基于曲率函數(shù)的簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度識(shí)別研究

耿棟，王樂，沙衛(wèi)福

（1.安徽省公路工程檢測(cè)中心，安徽 合肥 230051；2.橋梁與隧道工程檢測(cè)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230051）

0 前言

在橋梁健康監(jiān)測(cè)中撓度作為監(jiān)測(cè)的關(guān)鍵指標(biāo)之一，可以反映橋梁的剛度，評(píng)價(jià)橋梁質(zhì)量及運(yùn)營(yíng)狀態(tài)[1]。橋梁的動(dòng)撓度，更是橋梁變形最為實(shí)時(shí)的體現(xiàn)，反映橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性和車輛荷載的沖擊效應(yīng)等。在橋梁撓度測(cè)量方法中，經(jīng)緯儀、水準(zhǔn)儀、百分表等方法是傳統(tǒng)的方法，但這些傳統(tǒng)的測(cè)量方法只適用于橋梁人工的短期測(cè)量。為了實(shí)現(xiàn)橋梁撓度的自動(dòng)化長(zhǎng)期測(cè)量，連通管法、激光圖像法、GPS法等一些較新的測(cè)量方法逐漸涌現(xiàn)出來(lái)，并且已應(yīng)用于橋梁撓度的測(cè)量中[2]。但是，這些較新的方法測(cè)量設(shè)備成本高昂，數(shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)要求高，同時(shí)受環(huán)境影響因素多。

近年來(lái)，由于分布式光纖光柵傳感技術(shù)的成功應(yīng)用，應(yīng)變的測(cè)量效果得到了顯著提高[3]，因而使得基于應(yīng)變測(cè)試的橋梁撓度測(cè)量方法獲得了廣泛關(guān)注和研究[4]。為了實(shí)現(xiàn)基于應(yīng)變測(cè)量的橋梁動(dòng)撓度識(shí)別，本文提出了一種基于曲率函數(shù)的簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度識(shí)別方法。其基本原理是通過(guò)安裝應(yīng)變傳感器進(jìn)行梁結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)變測(cè)試，利用結(jié)構(gòu)的應(yīng)變-曲率-撓度關(guān)系來(lái)識(shí)別出動(dòng)撓曲線，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)撓度的測(cè)量。為了驗(yàn)證提出的方法的有效性及準(zhǔn)確性，本文進(jìn)行了數(shù)值算例模擬，對(duì)環(huán)境激勵(lì)及移動(dòng)荷載作用下的簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度進(jìn)行了數(shù)值模擬。數(shù)值算例的結(jié)果表明，基于曲率函數(shù)識(shí)別簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度是可行的，且具有較高的精度。

1 應(yīng)變、撓度、曲率之間的關(guān)系

應(yīng)變是指結(jié)構(gòu)承受應(yīng)力時(shí)局部單位長(zhǎng)度產(chǎn)生的變形量，用ε表示。對(duì)于梁結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，撓度是指梁彎曲變形時(shí)軸線沿與軸線垂直方向的線位移，用v表示；其軸線在平面內(nèi)彎成的一條連續(xù)的曲線稱之為撓曲線，如圖1所示；曲率則是用來(lái)度量梁彎曲變形的程度，用k表示。

圖1 梁結(jié)構(gòu)撓曲線示意圖

圖2 梁微小單元體平面示意圖

梁結(jié)構(gòu)在彎曲變形時(shí)，在梁上取出一微小變形單元體，平面形式如圖2所示。圖中梁中性軸為線段O1O2，長(zhǎng)度為dx，y為中性軸距梁底面的距離，ρ為曲率半徑。根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)可知，梁在發(fā)生彎曲時(shí)中性軸長(zhǎng)度不變，而底面軸向長(zhǎng)度lab將發(fā)生變化，變化量為Δs。

梁底面軸向單位長(zhǎng)度的變形量，即應(yīng)變?chǔ)糯笮椋?/p>

曲率半徑的倒數(shù)就是曲率，從公式（2）中看的出，在梁同一橫截面位置曲率與應(yīng)變成線性比例關(guān)系。而彎曲變形的梁結(jié)構(gòu)曲率又與撓度成一定的關(guān)系，具體的撓度與曲率關(guān)系可表示為：

公式（3）中，v表示梁上各橫截面的撓度，是以位置坐標(biāo)x為自變量的函數(shù)，其表達(dá)式稱之為撓曲線方程，公式（3）也稱之為梁撓曲線的微分方程。由于日常研究的梁結(jié)構(gòu)變形屬于小變形，撓曲線方程經(jīng)兩次微分后數(shù)值可忽略不計(jì)，因此公式（3）可寫成下式：

從公式（4）中看出，對(duì)梁曲率函數(shù)二次積分可得到梁撓曲線方程，而梁結(jié)構(gòu)上同一截面位置曲率又和應(yīng)變成線性比例關(guān)系，因此不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò)曲率可建立起撓度和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2 基于曲率函數(shù)識(shí)別梁結(jié)構(gòu)動(dòng)撓度

假設(shè)梁結(jié)構(gòu)彎曲變形時(shí)曲率沿縱向呈線性變化關(guān)系，各橫截面曲率值可通過(guò)在對(duì)應(yīng)位置上安裝應(yīng)變傳感器獲取應(yīng)變數(shù)值，根據(jù)應(yīng)變-曲率關(guān)系式即公式（2）計(jì)算得到。計(jì)算公式中應(yīng)變測(cè)試位置距截面中性軸的距離是作為已知條件的，在實(shí)際操作中應(yīng)變測(cè)試位置距中性軸的距離可通過(guò)有限元模型計(jì)算獲得。假設(shè)梁沿縱向曲率變化關(guān)系即曲率函數(shù)為一適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式，計(jì)算出多個(gè)截面的曲率值之后，通過(guò)帶入數(shù)值可求解出曲率函數(shù)的表達(dá)式。

對(duì)于結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單的梁來(lái)說(shuō)，如簡(jiǎn)支梁，一般彎曲變形時(shí)曲率函數(shù)可假設(shè)為二次多項(xiàng)式，表達(dá)式如下：

公式（5）中，a、b、c為多項(xiàng)式的 3 個(gè)未知系數(shù)，求解至少需帶入3次數(shù)值，因此至少將梁劃分為3個(gè)單元進(jìn)行應(yīng)變測(cè)試。

在測(cè)試出3個(gè)單元中間位置橫截面的應(yīng)變數(shù)值后，通過(guò)轉(zhuǎn)換關(guān)系得到相應(yīng)位置曲率值，曲率函數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)的求解按下式進(jìn)行：

公式（6）中，k（xn）表示曲率函數(shù)在第 n 個(gè)單元中間截面位置曲率值，表示第n個(gè)單元的始末端橫坐標(biāo)。

顯然，假設(shè)曲率函數(shù)為二次多項(xiàng)式存在著誤差，為減少誤差可適當(dāng)?shù)奶岣叨囗?xiàng)式的階次，階數(shù)越高，結(jié)果越準(zhǔn)確。對(duì)于階次超過(guò)兩次時(shí)，即公式（5）的未知系數(shù)超過(guò)3個(gè)，此時(shí)需將梁劃分為多個(gè)單元進(jìn)行應(yīng)變測(cè)試，曲線擬合求解最優(yōu)解[5]。

求解出梁的曲率函數(shù)，根據(jù)公式（4）可知，通過(guò)對(duì)曲率函數(shù)進(jìn)行二次積分，并考慮邊界條件，可計(jì)算得出梁的撓曲線方程，具體計(jì)算公式如下：

公式（7）中，v（x）為撓曲線方程；C1和 C2為常數(shù)，可通過(guò)考慮梁的邊界條件計(jì)算得出。如若不考慮梁邊界條件的變化，C1和 C2按公式（8）、公式（9）進(jìn)行計(jì)算：

基于曲率函數(shù)識(shí)別梁結(jié)構(gòu)動(dòng)撓度，則對(duì)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)應(yīng)變測(cè)試，利用上述應(yīng)變-曲率-撓度的轉(zhuǎn)換關(guān)系識(shí)別出橋梁的動(dòng)撓曲線，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)撓度的測(cè)量。

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證本文提出的方法在識(shí)別梁結(jié)構(gòu)動(dòng)撓度的有效性和準(zhǔn)確性。本小節(jié)對(duì)移動(dòng)荷載作用下的簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度進(jìn)行數(shù)值模擬。為模擬實(shí)際梁結(jié)構(gòu)所受環(huán)境激勵(lì)影響，數(shù)值模擬中對(duì)梁結(jié)構(gòu)施加了白噪聲激勵(lì)。模擬梁為工字型簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)500cm，高5cm，密度為2.7g/cm3，截面面積 2.52cm2，截面慣性矩 10.8cm4，彈性模量為70GPa。在對(duì)梁施加移動(dòng)荷載之前，對(duì)梁施加一個(gè)均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為0.25g（g為重力加速度）的白噪聲激勵(lì)，移動(dòng)荷載大小為10N，速度為1 m/s，作用時(shí)間為第3s開始，第8s結(jié)束。圖3所示為數(shù)值模擬梁的平面示意圖。

圖3 數(shù)值模擬梁的平面示意圖（單位：cm）

圖4 梁底1/3跨位置的應(yīng)變響應(yīng)

圖4所示為數(shù)值模擬梁底1/3跨位置的應(yīng)變響應(yīng)。利用梁底間距均勻的測(cè)點(diǎn)即1/6跨、1/3跨、1/2跨、2/3跨、5/6跨位置共5個(gè)測(cè)點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行基于曲率函數(shù)的簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度識(shí)別，識(shí)別過(guò)程中假設(shè)曲率函數(shù)為四次多項(xiàng)式，將上述5個(gè)測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為曲率數(shù)據(jù)，帶入求解并積分獲得梁動(dòng)撓曲線，從而獲得梁上每個(gè)位置的動(dòng)撓度。圖5所示為梁底1/4跨位置動(dòng)撓度的識(shí)別值與理論值對(duì)比，圖6所示為梁底跨中位置動(dòng)撓度的識(shí)別值與理論值對(duì)比。按照公式（10）進(jìn)行誤差計(jì)算，結(jié)果如圖7所示。通過(guò)圖7可看出，利用本文提出的方法識(shí)別簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)荷載作用及環(huán)境激勵(lì)下的動(dòng)撓度誤差在3%以內(nèi)，具有較高的精度。

圖5 移動(dòng)荷載及環(huán)境激勵(lì)作用下梁1/4跨位置動(dòng)撓度識(shí)別值與理論值對(duì)比

圖6 移動(dòng)荷載及環(huán)境激勵(lì)作用下梁跨中位置動(dòng)撓度識(shí)別值與理論值對(duì)比

圖7 移動(dòng)荷載及環(huán)境激勵(lì)作用下簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度識(shí)別誤差

4 結(jié)論

本文提出了一種基于曲率函數(shù)的簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度識(shí)別方法。其基本原理是通過(guò)安裝應(yīng)變傳感器進(jìn)行梁結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)變測(cè)試，利用結(jié)構(gòu)的應(yīng)變-曲率-撓度關(guān)系來(lái)識(shí)別出動(dòng)撓曲線，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)撓度的測(cè)量。為了驗(yàn)證提出方法的有效性及準(zhǔn)確性，本文對(duì)簡(jiǎn)支梁的動(dòng)撓度進(jìn)行了數(shù)值模擬。根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果，得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

①利用本文提出的方法識(shí)別簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)荷載及環(huán)境激勵(lì)作用下動(dòng)撓度誤差在3%以內(nèi)，具有較高的精度；

②根據(jù)理論推導(dǎo)可知，應(yīng)變測(cè)點(diǎn)的布設(shè)位置及數(shù)量會(huì)對(duì)動(dòng)撓度的識(shí)別結(jié)果產(chǎn)生影響。簡(jiǎn)支梁數(shù)值模擬結(jié)果表明，按均勻設(shè)置原則，利用5個(gè)測(cè)點(diǎn)動(dòng)應(yīng)變足以較精確識(shí)別出簡(jiǎn)支梁動(dòng)撓度。

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