不變量法化簡(jiǎn)二次曲面

徐曉利

摘 要：二次曲面的化簡(jiǎn)是一項(xiàng)復(fù)雜又高難度的工作.本文主要總結(jié)了計(jì)算簡(jiǎn)便易掌握的不變量法，即運(yùn)用變量和不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方法，并舉例講解方法.

關(guān)鍵詞：二次曲面；化簡(jiǎn)；不變量

二次曲面是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高等代數(shù)這一模塊中重要的二次型理論的經(jīng)典應(yīng)用.我們往往通過(guò)化簡(jiǎn)其方程，判別二次曲面的類型，并確定其幾何形狀.化簡(jiǎn)二次曲面，是二次曲面一般理論中最重要的內(nèi)容，也是難點(diǎn)所在.坐標(biāo)變換法（正交變換）是化簡(jiǎn)二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相關(guān)高等代數(shù)理論抽象難懂，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，課堂教學(xué)顯得很是困難.在歐式坐標(biāo)系中，二次曲面存在著許多不變量，總結(jié)歸納不變量關(guān)系與二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程之間聯(lián)系，由此來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).

1二次曲面

定義1 在三維空間中，用三元二次方程來(lái)表示的曲面稱為二次曲面.

設(shè)二次曲面的一般方程為：

（1.1）.

二次曲面方程中的常用記號(hào)：

將的二次項(xiàng)部分記為，

將的系數(shù)排成矩陣 ，叫做二次曲面的矩陣.

.

2不變量法化簡(jiǎn)二次曲面

定義2 二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程：無(wú)法再使用平移、旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行化簡(jiǎn)的方程.即滿足以下三者的方程：

1）方程中不包含交叉項(xiàng)xy，xz，yz；

2）若方程中存在某一坐標(biāo)的二次項(xiàng)，就不存在這一坐標(biāo)的一次項(xiàng)；

3）若方程中只存在某一坐標(biāo)的一次項(xiàng)，且此時(shí)其中不存在.

在高等代數(shù)課程中，有一個(gè)重要理論，稱為二次型理論.二次型理論告訴我們，通過(guò)求解矩陣的特征方程，求相應(yīng)特征根，最后得到唯一的標(biāo)準(zhǔn)形.這也就是我們常常所說(shuō)的正交變換.二次曲面方程中也有相應(yīng)的二次型矩陣，從而二次曲面便能用此變換化簡(jiǎn)，在這里不加以展開(kāi).

在變換中我們發(fā)現(xiàn)，二次曲面方程在直角坐標(biāo)變換后，方程雖然發(fā)生了一定變化，但是決定二次曲面的幾何特征的性質(zhì)卻沒(méi)有任何變化，那些不變的性質(zhì)我們可以采用不變量來(lái)刻畫.這種不變量可以用二次曲面方程的系數(shù)來(lái)表達(dá).我們稱，不因直角坐標(biāo)變化而發(fā)生改變的量為正交不變量.正交不變量在解析幾何研究中十分重要的一項(xiàng)，為二次曲面和二次曲線的化簡(jiǎn)有著尤為重要的作用，下面我將證明二次曲面中的不變量.

引理1.是二次曲面的不變量.

即是正交不變量.

推論1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐標(biāo)變換下都不變.

引理2.和在轉(zhuǎn)軸變換下不變，稱為半不變量.

引理3.給定二次曲面方程

（1）當(dāng)時(shí)，是不變量；

（2）當(dāng)時(shí)，是不變量.

任意一個(gè)二次曲面方程在選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)變化后可以被分為5大類別，表示為化簡(jiǎn)的五個(gè)方程之一，下面我們利用二次曲面在轉(zhuǎn)軸變化下的不變量與半不變量對(duì)二次曲面進(jìn)行化簡(jiǎn).

定理1.不變量得簡(jiǎn)化方程：

（1）當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)化方程為；

（2）當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)化方程為；

（3）當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)化方程為；

（4）當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)化方程為

；

（5）當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)化方程為.

其中表示非零特征根.

證明：從略.

例1：化簡(jiǎn)下面二次曲面方程，并判斷出它為何種二次曲面.

解：二次曲面的矩陣 ，

分別計(jì)算不變量，得 ，，，

.

特征方程為，

特征根為：，，.又由，

所以二次曲面的簡(jiǎn)化方程為：，該曲面為橢圓柱面.

例2：化簡(jiǎn)二次曲面方程.

解：二次曲面的矩陣 ，

分別計(jì)算不變量，得 ，，，

由故二次曲面為中心二次曲面，

特征方程為，特征根為：，，又

所以二次曲面的簡(jiǎn)化方程為：，這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.

不變量法化簡(jiǎn)二次曲面方程與二次曲線方程的化簡(jiǎn)非常相似，其實(shí)本質(zhì)也就是將二維空間的一般討論推廣到三維空間.利用不變量，我們可以簡(jiǎn)捷地判別所給二次曲面方程屬于何種類型，寫出其簡(jiǎn)化方程，并判別它的形狀，計(jì)算簡(jiǎn)便，易于掌握.

參考文獻(xiàn)

[1]李養(yǎng)成.空間解析幾何（新版）.北京：科學(xué)出版社，2007.

[2]呂子根，許子道.解析幾何（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.

（作者單位：武警警官學(xué)院）