二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程的一種簡(jiǎn)便方法

王貴軍

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程中，沒有xy、yz及xz這樣的項(xiàng)，利用方程的這一特征，得到了將二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程的一種簡(jiǎn)便方法。

設(shè)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程為F(x，y，z)=0，由于其中不含xy、yz、xz這樣的項(xiàng)，因而其方程可寫成F1(x，y)+F2(z)=0(或 F1(x，z)+F2(y)=0，或 F1(y，z)+F2(x)=0)的形式，現(xiàn)僅對(duì)F1(x，y)+F2(z)=0的形式進(jìn)行討論，其余兩種情形類似。

設(shè)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為:

其中k為參數(shù)，則由二次曲面的方程有

(1)式是關(guān)于x和y的方程，可將其看作是平面曲線的方程，利用將平面曲線的方程化為參數(shù)方程的方法［1］得到(1)的參數(shù)方程為

(2)式可看成是關(guān)于k和z的方程，所以也是平面曲線的方程，將其化為參數(shù)方程為

由(3)式和(4)式消去參數(shù)k，即得二次曲面的參數(shù)方程為

現(xiàn)舉例說明這種方法的應(yīng)用。

由(3)式和(4)式消去參數(shù)k，即得單葉雙曲面的參數(shù)方程為

由(2)式可得

從而由(3)式和(4)式得

由上述求解過程可以看出，如果二次曲面的方程中不含xy、yz及xz這樣的項(xiàng)，即使其不一定是標(biāo)準(zhǔn)方程，這種求二次曲面參數(shù)方程的方法仍然是適用的。

例3 將二次曲面x2+2y2+z2－2x+4y－1=0化為參數(shù)方程。

解 此二次曲面的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，但方程中不含xy、yz及xz這樣的項(xiàng)，因此可以變形為F1(x，y)+F2(z)=0 的形式。

將二次曲面的方程改寫為

將(1)化為參數(shù)方程為

將(2)化為參數(shù)方程為

由(3)式和(4)式消去k，即得此二次曲面的參數(shù)方程為

［1］王貴軍.巧設(shè)參數(shù)求平面曲線的參數(shù)方程［J］.邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，26(4):176 －177.

［2］呂林根，許子道.解析幾何第四版［M］.北京:高等教育出版社，2006.