例析“模式圖識別”對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

浙江省嘉興市塘匯實驗學(xué)校(314003) 姚建新

從每年的中考數(shù)學(xué)試題[1]中可以明顯看出,中考重視對基礎(chǔ)知識、基本技能和通性通法的考查,一方面,數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)與形的科學(xué),數(shù)與形的有機結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的基本思想;另一方面,數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué),這反映了在數(shù)學(xué)解題時,需要進行“模式識別”,需要構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)的模型.

由于“具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法”更是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的知識點,所以,我們在日常教學(xué)中,關(guān)鍵不是讓學(xué)生記住結(jié)論,而是要讓他們經(jīng)歷探究的過程,感受數(shù)學(xué)的研究方法,促進數(shù)學(xué)能力的提高,只有在運用通性通法進行不斷變式的演練中,才能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和解題能力.通過變式教學(xué),教師有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中探究“不變”的本質(zhì)規(guī)律,幫助學(xué)生從多角度理解知識,并掌握數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法,從而達到靈活運用知識的目的.

一、模式圖的確立

如圖1,已知點P是拋物線上的任意一點,記點P到x軸距離為d1,點P與點F(0,2)的距離為d2,求證:d1=d2.

圖1

證明 因為P為拋物線上一點,所以設(shè)則P到x軸距離到點F(0,2)的距離所以d1=d2.

此題的證明并不難,為了下文的說明方便,我們把圖1記為“模式圖”.

二、模式圖的應(yīng)用

例1如圖2,已知拋物線的頂點為A(0,1),矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點B(0,2),且其面積為8.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)如圖3,若P點為拋物線上不同于A的一點,連接PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.

①求證:PB=PS;②判斷△SBR的形狀;

③探索:在線段SR上是否存在點M,使以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似?

圖2

圖3

簡解(1)因為B(0,2),所以O(shè)B=2,因為矩形CDEF面積為8,所以CF=4,所以C(-2,2).又A(0,1),根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c,則,得所以拋物線解析式為

(2)如圖4,①參見“模式圖”證明;

②根據(jù)①得PB=PS,同理可知BQ=QR,所以∠1=∠2,又因為∠1=∠3,所以∠2=∠3;同理∠SBP=∠5,所以 2∠5+2∠3=180°,即∠5+∠3=90°,所以∠SBR=90°,所以△SBR為直角三角形.

圖4

圖5

圖6

③方法一:如圖5,設(shè)PS=b,QR=c,則PQ=b+c,可計算得假設(shè)存在點M,并設(shè)MS=x,則因為∠PSM=∠QRM=90°,所以若△PSM～△MRQ,可求得所以M為SR的中點;若△PSM～△QRM,則有得(平行線分線段成比例定理),所以M點為原點O.

方法二:如圖6,若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似,則有△PSM～△MRQ和△PSM～△QRM兩種情況.當(dāng)△PSM～△MRQ時,由直角三角形兩銳角互余性質(zhì),知∠PMS+∠QMR=90°,所以∠PMQ=90°.取PQ中點N,連結(jié)MN,則MN=所以MN為直角梯形SRQP的中位線,得點M為SR的中點;當(dāng)△PSM～△QRM時,由方法一知即M點與O點重合,得點M為原點O.綜上所述,當(dāng)點M為SR的中點時,△PSM～△MRQ;當(dāng)點M為原點O時,△PSM～△QRM.

例2已知,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A的坐標(biāo)為(0,2),點P(m,n)是拋物線上的一個動點.

(1)如圖 7,過動點P作PB⊥x軸,垂足為B,連接PA,請通過測量或計算,比較PA與PB的大小關(guān)系:PA___PB(直接填寫“＞”、“＜”或“=”,不需解題過程);

(2)請利用(1)的結(jié)論解決下列問題:

①如圖8,已知C(2,5),連接PC, 探究:AP+PC是否存在最小值?

②如圖9,過動點P和原點O作直線交拋物線于另一點D,若AP=2AD,求直線OP的解析式.

圖7

圖8

圖9

解析第(1)小題的證明同“模式圖”.

第(2)小題,對于問題①,我們認識到PA可以“轉(zhuǎn)移”到PB,所以求“AP+PC的最小值”,即求“CP+PB”的最小值,如圖10,過點C作CE⊥x軸,垂足為E,交拋物線于點H,因為C(2,5),得CE=5,所以AP+PC的最小值為5,且P(2,2).

圖10

圖11

對于問題②,繼續(xù)利用(1)的結(jié)論,如圖11,將AP、AD分別“轉(zhuǎn)移”到PB、DF位置,其中PB⊥x軸,DF⊥x軸,則有PB=2DF,馬上聯(lián)想到“相似三角形”知識.設(shè)直線OP的解析式為y=kx,得所以因為點D在拋物線上,所以解得所以故直線OP的解析式為或

思考對于問題②,如果作D關(guān)于y軸的對稱點D′,則D′、A、P是否在一直線上?

變式1如圖12,已知:直線l∶y=-2,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是y軸,且經(jīng)過點(0,-1),(2,0).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)點P是拋物線上任意一點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,求證:PO=PQ;

(3)請你參考(2)中結(jié)論解決下列問題:

①如圖13,過原點O作任意直線AB,交拋物線y=ax2+bx+c于點A、B,分別過A、B兩點作直線l的垂線,垂足分別是點M、N,連結(jié)ON、OM,求證:ON⊥OM;

②如圖14,已知點D(1,1),試探究在該拋物線上是否存在點F,使得FD+FO取得最小值?

圖12

圖13

圖14

簡析(1)由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是y軸,就可以得出得b=0,所以y=ax2+c,由待定系數(shù)法可以求出拋物線的解析式為

(2)證明參見模式圖;

(3)①參見圖4的證明;

例3如圖15,二次函數(shù)圖象的頂點在原點O,且經(jīng)過點點F(0,1)在y軸上,直線y=-1與y軸交于點H.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

圖15

(2)點P是(1)中圖象上的點,過點P作x軸的垂線與直線y=-1交于點M,求證:FM平分∠OFP;

(3)當(dāng)△FPM是等邊三角形時,求P點的坐標(biāo).

簡析對問題(1),參照圖2法可得

對問題(2),參照圖4法可證;

思考對于問題(3),如果△FPM是等腰三角形呢?

變式2已知拋物線y=ax2+bx+c,當(dāng)x=0時,有最小值為1;且在直線y=2上截得的線段長為4.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)如圖16,點A是拋物線與y軸的交點,點P為拋物線上不同于A的一點,已知F(0,2),連接PF并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為M、N,以PQ為直徑的⊙D與y軸的交點為C、B.

圖16

①求證:PM=PF;②求證:⊙D與x軸相切;

③探索:OM·ON的值是否為定值?

④若OC·OB=1,求四邊形PQNM的面積和直線PQ對應(yīng)的函數(shù)解析式.

解(1)因為當(dāng)x=0時,有最小值為1,所以解得b=0,c=1,所以拋物線關(guān)于y軸對稱,因為拋物線在直線y=2上截得的線段長為4,所以拋物線經(jīng)過點(-2,2)與(2,2),得4a+1=2,解得所以此拋物線的解析式為

(2)①參見模式圖可證明;

圖17

圖18

三、模式圖識別對教學(xué)的啟示

1、《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]在幾何方面的學(xué)習(xí)目標(biāo)是要求學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形,并能分析其中的基本元素及其關(guān)系,利用直觀來進行思考”.本文中所指的“模式圖”是從重要的例題和習(xí)題所對應(yīng)的圖形中提煉出來的經(jīng)驗型基本圖,我們說,興趣來自思維,思維來自驚奇和疑問,而能誘使學(xué)生自覺地、刻苦地從事學(xué)習(xí)勞動的一種最強有力的刺激物,就是賦予他的腦力勞動以人情味,所以重視例、習(xí)題的教學(xué),對于優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都是大有好處的.

2、從學(xué)習(xí)論的角度來看,信息加工論認為:不能僅僅考慮到刺激的特征,還要關(guān)注學(xué)習(xí)者已有的信息和認知圖式;強調(diào)要把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形的問題,把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟知的基本圖形的問題.像本文所提到的許多幾何內(nèi)容的練習(xí)都有共性之處,如果能夠把其中最有共性、最本質(zhì)的基本元素提煉出來,這會給解決問題帶來便捷.所以教師在日常教學(xué)中,應(yīng)恰當(dāng)使用信息技術(shù),改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容,探索、研究一些有意義、有價值的數(shù)學(xué)問題.

3、教育家布魯姆[3]曾說:“人們獲得的知識如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)系在一起,那是一種多半被遺忘的知識,一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命.”許多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的短板顯示他們不能“復(fù)合”數(shù)學(xué)知識點,所以一方面,我們在課堂上要指導(dǎo)學(xué)生在審題(讀圖)后還需要層層深入思考,盡可能多的想到或找到“模式圖”或與“題目條件”相關(guān)聯(lián)的知識;另一方面,隨著現(xiàn)代認知心理學(xué)的發(fā)生和發(fā)展,圖式理論已不斷得以豐富和完善,并被廣泛用于閱讀、理解等心理過程的研究.

4、從一些最基礎(chǔ)、最基本、最簡單的幾何基本圖形教學(xué)入手,盡量直觀化,是圖形概念接軌學(xué)生感知的重要途徑,可以促使學(xué)生在頭腦中快速形成各種基礎(chǔ)知識的表象圖形,有利于培養(yǎng)學(xué)生的組合與創(chuàng)新,以及從復(fù)雜問題中去分析、解決問題的能力.因為學(xué)生總是需要根據(jù)特定學(xué)習(xí)任務(wù)對他們意味著什么而投入到相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動中去的,不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)必然導(dǎo)致學(xué)習(xí)的客觀要求與學(xué)生的主觀意愿之間的不同相互作用.

5、成功的教學(xué)不僅需要熱情,更需要“智慧”,重視基本圖形教學(xué),可以有效擴大記憶容量.有位哲人說過:“經(jīng)驗豐富的人讀書用兩只眼睛,一只眼睛看到紙面上的話,另一只眼睛就能看到紙背面的話.”我們對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)如果離開了對其結(jié)構(gòu)的認識和理解,那么就很難深刻的領(lǐng)會,更無法靈活的運用知識解決問題,這種支離破碎的知識是沒有生命力的,相反,如果我們把數(shù)學(xué)知識放在特定的知識結(jié)構(gòu)中去考察,搞清它的前因后果,來龍去脈,這樣組織過的知識不僅容易理解,也容易鞏固,更為人們的記憶提供了便利.

6、當(dāng)前,中考命題的指導(dǎo)思想是突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的考查,數(shù)形結(jié)合思想突出了直觀思維,是對抽象思維的有力解釋.課堂上,我們應(yīng)盡可能給學(xué)生以數(shù)學(xué)的基本思想方法為指引,學(xué)會研究基本圖形,并分析基本圖形的特征,歸納基本圖形的性質(zhì)與判定,因為課堂是向未知方向挺進的旅程,隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景,而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.

[1]12999數(shù)學(xué)網(wǎng),2014、2015、2016、2017年全國各地中考數(shù)學(xué)試卷[J],中考專欄.

[2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》[S],人民教育出版社,www.pep.com.cn.

[3]杰羅姆·西摩·布魯納,教育過程[M],文化教育出版社,1960年.