2以及式(1)～(5)，建立動態(tài)線性模型.

觀測方程為

yt+1=θt+1+νt+1,νt+1～N(0,21.48)

(19)

狀態(tài)方程為

θt+1=θt+0.010 6+ωt,

ωt～N(0,Wt)

(20)

初始狀態(tài)信息為

θt|Dt～p(θt|Dt)≈N(25.17,23.50)

(21)

基于所建立的動態(tài)線性模型(見式(19)～(21))，采用高斯粒子濾波器(見式(7)～(18))，利用不同的折扣因子(變化范圍為0.18～0.98)，動態(tài)預測了后23 d(第61天到第83天)的極值應(yīng)力.預測結(jié)果見圖4～13.

本文通過預測精度、預測變異系數(shù)以及均方根誤差(反應(yīng)所有預測數(shù)據(jù)的精密程度)3個指標來確定折扣因子的合理區(qū)間.由圖4～13可知3個指標的預測變化規(guī)律為：

(1)從圖4a～13a可以看出，預測的極值應(yīng)力及其范圍和監(jiān)測的極值應(yīng)力基本保持一致.但從圖14可以看出，預測值的均方根誤差(RMSE)隨著折扣因子的增加而增加，所以應(yīng)取較小的折扣因子.

(2)從圖4b～13b可以看出,折扣高斯粒子濾波器的預測精度(預測方差的倒數(shù))隨著折扣因子的增大而增大，所以建議取較大的折扣因子.

(3)從圖4c～13c可以看出,預測值的變異系數(shù)隨著折扣因子的增大而減小，由于變異系數(shù)可以反映預測值與監(jiān)測值的離散程度，所以建議取較大的折扣因子.

從上面的預測規(guī)律可以看出，折扣因子對極值應(yīng)力的預測有很明顯的影響.為全面考慮預測值的精度、變異系數(shù)以及均方根誤差對預測數(shù)據(jù)的影響規(guī)律，本文作者建議利用本文建立的折扣高斯粒子濾波器進行極值應(yīng)力的預測，合理的折扣因子區(qū)間為0.48～0.98.

3.2 基于折扣高斯粒子濾波器的橋梁構(gòu)件可靠性動態(tài)預測

對美國I-39北橋第二跨邊跨梁中間底部的應(yīng)力進行了動態(tài)監(jiān)測，該梁的極限狀態(tài)函數(shù)為

g(R,S,C,M)=R-S-C-γMM

(22)

式中：R為鋼材屈服強度；S為鋼材自重產(chǎn)生的應(yīng)力；C為混凝土自重產(chǎn)生的應(yīng)力；M為監(jiān)測或預測的極值應(yīng)力；γM為傳感器的影響系數(shù).

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖4 折扣因子為0.18時的預測結(jié)果Fig.4 Predicted data at δ=0.18

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖5 折扣因子為0.28時的預測結(jié)果Fig.5 Predicted data at δ=0.28

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖6 折扣因子為0.38時的預測結(jié)果Fig.6 Predicted data at δ=0.38

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖7 折扣因子為0.48時的預測結(jié)果Fig.7 Predicted data at δ=0.48

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖8 折扣因子為0.58時的預測結(jié)果Fig.8 Predicted data at δ=0.58

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖9 折扣因子為0.68時的預測結(jié)果Fig.9 Predicted data at δ=0.68

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖10 折扣因子為0.78時的預測結(jié)果Fig.10 Predicted data at δ=0.78

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖11 折扣因子為0.88時的預測結(jié)果Fig.11 Predicted data at δ=0.88

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖12 折扣因子為0.90時的預測結(jié)果Fig.12 Predicted data at δ=0.90

a 預測和監(jiān)測的極值應(yīng)力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖13 折扣因子為0.98時的預測結(jié)果Fig.13 Predicted data at δ=0.98

利用式(22)和FOSM可靠性分析方法[13]，預測的可靠指標計算公式為

(23)

式中：μM和σM分別是M的平均值和方差；μR和σR分別是R的平均值和方差；μS和σS分別是S的平均值和方差；μC和σC分別是C的平均值和方差.

監(jiān)測的可靠指標為

(24)

結(jié)合3.1節(jié)，采用δ=0.48，利用式(22)～(24)對結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠指標進行預測，見圖14.

圖14 基于δ=0.48預測和監(jiān)測得到的可靠指標Fig.14 Predicted reliability at δ=0.48

從圖14可以看出,預測的可靠指標與監(jiān)測的可靠指標變化基本一致.但由于考慮到預測極值應(yīng)力的不確定性和隨機性，因而預測值比監(jiān)測值小，但可以為橋梁的預防性養(yǎng)護維修提供參考依據(jù).

4 結(jié)論

本文基于BHM系統(tǒng)采集到的日常極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，研究了折扣動態(tài)線性模型和高斯粒子濾波器相融合的折扣高斯粒子濾波器預測算法，并對結(jié)構(gòu)的可靠指標進行了動態(tài)預測分析，取得以下結(jié)論：

(1)基于折扣高斯粒子濾波算法預測的極值應(yīng)力與監(jiān)測得到的極值應(yīng)力近似相等(見圖4a～13a).

(2) 給出了本文所提預測算法合理的折扣因子區(qū)間為0.48～0.98.基于監(jiān)測極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的不斷修正，折扣高斯粒子濾波器算法的預測精度越來越好(見圖7b～13b).

(3)基于本文提出的折扣高斯粒子濾波器預測算法，并結(jié)合FOSM預測得到的可靠指標比實測的值較小(見圖15)，主要是預測分析時考慮了預測值的不確定性和隨機性.但預測得到的可靠指標對橋梁的預防性養(yǎng)護維修決策可以提供一定的參考依據(jù).

本文提出的折扣高斯粒子預測算法僅通過本文提出的折扣動態(tài)線性模型和高斯粒子濾波算法相融合建立.為降低它的局限性，對更一般的折扣高斯粒子預測算法有待進一步研究.

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