分離函數(shù)法在解題中的應(yīng)用

曾建強(qiáng)

江西省萍鄉(xiāng)市教研室 (337000)

解決形如F(x,a)類問題，通常利用分離參數(shù)法，將原式變形為變量與參數(shù)各在一邊的f(x)≥a或f(x)≥g(a)等形式，從而求解，已為熟知的解題通法．而有一些含參數(shù)的問題其參數(shù)a不能從解析式F(x,a)中分離出來，或F(x,a)中常為含兩個(gè)超越函數(shù)的關(guān)系，解決時(shí)由于不同類超越函數(shù)不便變形化簡研究性質(zhì)，可嘗試用分離函數(shù)的方法來處理．

所謂分離函數(shù)法，是指將同一關(guān)系F(x,a)中的兩類不同函數(shù)(尤其是兩不同超越函數(shù))分離開來或把問題分離成f(x),g(x,a)(或f(x,a),g(x,a))兩類關(guān)系來分別處理的方法．分離函數(shù)法，主要是利用分離后的兩函數(shù)的最值性質(zhì)來解．

分離函數(shù)方法是高中數(shù)學(xué)中“新興”的一種解題方法，這里舉幾例以饗讀者．

一、不同變元的分離函數(shù)

對一個(gè)關(guān)系式中有兩不同變元，由于兩變元的獨(dú)立性，故分離出不同變元的兩函數(shù)進(jìn)行研究勢在必行．

二、單式中的分離函數(shù)

對一個(gè)變量的問題，往往容易從單式的整體著手研究，但將單式分離成兩個(gè)不同函數(shù)分別研究，這種思路比較隱蔽，卻也是一法．

例2 證明：x∈R，a≤1時(shí)，xex+a+x2-2x+1>0．

分析：將不等式左邊看成是一個(gè)函數(shù)，至少要求二階導(dǎo)數(shù)才有可能確定它的值域，事實(shí)上仍很困難．如果將一個(gè)函數(shù)分離成兩個(gè)函數(shù)，突破f(x)=xex+a求導(dǎo)產(chǎn)生的難點(diǎn)，也是處理問題的一策．這種化整體為多個(gè)體的策略，有時(shí)還很奏效．

證明：要證原式，通過分離函數(shù)，即證xex+a>-(x-1)2．①

當(dāng)x>0時(shí)，xex+a>0,-(x-1)2≤0,顯然①式成立．

當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=xex+a的導(dǎo)數(shù)f′(x)=(x+1)ex+a，易得f(x)min=f(-1)=-ea-1．

而g(x)=-(x-1)2(x≤0)的最大值為g(0)=-1．

由于a≤1，有ea-1≤1，且兩函數(shù)不在同一處取到最值，故x≤0時(shí)xex+a>-(x-1)2．

綜上，原不等式成立．

三、不同兩類基本函數(shù)的分離

含不同兩類基本函數(shù)相對較復(fù)雜，且常是不同類超越函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，就是利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)有力的工具，有時(shí)也難避免由于導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性使得求解中途受阻.化繁為簡是我們常用的思路，尤其對兩個(gè)超越函數(shù)的混合型函數(shù)更加突出，分離函數(shù)就顯得尤為重要．

(Ⅰ)求a,b；(a=1,b=2解略．)

(Ⅱ)證明：f(x)>1.

綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

四、重組后的分離函數(shù)

對一些問題，表面看兩個(gè)函數(shù)已明顯地分離開來了，但分別獨(dú)立研究卻難達(dá)目的，此時(shí)，我們對問題中的函數(shù)重組后分離成比較單一的同名復(fù)合函數(shù)，這對研究更加有利．

(Ⅱ)若0≤x≤1，f(x)

(2)s′(x)=xe2x-e2x-axex+aex=ex(x-1)(ex-a)．∵x∈[0,1]，∴x-1≤0,ex∈[1,e]．

②若10，此時(shí)s(x)為增函數(shù)；在(lna,1]上s′(x)<0，此時(shí)s(x)為減函數(shù)．

五、分離參數(shù)后的分離函數(shù)

研究含參數(shù)的問題，分離參數(shù)是常法．分離參數(shù)后的函數(shù)也可以再通過分離函數(shù)去求解．這種方法也可稱為雙分離法．

v′(x)=e3x-2e2x-ex+2=(e2x-1)(ex-2)，當(dāng)x<0,x>ln2時(shí)，v′(x)>0，

∴v(x)在(ln2,ln3)上為增函數(shù),在(0,ln2)上為減函數(shù)．

分離函數(shù)法，較適合不同類超越函數(shù)基本性質(zhì)的研究．理論上講，若分離后的兩類函數(shù)在一定范圍內(nèi)的上確界、下確界存在明顯的分界點(diǎn)，用分離這兩類函數(shù)分別運(yùn)算求解，常能奏效．